5. Возвратные последовательности
Рассмотрим возвратную последовательность
и заданы .
Замечание. Будем считать, что , иначе имеем геометрическую прогрессию.
Итак, найдем выражение для через
и номер
.
Определение. Уравнение
называется характеристическим уравнением последовательности (1).
Теорема. Пусть уравнение (2) имеет два различных корня и
. Тогда
и значения и
определяются из системы уравнений
Доказательство. По формулам Виета . Доказательство будем проводить методом математической индукции. Однако в нашем случае базу индукции придется проверять не только для
, но и для
.
А это верно, поскольку и
мы находили из системы (3).
Предположим теперь, что для всех членов последовательности с номерами не больше выполнено
Рассмотрим . Он выражается через предыдущие два члена
с помощью рекуррентного соотношения:
Отсюда, поскольку
получаем
Пример. .
Задача. Решить возвратную последовательность
Теорема. Пусть уравнение (2) имеет один корень . Тогда
и значения и
определяются из системы уравнений
Доказательство.
База индукции верна.
Предположим, что для всех
Пусть . Тогда
Задача. Решить возвратную последовательность
Определение. Последовательность называется периодической, если существует натуральное
, такое, что
для всех натуральных
.
Задачи.
1. Найти 1987-й член последовательности
2. Доказать, что последовательность , где
удовлетворяет рекуррентному соотношению
и начальным условиям
3. Пусть
Выразить и
через
и
.
4. Дана последовательность :
Выяснить, при каких значениях последовательность
является периодической.
5. Дана последовательность :
Выяснить, существуют ли такие положительные и
, что последовательность
является периодической.
6. Решить рекуррентные соотношения:
а) ;
б) .
7. Найти общее выражение -го члена последовательности Фибоначчи.
8. Пусть у последовательности разности двух соседних членов образуют арифметическую прогрессию с разностью . Найти
-й ее член и сумму первых
членов, если первый член равен
, а разность между вторым и первым —
.
9. Найти произведение
если известно, что
и числа образуют геометрическую прогрессию.
10*. Решить рекуррентное соотношение
11. Решить рекуррентное соотношение
1 Вася Пупкин:
Было бы неплохо дать вывод характеристического уравнения, а то впадаешь в ступор и перестаешь воспринимать дальнейший материал…
Вот здесь хорошо описано http://www.resolventa.ru/spr/algebra/rec1.htm
[Ответить]
31 Май 2012, 15:162 Елизавета Александровна Калинина:
По-моему, там тоже все притянуто за уши. Откуда
? Если хотите честный вывод, читайте тут: http://hijos.ru/olimpiadnikam/4-rekurrentnye-sootnosheniya-i-proizvodyashhie-funkcii/
[Ответить]
31 Май 2012, 18:023 Меня терзают смутные сомнения...:
По поводу условия задачи 2. Не должно-ли второе выражение (рекуррентное соотношение) быть
?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 7th, 2015 at 13:44
Спасибо, так и есть. Исправила.
[Ответить]
4 Меня опять терзают смутные сомнения:
по поводу задачи 4. Не могу найти в условии переменную
значения которой надо выяснить
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 8th, 2015 at 14:07
Спасибо, Вы правы. Исправила.
[Ответить]
5 Меня продолжают терзать смутные сомнения:
Вторая теорема – там где с одним корнем. В выражении следующем за “и значения
и
определяются из системы уравнений” не пропущена-ли
, а то задачи решаются только для
. А в доказательстве той-же второй теоремы получается что база индукции принята за очевидное – там только формулы Виета для случая с одним корнем.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 11th, 2015 at 13:53
Спасибо, исправила. Так да, действительно база индукции очевидна. Мы же
и
находим из тех условий, что база индукции выполняется.
[Ответить]
6 Меня снова терзают смутные сомнения:
Предположим, а это только предположение, догадка, что
и значения
и
определяются из системы уравнений
Попытаемся доказать это утверждение, воспользовавшись приемами доказательства первой теоремы. Базу принимаем как очевидное из системы уравнений. Далее, исходя из
и формул Виета, имеем
Понимаю, что все это сильно смахивает на софистику, но, тем не менее, следуя методике доказательства теорем на этой странице, удалось доказать ложное утверждение. Как же это получилось?
[Ответить]
Меня больше не терзают сомнения. Reply:
Май 14th, 2015 at 7:35
Дело в маленькой опечатке в самом первом
выражении. Там должно быть
. Значит и базу индукции надо доказывать для
, то есть для
и
. Я проверил для первой теоремы – все в порядке
а вот для своего софизма при
получил
– то есть база не доказана и софизм опровергнут.
[Ответить]
7 Меня терзают смутные сомнения...:
Помогите пожалуйста с задачей 10. У меня получается последовательность 1,1,0,1,1,0… с периодом 3. Можно-ли решить эту задачу без применения тригонометрических функций?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 27th, 2015 at 0:32
Я не очень понимаю, зачем тут тригонометрические функции? Да, нужно формулу подобрать, а потом доказать ее по индукции.
[Ответить]
Меня терзают смутные сомнения... Reply:
Май 27th, 2015 at 6:24
В том-то и дело, что не могу ничего толком подобрать лучше чем
– у последовательности период равен 3-м. За доказательство даже не берусь
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 28th, 2015 at 18:43
Ну, если Вам не нравится тригонометрия, то можно взять дробную часть числа – это тоже периодическая функция.
[Ответить]
Меня больше не терзают сомнения. Reply:
Май 30th, 2015 at 0:32
Елизавета Александровна, большое спасибо за интересный сайт!
Задача 10 сильно оличается от всех остальных на этой странице. Хотя ее решение (с подсказкой) и выглядит простым, предлагаю отметить задачу звездочкой *
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Июнь 1st, 2015 at 19:27
Спасибо!
Звездочку поставила.
[Ответить]