11. Базис. Размерность*

Будем рассматривать конечно порожденные системы векторов {\cal L}=<a_1,a_2,\ldots,a_n>, т.е. существует конечная система векторов a_1,a_2,\ldots,a_n таких, что каждый вектор из {\cal L} является их линейной комбинацией. Будем предполагать, что {\cal L}\ne\{0\}.

Лемма. Существует линейно независимая система.

Возьмем любой ненулевой вектор.

Лемма. Если {\cal L} имеет систему образующих из n векторов, то в любой линейно независимой системе число векторов не больше n.

Доказательство. Пусть b_1,\ldots,b_m — линейно независимая система векторов, m>n. Каждый вектор b_j является линейной комбинацией векторов образующей системы

b_j=\alpha_{j1}a_1+\alpha_{j2}a_2+\ldots+\alpha_{jm}a_m.

По теореме о линейной зависимости линейных комбинаций векторы b_1,\ldots,b_m будут линейно зависимыми.

Определение. Система векторов называется максимальной линейно независимой системой, если она линейно независима и ее нельзя включить в большую линейно независимую систему в качестве подсистемы.

Существование максимальных линейно независимых систем. Возьмем любой вектор a_1\ne\mathbb{O}. Будем добавлять к нему векторы a_2,\ldots,a_n, n\le m так, чтобы все векторы были линейно независимы. Придем к максимальной системе за конечное число шагов.

Определение. Базисом линейного пространства {\cal L} называется система векторов e_1,\ldots,e_n такая, что

1) e_1,\ldots,e_n — система образующих пространства {\cal L};

2) e_1,\ldots,e_n — линейно независимая система.

Теорема. Система векторов e_1,\ldots,e_n является базисом линейного пространства {\cal L} тогда и только тогда, когда это максимальная линейно независимая система векторов.

Доказательство. \Longrightarrow

Пусть e_1,\ldots,e_n — базис {\cal L}. Тогда по определению e_1,\ldots,e_n — линейно независимая система векторов. Любой вектор представим в виде линейной комбинации e_1,\ldots,e_n, т.е. любая большая система векторов линейно зависима, т.е. для векторов a,e_1,\ldots,e_n

a=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n.

Значит, базис — максимальная линейно независимая система.

\Longleftarrow

Пусть e_1,\ldots,e_n — максимальная линейно независимая система. Второе свойство базиса выполняется. Любая большая система векторов линейно зависима:

a=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n,

т.е. каждый вектор является линейной комбинацией векторов этой системы — выполнено первое свойство.

Теорема. Базис линейного пространства может быть выбран из любой системы образующих.

Доказательство. Пусть {\cal L}=<a_1,\ldots,a_m>. Выберем максимальную линейно независимую систему из векторов a_1,\ldots,a_m. Пусть это векторы a_1,\ldots,a_n.

Тогда система векторов a_1,\ldots,a_n,a_j, где n<j\le m, линейно зависима, иначе исходная не была бы максимальной. Тогда

a_j=\gamma_1a_1+\gamma_2a_2+\ldots+\gamma_na_n.

Для любого вектора a

\begin{array}{l}<br />
a=\alpha_1a_1+\alpha_2a_2+\ldots+\alpha_na_n+\ldots+\alpha_ma_m=\\<br />
=\lambda_1a_1+\lambda_2a_2+\ldots+\lambda_na_n.<br />
\end{array}

Тогда система векторов a_1,\ldots,a_n — система образующих.

Теорема. В каждом базисе линейного пространства содержится одно и то же число векторов.

Доказательство. Пусть \begin{array}{l}<br />
e_1,\ldots,e_n,\\<br />
f_1,\ldots,f_m<br />
\end{array} — базисы. Если m>n, то поскольку каждый вектор f_1,\ldots,f_m можно представить в виде линейной комбинации векторов e_1,\ldots,e_n, то число линейных комбинаций больше числа комбинируемых векторов. Противоречие. Отсюда m=n.

Определение. Число векторов в базисе линейного пространства называется размерностью линейного пространства.

Обозначение \dim{\cal L}.

Если {\cal L}=\{0\}, то \dim{\cal L}=0.

Теорема. Если \dim{\cal L}=n, то любые n линейно независимых векторов образуют базис.

Доказательство. Это максимальная линейно независимая система векторов.

Теорема. Разложение каждого вектора по базисным единственно.

Доказательство. Предположим противное. Пусть вектор x раскладывается по базисным векторам двумя способами:

\begin{array}{l}<br />
x=\alpha_1e_1+\alpha_2e_2+\ldots+\alpha_ne_n;\\<br />
x=\alpha_1 ‘e_1+\alpha_2 ‘e_2+\ldots+\alpha_n ‘e_n;\\<br />
0=(\alpha_1 ‘-\alpha_1)e_1+(\alpha_2 ‘-\alpha_2)e_2+\ldots+(\alpha_n ‘-\alpha_n)e_n.<br />
\end{array}

Векторы e_1,\ldots,e_n линейно независимы. Тогда

\begin{array}{l}<br />
\alpha_k ‘-\alpha_k=0,\\<br />
\alpha_k ‘=\alpha_k.<br />
\end{array}

Определение. Коэффициенты \alpha_1,\ldots,\alpha_n в разложении вектора x по базисным векторам называются координатами вектора x в базисе e_1,\ldots,e_n.

Каждому вектору в фиксированном базисе e_1,\ldots,e_n соответствует один и только один столбец координат.

При сложении векторов складываем столбцы координат, при умножении на число — каждую координату умножаем на это число.

Задачи.

1. Найдите базис и размерность линейного пространства трехмерных вектор-столбцов, у которых вторая координата нулевая.

2. Найдите какой-нибудь базис и размерность линейного пространства всех векторов плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой.

3. Найдите все базисы системы векторов
a_1=\left(\begin{array}{c}<br />
1\\ 2\\ 0\\ 0<br />
\end{array}\right),\ a_2=\left(\begin{array}{c}<br />
1\\ 2\\ 3\\ 4<br />
\end{array}\right),\ a_3=\left(\begin{array}{c}<br />
3\\ 6\\ 0\\ 0<br />
\end{array}\right) .

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение