11. Базис. Размерность*
Будем рассматривать конечно порожденные системы векторов , т.е. существует конечная система векторов
таких, что каждый вектор из
является их линейной комбинацией. Будем предполагать, что
.
Лемма. Существует линейно независимая система.
Возьмем любой ненулевой вектор.
Лемма. Если имеет систему образующих из
векторов, то в любой линейно независимой системе число векторов не больше
.
Доказательство. Пусть — линейно независимая система векторов,
. Каждый вектор
является линейной комбинацией векторов образующей системы
По теореме о линейной зависимости линейных комбинаций векторы будут линейно зависимыми.
Определение. Система векторов называется максимальной линейно независимой системой, если она линейно независима и ее нельзя включить в большую линейно независимую систему в качестве подсистемы.
Существование максимальных линейно независимых систем. Возьмем любой вектор . Будем добавлять к нему векторы
,
так, чтобы все векторы были линейно независимы. Придем к максимальной системе за конечное число шагов.
Определение. Базисом линейного пространства называется система векторов
такая, что
1) — система образующих пространства
;
2) — линейно независимая система.
Теорема. Система векторов является базисом линейного пространства
тогда и только тогда, когда это максимальная линейно независимая система векторов.
Доказательство.
Пусть — базис
. Тогда по определению
— линейно независимая система векторов. Любой вектор представим в виде линейной комбинации
, т.е. любая большая система векторов линейно зависима, т.е. для векторов
Значит, базис — максимальная линейно независимая система.
Пусть — максимальная линейно независимая система. Второе свойство базиса выполняется. Любая большая система векторов линейно зависима:
т.е. каждый вектор является линейной комбинацией векторов этой системы — выполнено первое свойство.
Теорема. Базис линейного пространства может быть выбран из любой системы образующих.
Доказательство. Пусть . Выберем максимальную линейно независимую систему из векторов
. Пусть это векторы
.
Тогда система векторов , где
, линейно зависима, иначе исходная не была бы максимальной. Тогда
Для любого вектора
Тогда система векторов — система образующих.
Теорема. В каждом базисе линейного пространства содержится одно и то же число векторов.
Доказательство. Пусть — базисы. Если
, то поскольку каждый вектор
можно представить в виде линейной комбинации векторов
, то число линейных комбинаций больше числа комбинируемых векторов. Противоречие. Отсюда
.
Определение. Число векторов в базисе линейного пространства называется размерностью линейного пространства.
Обозначение .
Если , то
.
Теорема. Если , то любые
линейно независимых векторов образуют базис.
Доказательство. Это максимальная линейно независимая система векторов.
Теорема. Разложение каждого вектора по базисным единственно.
Доказательство. Предположим противное. Пусть вектор раскладывается по базисным векторам двумя способами:
Векторы линейно независимы. Тогда
Определение. Коэффициенты в разложении вектора
по базисным векторам называются координатами вектора
в базисе
.
Каждому вектору в фиксированном базисе соответствует один и только один столбец координат.
При сложении векторов складываем столбцы координат, при умножении на число — каждую координату умножаем на это число.
Задачи.
1. Найдите базис и размерность линейного пространства трехмерных вектор-столбцов, у которых вторая координата нулевая.
2. Найдите какой-нибудь базис и размерность линейного пространства всех векторов плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой.
3. Найдите все базисы системы векторов
1 дирon:
Предложение 1 (основное предложение). Пусть S – конечная векторная система из V, S ≠ {0}. Тогда утверждения верны.
1 ° Любая линейно независимая подсистема системы S может быть добавлена к базе.
2 ° Система S имеет основу.
2 ° Любые два базиса системы S содержат одинаковое количество векторов, т.е. H. Ранг системы не зависит от выбора базы.
4 ° Если R = rangS, то все r линейно независимых векторов составляют основу системы S.
5 ° Если R = rangS, то все K> r векторов системы S линейно зависимы.
6 ° Каждый вектор A € S выражается только линейно как базовые векторы, т.е. H. Если B1, B2, …, BR – основа системы S, то
A = A1B1 + A2B2 + … + ARBR; A1, A2, …, AN € P, (1)
И это мнение единственное.
Из-за 5 ° база является наиболее линейной независимой подсистемой системы S, а ранг системы S – это число векторов в такой подсистеме.
Представление вектора A в виде (1) называется разложением вектора по базовым векторам, а числа a1, a2, …, ar в этой базе называются координатами вектора A.
Доказательства. 1 ° Пусть B1, B2, …, BK – линейно независимая подсистема системы S. Если каждый вектор системы S выражается линейно как векторы нашей подсистемы, то он по определению является основой системы S.
Если в системе S существует вектор, который линейно не выражается как векторы B1, B2, …, BK, мы называем его BK + 1. Тогда системы B1, B2, …, BK, BK + 1 линейно независимый. Если каждый вектор системы S линейно выражается как векторы этой подсистемы, то он по определению является основой системы S.
Если в системе S есть вектор, который линейно не выражается в виде B1, B2, …, BK, BK + 1, мы повторяем аргумент. Если мы продолжим этот процесс, мы либо доберемся до базы системы S, либо увеличим число векторов в линейно независимой системе на единицу. Поскольку система S имеет конечное число векторов, вторая альтернатива не может продолжаться бесконечно, и на определенном этапе мы получаем базу системы S.
2 ° Пусть S конечная векторная система и S ≠ {0}. Тогда система S имеет вектор B1 ≠ 0, который образует линейно независимую подсистему системы S. Для первой части его можно добавить в основу системы S. Система S, таким образом, имеет основу.
3 ° Предположим, что система S имеет два основания:
B1, B2, …, BR, (2)
C1, C2, …, CS, (3)
Согласно определению базы, система векторов (2) линейно независима и (2) I S. Тогда, определяя базу, каждый вектор системы (2) является линейной комбинацией векторов системы (3). Тогда основная теорема о двух векторных системах R £ S аналогично доказывает, что S £ R. Из этих двух неравенств следует R = S.
4 ° Пусть R = rangS, A1, A2, …, AR – линейно независимая подсистема S. Покажем, что она является основой s-систем. Если это не база, первая часть может быть добавлена к базе, и мы получаем базу A1, A2, …, AR, AR + 1, …, AR + T, которая содержит более R векторов , Это противоречит тому, что было доказано в третьей части.
5 ° Если K-векторы A1, A2, …, AK (K> R) s-системы линейно независимы, эту векторную систему можно добавить к базису для первой части, и мы получим базис A1, A2, .. ., AK, AK + 1, …, AK + T с более чем R векторами. Это противоречит тому, что было доказано в третьей части.
6 ° пусть B1, B2, …, BR – основа системы S. После определения основания каждый вектор A ‘S представляет собой линейную комбинацию базовых векторов:
A = a1B1 + a2B2 + … + arBR.
Чтобы доказать уникальность такого представления, предположим, что существует другое представление:
A = b1B1 + b2B2 + … + brBR.
Вычтите равенство почек, которое мы находим
0 = (a1 – b1) B1 + (a2 – b2) B2 + … + (ar-br) BR.
Поскольку база B1, B2, …, BR является линейно независимой системой, все коэффициенты ai-bi = 0; I = 1, 2, …, R. Следовательно, ai = bi; I = 1, 2, …, R и единственность доказана.
[Ответить]
12 Июнь 2020, 4:52