10. Линейные пространства*

Определение. Пусть даны множество {\cal L}=\{ a,b,c,\ldots\} и поле \mathbb{K}=\{\alpha,\beta,\gamma,\ldots\}. Множество {\cal L} называется линейным пространством над полем \mathbb{K} (полем вещественных или комплексных чисел), если для элементов множества {\cal L} определены операции сложения и умножения на число:

1) a+b\in {\cal L};

2) \alpha a\in{\cal L}

и выполняются следующие свойства:

относительно сложения

1. a+b=b+a;

2. (a+b)+c=a+(b+c);

3. существует нулевой элемент 0: a+0=a;

4. для любого ненулевого элемента a существует противоположный элемент -a: a+(-a)=0;

относительно умножения на число

1. \lambda(\mu a)=\mu(\lambda a);

2. (\lambda+\mu)a=\lambda a+\mu a;

3. \lambda(a+b)=\lambda a+\lambda b;

4. 1\cdot a=a.

Элементы линейного пространства называют векторами.

Рассмотрим все столбцы длины n (компоненты вещественные или комплексные):

X=\left(\begin{array}{c}<br />
x_1\\ x_2\\ \ldots\\ x_n<br />
\end{array}\right);<br />
Y=\left(\begin{array}{c}<br />
y_1\\ y_2\\ \ldots\\ y_n<br />
\end{array}\right).

Столбец со всеми нулевыми компонентами будем обозначать \mathbb{O}.

X=Y, если для любого i: x_i=y_i (все компоненты равны).

X+Y=\left(\begin{array}{c}<br />
x_1+y_1\\ x_2+y_2\\ \ldots\\ x_n+y_n<br />
\end{array}\right);\quad<br />
\lambda X=\left(\begin{array}{c}<br />
\lambda x_1\\ \lambda x_2\\ \ldots\\ \lambda x_n<br />
\end{array}\right)\quad \lambda,x_i,y_i\in\mathbb{K}.

Выполнены все свойства линейного пространства.

Упражнение. Проверьте, что это действительно так.

Определение. Пусть имеются столбцы X_1,X_2,\ldots,X_m. Столбец X=\alpha_1X_1+\alpha_2X_2+\ldots+\alpha_mX_m называется линейной комбинацией столбцов X_1,X_2,\ldots,X_m. Здесь \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m\in\mathbb{K}.

Определение. Система столбцов X_1,X_2,\ldots,X_m называется линейно зависимой, если существует их линейная комбинация, равная нулевому вектору, и хотя бы одно \alpha_i\ne0.

Определение. Система линейно независима, если

\alpha_1X_1+\alpha_2X_2+\ldots+\alpha_mX_m=\mathbb{O}\Longrightarrow \alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_m=0.

Свойства

1. Система из одного ненулевого вектора линейно независима.

\alpha X=\mathbb{O}\Longleftrightarrow \alpha=0 \vee X=\mathbb{O}.

2. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

1\cdot X_1+0\cdot X_2+\ldots+0\cdot X_m=\mathbb{O}.

3. Система векторов, содержащая как подсистему систему линейно зависимых векторов, линейно зависима. Иначе: если векторы

X_1,\ldots,X_k

линейно зависимы, то и векторы

X_1,\ldots,X_k,X_{k+1}\ldots,X_m

всегда линейно зависимы.

\begin{array}{l}<br />
\sqsupset \alpha_i\ne0,\\<br />
\underbrace{\alpha_1 X_1+\ldots+\alpha_k X_k}_{=\mathbb{O}}+0\cdot X_{k+1}+\ldots+0\cdot X_m=\mathbb{O}.<br />
\end{array}

4. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.

5. Система векторов линейно независима, следовательно, хотя бы какой-то один вектор является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Доказательство. Необходимость.

\alpha_1X_1+\alpha_2X_2+\ldots +\alpha_mX_m=\mathbb{O}

и пусть \alpha_m\ne0. Тогда

X_m=\gamma_1X_1+\ldots+\gamma_{m-1}X_{m-1},

где \gamma_k=-\alpha_k/\alpha_m.

Достаточность. Пусть X_m=\gamma_1X_1+\ldots+\gamma_{m-1}X_{m-1}. Тогда

\gamma_1X_1+\ldots+\gamma_{m-1}X_{m-1}-X_m=\mathbb{O}.

Коэффициент при X_m равен -1\ne0.

Теорема. Пусть a_1,\ldots,a_n — система векторов. Пусть линейные комбинации этой системы

\begin{array}{l}<br />
b_1=\alpha_{11}a_1+\alpha_{12}a_2+\ldots+\alpha_{1n}a_n,\\<br />
b_2=\alpha_{21}a_1+\alpha_{22}a_2+\ldots+\alpha_{2n}a_n,\\<br />
\ldots,\\<br />
b_m=\alpha_{m1}a_1+\alpha_{m2}a_2+\ldots+\alpha_{mn}a_n.<br />
\end{array}

Если m>n, то векторы b_1,\ldots,b_m линейно зависимы.

Доказательство. Индукцией по n.

База n=1.

b_1=\alpha_1 a,b_2=\alpha_2 a,\ldots,b_m=\alpha_m a;\quad m>1.

Если все \alpha_j=0, то система будет линейно зависима. Если существует \alpha_j\ne0 (\alpha_1\ne0), то

\begin{array}{l}<br />
(-\alpha_2)b_1+\underbrace{\alpha_1}_{\ne0}b_2+0\cdot b_3+\ldots+0\cdot b_m=0.\\<br />
-\alpha_2\alpha_1 a+\alpha_1\alpha_2a=\mathbb{O}.<br />
\end{array}

Пусть для n-1 вектора теорема верна.

I. Пусть \alpha_{11}=\alpha_{21}=\ldots=\alpha_{n1}=0. Тогда b_1,\ldots,b_m будут являться линейными комбинациями a_2,\ldots,a_nn-1 вектора. Условие m>n выполняется. По индукционному предположению b_1,\ldots,b_m линейно зависимы.

II. Существует \alpha_{s1}\ne0. Пусть \alpha_{11}\ne0. Составим новую систему векторов b_2 ‘,\ldots,b_m’:

\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
b_2 ‘=b_2-{\alpha_{21}\over \alpha_{11}}b_1=\alpha_{22}’a_2+\ldots+\alpha_{2n}’a_n,\\[3mm]<br />
\ldots\\<br />
\displaystyle<br />
b_m’=b_m-{\alpha_{m1}\over \alpha_{11}}b_1=\alpha_{m2}’a_2+\ldots+\alpha_{mn}’a_n.<br />
\end{array}

Имеем m-1 линейную комбинацию n-1 вектора (m-1>n-1). По индукционному предположению векторы b_2 ‘,\ldots,b_m’ линейно зависимы.

\beta_2b_2 ‘+\ldots+\beta_mb_m’=\mathbb{O}\quad\beta_k\ne0.

Подставим выражение \displaystyle b_k’=b_k-{\alpha_{k1}\over \alpha_{11}}b_1:

\displaystyle \beta_1=-{\alpha_{21}\over \alpha_{11}}\beta_2-\ldots-{\alpha_{m1}\over \alpha_{11}}\beta_m.

Тогда векторы линейно зависимы и существует \beta_k\ne0.

Задачи.

1. Будут ли линейно зависимы векторы

\left(\begin{array}{c}<br />
1\\ 1\\ 1<br />
\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}<br />
1\\ 1\\ 2<br />
\end{array}\right), \left(\begin{array}{c}<br />
1\\ 2\\ 3<br />
\end{array}\right)?

2. Является ли линейным пространством множество векторов длины 3, у которых равны первая и третья координаты?

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение