Математика, которая мне нравится

Будем рассматривать конечно порожденные системы векторов {\cal L}=<a_1,a_2,\ldots,a_n>, т.е. существует конечная система векторов a_1,a_2,\ldots,a_n таких, что каждый вектор из {\cal L} является их линейной комбинацией. Будем предполагать, что {\cal L}\ne\{0\}.

Лемма. Существует линейно независимая система.

Возьмем любой ненулевой вектор.

Лемма. Если {\cal L} имеет систему образующих из n векторов, то в любой линейно независимой системе число векторов не больше n.

Доказательство. Пусть b_1,\ldots,b_m — линейно независимая система векторов, m>n. Каждый вектор b_j является линейной комбинацией векторов образующей системы

По теореме о линейной зависимости линейных комбинаций векторы b_1,\ldots,b_m будут линейно зависимыми.

Определение. Система векторов называется максимальной линейно независимой системой, если она линейно независима и ее нельзя включить в большую линейно независимую систему в качестве подсистемы.

Существование максимальных линейно независимых систем. Возьмем любой вектор a_1\ne\mathbb{O}. Будем добавлять к нему векторы a_2,\ldots,a_n, n\le m так, чтобы все векторы были линейно независимы. Придем к максимальной системе за конечное число шагов.

Определение. Базисом линейного пространства {\cal L} называется система векторов e_1,\ldots,e_n такая, что

1) e_1,\ldots,e_n — система образующих пространства {\cal L};

2) e_1,\ldots,e_n — линейно независимая система.

Теорема. Система векторов e_1,\ldots,e_n является базисом линейного пространства {\cal L} тогда и только тогда, когда это максимальная линейно независимая система векторов.

Доказательство. \Longrightarrow

Пусть e_1,\ldots,e_n — базис {\cal L}. Тогда по определению e_1,\ldots,e_n — линейно независимая система векторов. Любой вектор представим в виде линейной комбинации e_1,\ldots,e_n, т.е. любая большая система векторов линейно зависима, т.е. для векторов a,e_1,\ldots,e_n

Значит, базис — максимальная линейно независимая система.

\Longleftarrow

Пусть e_1,\ldots,e_n — максимальная линейно независимая система. Второе свойство базиса выполняется. Любая большая система векторов линейно зависима:

т.е. каждый вектор является линейной комбинацией векторов этой системы — выполнено первое свойство.

Теорема. Базис линейного пространства может быть выбран из любой системы образующих.

Доказательство. Пусть {\cal L}=<a_1,\ldots,a_m>. Выберем максимальную линейно независимую систему из векторов a_1,\ldots,a_m. Пусть это векторы a_1,\ldots,a_n.

Тогда система векторов a_1,\ldots,a_n,a_j, где n<j\le m, линейно зависима, иначе исходная не была бы максимальной. Тогда

Для любого вектора a

Тогда система векторов a_1,\ldots,a_n — система образующих.

Теорема. В каждом базисе линейного пространства содержится одно и то же число векторов.

Доказательство. Пусть \begin{array}{l}
e_1,\ldots,e_n,\\
f_1,\ldots,f_m
\end{array} — базисы. Если m>n, то поскольку каждый вектор f_1,\ldots,f_m можно представить в виде линейной комбинации векторов e_1,\ldots,e_n, то число линейных комбинаций больше числа комбинируемых векторов. Противоречие. Отсюда m=n.

Определение. Число векторов в базисе линейного пространства называется размерностью линейного пространства.

Обозначение \dim{\cal L}.

Если {\cal L}=\{0\}, то \dim{\cal L}=0.

Теорема. Если \dim{\cal L}=n, то любые n линейно независимых векторов образуют базис.

Доказательство. Это максимальная линейно независимая система векторов.

Теорема. Разложение каждого вектора по базисным единственно.

Доказательство. Предположим противное. Пусть вектор x раскладывается по базисным векторам двумя способами:

Векторы e_1,\ldots,e_n линейно независимы. Тогда

Определение. Коэффициенты \alpha_1,\ldots,\alpha_n в разложении вектора x по базисным векторам называются координатами вектора x в базисе e_1,\ldots,e_n.

Каждому вектору в фиксированном базисе e_1,\ldots,e_n соответствует один и только один столбец координат.

При сложении векторов складываем столбцы координат, при умножении на число — каждую координату умножаем на это число.

Задачи.

1. Найдите базис и размерность линейного пространства трехмерных вектор-столбцов, у которых вторая координата нулевая.

2. Найдите какой-нибудь базис и размерность линейного пространства всех векторов плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой.

3. Найдите все базисы системы векторов