1. Многочлены, или полиномы

Определение. Множество M элементов называется полем, если для этих элементов определены действия: сложение и умножение и выполняются свойства

относительно сложения:

1) коммутативность a+b=b+a;
2) ассоциативность (a+b)+c=a+(b+c);
3) существование нуля: \exists 0:\ \forall a\in M\quad a+0=a;
4) существование противоположного элемента: \forall a\ne0 \exists (-a): a+(-a)=0;

относительно умножения:

5) коммутативность ab=ba;

6) ассоциативность (ab)c=a(bc);
7) существование единицы \exists 1: \forall a\in M\quad 1\cdot a=a;
8 ) для любого ненулевого элемента существование обратного \exists a^{-1}:\forall a\ne0\ a\cdot a^{-1}=1.

относительно сложения и умножения:

9) дистрибутивность (распределительный закон) a(b+c)=ab+ac;
10) в поле должно существовать хотя бы два элемента 1\ne0.

Определение. Множество M элементов называется кольцом, если для всех его элементов определены операции сложения и умножения, и выполняются свойства:\\

относительно сложения:

1) коммутативность a+b=b+a;
2) ассоциативность (a+b)+c=a+(b+c);
3) существование нуля: \exists 0:\ \forall a\in M\quad a+0=a;
4) существование противоположного элемента: \forall a\ne0 \exists (-a): a+(-a)=0;
относительно сложения и умножения:

5) дистрибутивность (распределительный закон) a(b+c)=ab+ac — правосторонний распределительный закон.

5′) дистрибутивность (распределительный закон) (b+c)a=ba+ca — левосторонний распределительный закон.

Поскольку коммутативности умножения не требуется, то распределительных закона два.

Кольцо называется коммутативным, если есть коммутативность умножения, ассоциативным, если ассоциативность, унитарным (или кольцом с единицей), если в нем есть 1.

Определение. Многочленом (полиномом) называется выражение вида

    \[a_0x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{n-1}x+a_n,\]

где a_0,a_1,\ldots,a_n — элементы некоторого поля (\mathbb{Q}, \mathbb{ R}, \mathbb{C}), x — буква, a_j,j=0,1,\ldots,n — коэффициенты полинома, a_0 — старший коэффициент.

Если a_0\ne0, то число n называется степенью многочлена. Степень нулевого многочлена не будем считать равной какому-либо конкретному числу, но будем считать, что она меньше степени любого ненулевого многочлена.

Обозначение. {\rm deg}\,f — степень многочлена f.

Условимся считать, что многочлен не меняется, если приписать к нему слагаемое 0\cdot x^k.

Пусть f и g — многочлены над одним и тем же полем, пусть

    \[f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_n,g(x)=b_0x^m+b_1x^{m-1}+\ldots+b_m.\]

Будем говорить, что f=g, если m=n и a_0=b_0,a_1=b_1,\ldots,a_n=b_n.

    \[f\stackrel{\rm def}{=}g\Longleftrightarrow a_0=b_0,a_1=b_1,\ldots,a_n=b_n.\]

Пример (метод неопределенных коэффициентов). Требуется найти значения A,B,C такие, чтобы выполнялось равенство

    \[\begin{array}{l} \displaystyle {3x+1\over x^3-1}={A\over x-1}+{Bx+C\over x^2+x+1}.\\[3mm] \displaystyle {0x^2+3x+1\over x^3-1}={(A+B)x^2+(A-B+C)x+A-C\over x^3-1}, \end{array}\]

    \[\left\{\begin{array}{l} A+B=0,\\ A-B+C=3,\\ A-C=1. \end{array}\right.\]

Отсюда A=4/3,B=-4/3,C=1/3.

Можно определить обычным образом сумму, разность, произведение многочленов и доказать, что при этом выполняются обычные законы действий.

Свойства степени многочлена

1) {\rm deg}\, (fg)={\rm deg}\, f+{\rm deg}\, g,
2) {\rm deg}\,(f+g)\le\max\{ {\rm deg}\, f,{\rm deg}\, g\}.

Задачи.

1) Найдите все значения параметров a и b такие, что многочлены P и Q равны, если

    \[P(x)=x^3+(a+b)x^2+(b^2-a)x+b,\]

    \[Q(x)=x^3+(2b-1)x^2+3x+3a-1.\]

2) Найдите все значения параметров a,b,c такие, что при всех x выполняется равенство

    \[\frac{1}{(x^2+x+1)(x-2)}=\frac{ax+b}{x^2+x+1}+\frac{c}{x+2}.\]

3) Найдите все значения параметров a,b и c такие, что многочлен x^3+ax^2+bx+a является кубом двучлена x+c.

4) Найдите многочлен P третьей степени со старшим коэффициентом единицей и такой, что P(1)=0, P(2)=0, P(3)=1.

Комментариев: 3

  1. 1 Немного о теории Галуа | Математика, которая мне нравится:

    [...] ли корни многочленов с целыми коэффициентами в радикалах? Эти корни [...]

  2. 2 Tar.AS:

    Метод неопределённых коэффициентов просто прекрасен! Большое спасибо за идею.

    [Ответить]

  3. 3 Анатолий:

    Странно, что делается равенство между полиномом и многочленом. Хотя насколько я помню это разные вещи. Многочлен это то, о чём тут пишут. А полином это отношение 2-х многочленов. Посмотрел в словаре перевод на английский слова многочлен увидел, что переводится как polynomial чему был немало удивлён…. Выходит они даже не видят разницу. По поводу 1-го примера… Это всё хорошо, но есть ли способ непосредственного преобразования без ввода неизвестных коэффициентов? Этот метод слишком вычурный… О многочленах можно говорить много. Это выходит далеко за рамки ср школы. Исследования ведутся до сих пор! Т.е. тема многочленов не завершена. Могу ответить на вопрос о корнях в радикалах. В общем случае доказано, что многочлены степени выше 4 не имеют решения в радикалах. И вообще не решаются аналитически. Хотя некоторые виды вполне решаются. Но не все… Уравнение 3-ей степени имеет решение Кардано. У уравнения 4-й степени есть 2 вида формул. Они достаточно сложны и вобщем заранее неясно есть ли действительные решения, они все могут быть комплексными. У многочлена нечётной степени всегда есть хотя бы 1 действ корень. В теории формулы для решения уравнений даже 3-ей или 4-ой степени особого распространения не получили из-за их сложности. И возникает вопрос с тем какие из корней рассматривать. Ведь у уравнения n-ой степени ровно n корней с учётом их кратности. Вот к примеру можно решать методом ньютона численно уравнение. Там всё просто. Пишется итерационная формула и нет проблем. Линейное приближение. С осью OX прямая пересекается только в 1-ой точке. Может не пересекаться, тогда корень комплексный. Но тоже 1-й. Ну понятно, что если многочлен с действительными коэффиициентами имеет комплексный корень, то он так же имеет так же и комплексно сопряжённый. Однако уже в квадратичном приближении(этот метод именуется как метод парабол и др варианты этого метода Мюллера по 2-м предыдущим точкам и т.п) возникают проблемы. Во первых там 2 корня(мб если дискриминант > 0) еакой из них выбирать? Хотя уравнение квадратное. Можно пойти дальше взять кубическое приближение(4-й член в ряде Тейлора, для кв берётся 3) И даже приближение 4-ой степени взяв 5 членов ряда Тейлора. Сходимость будет супер быстрая. Аналитически всё решается! Но я нигде в математической литературе не встречал таких методов. Как правило пользуются методом Ньютона потому что он беспроблемный! И везде где в теории встречаются кубические или уравнения 4-ой степени такое имеет место быть. Хотите, сами попробуйте! Не думаю что вы будете в восторге. Хотя повторяю всё решается аналитически. Просто формулы будут оч сложные. Но не в этом дело. Возникают массы других проблем, не связанных со сложностью.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение