10. Линейные пространства*
Определение. Пусть даны множество и поле
. Множество
называется линейным пространством над полем
(полем вещественных или комплексных чисел), если для элементов множества
определены операции сложения и умножения на число:
1) ;
2)
и выполняются следующие свойства:
относительно сложения
1. ;
2. ;
3. существует нулевой элемент 0: ;
4. для любого ненулевого элемента существует противоположный элемент
:
;
относительно умножения на число
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Элементы линейного пространства называют векторами.
Рассмотрим все столбцы длины (компоненты вещественные или комплексные):
Столбец со всеми нулевыми компонентами будем обозначать .
, если для любого
:
(все компоненты равны).
Выполнены все свойства линейного пространства.
Упражнение. Проверьте, что это действительно так.
Определение. Пусть имеются столбцы . Столбец
называется линейной комбинацией столбцов
. Здесь
.
Определение. Система столбцов называется линейно зависимой, если существует их линейная комбинация, равная нулевому вектору, и хотя бы одно
.
Определение. Система линейно независима, если
Свойства
1. Система из одного ненулевого вектора линейно независима.
2. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
3. Система векторов, содержащая как подсистему систему линейно зависимых векторов, линейно зависима. Иначе: если векторы
линейно зависимы, то и векторы
всегда линейно зависимы.
4. Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема линейно независима.
5. Система векторов линейно независима, следовательно, хотя бы какой-то один вектор является линейной комбинацией остальных векторов системы.
Доказательство. Необходимость.
и пусть . Тогда
где .
Достаточность. Пусть . Тогда
Коэффициент при равен
.
Теорема. Пусть — система векторов. Пусть линейные комбинации этой системы
Если , то векторы
линейно зависимы.
Доказательство. Индукцией по .
База .
Если все , то система будет линейно зависима. Если существует
, то
Пусть для вектора теорема верна.
I. Пусть . Тогда
будут являться линейными комбинациями
—
вектора. Условие
выполняется. По индукционному предположению
линейно зависимы.
II. Существует . Пусть
. Составим новую систему векторов
:
Имеем линейную комбинацию
вектора
. По индукционному предположению векторы
линейно зависимы.
Подставим выражение :
Тогда векторы линейно зависимы и существует .
Задачи.
1. Будут ли линейно зависимы векторы
2. Является ли линейным пространством множество векторов длины 3, у которых равны первая и третья координаты?
Оставьте свой отзыв