11. Базис. Размерность*

Будем рассматривать конечно порожденные системы векторов {\cal L}=<a_1,a_2,\ldots,a_n>, т.е. существует конечная система векторов a_1,a_2,\ldots,a_n таких, что каждый вектор из {\cal L} является их линейной комбинацией. Будем предполагать, что {\cal L}\ne\{0\}.

Лемма. Существует линейно независимая система.

Возьмем любой ненулевой вектор.

Лемма. Если {\cal L} имеет систему образующих из n векторов, то в любой линейно независимой системе число векторов не больше n.

Доказательство. Пусть b_1,\ldots,b_m — линейно независимая система векторов, m>n. Каждый вектор b_j является линейной комбинацией векторов образующей системы

    \[b_j=\alpha_{j1}a_1+\alpha_{j2}a_2+\ldots+\alpha_{jm}a_m.\]

По теореме о линейной зависимости линейных комбинаций векторы b_1,\ldots,b_m будут линейно зависимыми.

Определение. Система векторов называется максимальной линейно независимой системой, если она линейно независима и ее нельзя включить в большую линейно независимую систему в качестве подсистемы.

Существование максимальных линейно независимых систем. Возьмем любой вектор a_1\ne\mathbb{O}. Будем добавлять к нему векторы a_2,\ldots,a_n, n\le m так, чтобы все векторы были линейно независимы. Придем к максимальной системе за конечное число шагов.

Определение. Базисом линейного пространства {\cal L} называется система векторов e_1,\ldots,e_n такая, что

1) e_1,\ldots,e_n — система образующих пространства {\cal L};

2) e_1,\ldots,e_n — линейно независимая система.

Теорема. Система векторов e_1,\ldots,e_n является базисом линейного пространства {\cal L} тогда и только тогда, когда это максимальная линейно независимая система векторов.

Доказательство. \Longrightarrow

Пусть e_1,\ldots,e_n — базис {\cal L}. Тогда по определению e_1,\ldots,e_n — линейно независимая система векторов. Любой вектор представим в виде линейной комбинации e_1,\ldots,e_n, т.е. любая большая система векторов линейно зависима, т.е. для векторов a,e_1,\ldots,e_n

    \[a=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n.\]

Значит, базис — максимальная линейно независимая система.

\Longleftarrow

Пусть e_1,\ldots,e_n — максимальная линейно независимая система. Второе свойство базиса выполняется. Любая большая система векторов линейно зависима:

    \[a=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n,\]

т.е. каждый вектор является линейной комбинацией векторов этой системы — выполнено первое свойство.

Теорема. Базис линейного пространства может быть выбран из любой системы образующих.

Доказательство. Пусть {\cal L}=<a_1,\ldots,a_m>. Выберем максимальную линейно независимую систему из векторов a_1,\ldots,a_m. Пусть это векторы a_1,\ldots,a_n.

Тогда система векторов a_1,\ldots,a_n,a_j, где n<j\le m, линейно зависима, иначе исходная не была бы максимальной. Тогда

    \[a_j=\gamma_1a_1+\gamma_2a_2+\ldots+\gamma_na_n.\]

Для любого вектора a

    \[\begin{array}{l} a=\alpha_1a_1+\alpha_2a_2+\ldots+\alpha_na_n+\ldots+\alpha_ma_m=\\ =\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\ldots+\lambda_na_n. \end{array}\]

Тогда система векторов a_1,\ldots,a_n — система образующих.

Теорема. В каждом базисе линейного пространства содержится одно и то же число векторов.

Доказательство. Пусть \begin{array}{l} e_1,\ldots,e_n,\\ f_1,\ldots,f_m \end{array} — базисы. Если m>n, то поскольку каждый вектор f_1,\ldots,f_m можно представить в виде линейной комбинации векторов e_1,\ldots,e_n, то число линейных комбинаций больше числа комбинируемых векторов. Противоречие. Отсюда m=n.

Определение. Число векторов в базисе линейного пространства называется размерностью линейного пространства.

Обозначение \dim{\cal L}.

Если {\cal L}=\{0\}, то \dim{\cal L}=0.

Теорема. Если \dim{\cal L}=n, то любые n линейно независимых векторов образуют базис.

Доказательство. Это максимальная линейно независимая система векторов.

Теорема. Разложение каждого вектора по базисным единственно.

Доказательство. Предположим противное. Пусть вектор x раскладывается по базисным векторам двумя способами:

    \[\begin{array}{l} x=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n;\\ x=\alpha_1 'e_1+\alpha_2 'e_2+\ldots+\alpha_n 'e_n;\\ 0=(\alpha_1 '-\alpha_1)e_1+(\alpha_2 '-\alpha_2)e_2+\ldots+(\alpha_n '-\alpha_n)e_n. \end{array}\]

Векторы e_1,\ldots,e_n линейно независимы. Тогда

    \[\begin{array}{l} \alpha_k '-\alpha_k=0,\\ \alpha_k '=\alpha_k. \end{array}\]

Определение. Коэффициенты \alpha_1,\ldots,\alpha_n в разложении вектора x по базисным векторам называются координатами вектора x в базисе e_1,\ldots,e_n.

Каждому вектору в фиксированном базисе e_1,\ldots,e_n соответствует один и только один столбец координат.

При сложении векторов складываем столбцы координат, при умножении на число — каждую координату умножаем на это число.

Задачи.

1. Найдите базис и размерность линейного пространства трехмерных вектор-столбцов, у которых вторая координата нулевая.

2. Найдите какой-нибудь базис и размерность линейного пространства всех векторов плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой.

3. Найдите все базисы системы векторов

    \[a_1=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 0\\ 0 \end{array}\right),\ a_2=\left(\begin{array}{c} 1\\ 2\\ 3\\ 4 \end{array}\right),\ a_3=\left(\begin{array}{c} 3\\ 6\\ 0\\ 0 \end{array}\right) .\]

Один комментарий

  1. 1 дирon:

    Предложение 1 (основное предложение). Пусть S – конечная векторная система из V, S ≠ {0}. Тогда утверждения верны.

    1 ° Любая линейно независимая подсистема системы S может быть добавлена ​​к базе.

    2 ° Система S имеет основу.

    2 ° Любые два базиса системы S содержат одинаковое количество векторов, т.е. H. Ранг системы не зависит от выбора базы.

    4 ° Если R = rangS, то все r линейно независимых векторов составляют основу системы S.

    5 ° Если R = rangS, то все K> r векторов системы S линейно зависимы.

    6 ° Каждый вектор A € S выражается только линейно как базовые векторы, т.е. H. Если B1, B2, …, BR – основа системы S, то

    A = A1B1 + A2B2 + … + ARBR; A1, A2, …, AN € P, (1)

    И это мнение единственное.

    Из-за 5 ° база является наиболее линейной независимой подсистемой системы S, а ранг системы S – это число векторов в такой подсистеме.

    Представление вектора A в виде (1) называется разложением вектора по базовым векторам, а числа a1, a2, …, ar в этой базе называются координатами вектора A.

    Доказательства. 1 ° Пусть B1, B2, …, BK – линейно независимая подсистема системы S. Если каждый вектор системы S выражается линейно как векторы нашей подсистемы, то он по определению является основой системы S.

    Если в системе S существует вектор, который линейно не выражается как векторы B1, B2, …, BK, мы называем его BK + 1. Тогда системы B1, B2, …, BK, BK + 1 линейно независимый. Если каждый вектор системы S линейно выражается как векторы этой подсистемы, то он по определению является основой системы S.

    Если в системе S есть вектор, который линейно не выражается в виде B1, B2, …, BK, BK + 1, мы повторяем аргумент. Если мы продолжим этот процесс, мы либо доберемся до базы системы S, либо увеличим число векторов в линейно независимой системе на единицу. Поскольку система S имеет конечное число векторов, вторая альтернатива не может продолжаться бесконечно, и на определенном этапе мы получаем базу системы S.

    2 ° Пусть S конечная векторная система и S ≠ {0}. Тогда система S имеет вектор B1 ≠ 0, который образует линейно независимую подсистему системы S. Для первой части его можно добавить в основу системы S. Система S, таким образом, имеет основу.

    3 ° Предположим, что система S имеет два основания:

    B1, B2, …, BR, (2)

    C1, C2, …, CS, (3)

    Согласно определению базы, система векторов (2) линейно независима и (2) I S. Тогда, определяя базу, каждый вектор системы (2) является линейной комбинацией векторов системы (3). Тогда основная теорема о двух векторных системах R £ S аналогично доказывает, что S £ R. Из этих двух неравенств следует R = S.

    4 ° Пусть R = rangS, A1, A2, …, AR – линейно независимая подсистема S. Покажем, что она является основой s-систем. Если это не база, первая часть может быть добавлена ​​к базе, и мы получаем базу A1, A2, …, AR, AR + 1, …, AR + T, которая содержит более R векторов , Это противоречит тому, что было доказано в третьей части.

    5 ° Если K-векторы A1, A2, …, AK (K> R) s-системы линейно независимы, эту векторную систему можно добавить к базису для первой части, и мы получим базис A1, A2, .. ., AK, AK + 1, …, AK + T с более чем R векторами. Это противоречит тому, что было доказано в третьей части.

    6 ° пусть B1, B2, …, BR – основа системы S. После определения основания каждый вектор A ‘S представляет собой линейную комбинацию базовых векторов:

    A = a1B1 + a2B2 + … + arBR.

    Чтобы доказать уникальность такого представления, предположим, что существует другое представление:

    A = b1B1 + b2B2 + … + brBR.

    Вычтите равенство почек, которое мы находим

    0 = (a1 – b1) B1 + (a2 – b2) B2 + … + (ar-br) BR.

    Поскольку база B1, B2, …, BR является линейно независимой системой, все коэффициенты ai-bi = 0; I = 1, 2, …, R. Следовательно, ai = bi; I = 1, 2, …, R и единственность доказана.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение