3. Суммирование

Определение. Пусть дана последовательность чисел (a_n) и натуральные числа p и q, причем p\le q.

\displaystyle\sum_{n=p}^qa_n

(сумма a_n по n от p до q) — сумма всех членов последовательности, номера которых не меньше p и не больше q.

Замечание. Сумма, состоящая из одного слагаемого, считается равной этому слагаемому.

Пример. \displaystyle\sum_{n=3}^82=12.

Пример.

\displaystyle<br />
\sum_{n=2}^5{n^2-1\over n}={3\over 2}+{8\over 3}+{15\over<br />
4}+{24\over 5}={90+160+225+288\over 60}={763\over 60}.<br />

Свойства знака \sum

1. \displaystyle\sum_{k=p}^q(\alpha a_k)=\alpha\sum_{k=p}^qa_k.

2. \displaystyle\sum_{k=p}^q(a_k+b_k)=\sum_{k=p}^qa_k+\sum_{k=p}^qb_k.

3. \displaystyle\sum_{k=p}^q1=q-p+1.

4. \displaystyle\sum_{k=1}^nk={n(n+1)\over 2}.

Пример. Вычислим \displaystyle \sum_{k=1}^nk^2.

(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1

Просуммируем левую и правую части по k от 1 до n
\displaystyle\sum_{k=1}^n(k+1)^3-\sum_{k=1}^nk^3=3\sum_{k=1}^nk^2+ 3\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n1
Слева получаем
2^3+3^3+\dots+(n+1)^3-(1^3+2^3+\dots+n^3)=(n+1)^3-1^3.
Имеем
\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
(n+1)^3-1^3=3\sum_{k=1}^nk^2+{3n(n+1)\over 2}+n=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
={2(n+1)^3-2-3n^2-3n-2n\over 6}={2n^3+6n^2+6n+2-2-3n^2-3n-2n\over 6}=\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
={n(2n^2+3n+1)\over 6}={n(n+1)(2n+1)\over 6}.<br />
\end{array}

Задачи.

1. Найти \displaystyle \sum_{k=1}^nk^3

2. \displaystyle\sum_{k=1}^nx^k

3. \displaystyle\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k-1}k^2

4. \displaystyle\sum_{k=1}^n{1\over k(k+1)}

5. \displaystyle\sum_{k=1}^nkx^k

6. Найти сумму первых n членов последовательности, если ее k-ый член

a_k=4k(k^2+1)-(6k^2+1).

7. Найти \displaystyle\sum_{k=1}^n\underbrace{555\dots5}_{k} (пятерок — k).

8. \displaystyle\sum_{k=1}^n\left( x^k+{1\over x^k}\right)^2.

Комментариев: 28

  1. 1 Vasja_Vasja:

    3/2 + 8/3 + 15/4 + 24/5 = (90 + 160 + 225 + 288)/60 = 763/60
    Наверное у вас просто опечатка

    [Ответить]

  2. 3 Вася Пупкин:

    Как получили это http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-e4aba52851d88d9daf7f009bfb2b7ea6.gif тождество?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Куб суммы: (k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1. Можете просто скобки раскрыть :)

    [Ответить]

  3. 4 Вася Пупкин:

    Это как раз таки понятно, я имел ввиду другое. Не понятно, почему Вы взяли именно куб суммы и как это связано с суммой k^2.

    [Ответить]

  4. 5 Елизавета Александровна Калинина:

    Поняла. Это догадка. Логически не объяснить… Искусственный прием. Кто-то, даже не знаю кто, придумал.

    [Ответить]

  5. 6 Вася Пупкин:

    Т.е. примеры из данной главы тоже решать основываясь на догадках и интуиции? Меня немного смутил способ, которым я решил первую задачу.

    Перебирая всевозможные варианты, я заметил, что сумма последовательности k^3 равна сумме последовательности k, возведенной во вторую степень, т.е. (k(k+1)/2)^2 и доказал это методом мат. индукции.

    [Ответить]

  6. 7 Елизавета Александровна Калинина:

    Основываться на догадках и интуиции Вы всегда имеете полное право. В том случае, если Вашу догадку Вы потом строго докажете. То, что Вы написали, является решением. А еще можно было бы рассмотреть (k+1)^4-k^4 ;)

    [Ответить]

  7. 8 Вася Пупкин:

    Понятно, спасибо)

    [Ответить]

  8. 9 Александр:

    второй вроде решается с помощью формулы для суммы членов геометрической прогрессии или есть другой способ?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, верно. Хорошо бы с выводом формулы ;)

    [Ответить]

  9. 10 Геннадий:

    Здравствуйте! У меня вопрос по суммированию: чему равна простая бесконечная сумма 0+0+…+0 ?
    Мы знаем, что ноль иногда причисляют к натуральным числам, а иногда – нет. Известны два подхода к определению натуральных чисел: перечисление предметов (первый, второй, третий и т.д.) и обозначение количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета и т.д.). Очевидно, если используется количественная характеристика чисел, то ноль считают натуральным числом.
    Если мы говорим, 0 – это нет такого предмета, нет другого предмета и вообще нет никакого предмета, то можем считать, что 0 – это «ничего». И, возвращаясь к нашей сумме, если сложить «ничего» с самим собой два, три и более раз, хоть бесконечное число раз, то мы, видимо, получим «ничего», т.е. 0. Итак, указанная сумма равна нулю? Или она равна чему-то другому, например, бесконечности, или вообще неопределена?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Добрый день!
    Все-таки меня учили классически, и ноль для меня всегда целое число, а не натуральное.
    Что касается суммы бесконечного числа нулей. Если это сумма вида \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}0, т.е. сумма счетного числа нулей, то она равна нулю. Если же мы рассматриваем неопределенность вида 0\cdot \infty, то здесь могут быть разные варианты.

    [Ответить]

    Геннадий Reply:

    Да, советские математики, а затем и российские не считают ноль натуральным числом. Для зарубежных – это не так. Например, французы Бурбаки определяют натуральные числа как мощности конечных множеств. Поэтому у них ноль (мощность пустого множества) тоже натуральное число.
    Что касается суммы нулей, мне тоже хочется, чтобы сумма счетного числа нулей была равна нулю. Но посмотрите на эти преобразования:
    0+0+\ldots+0 = 1\cdot0 + 1\cdot 0 +\ldots +1\cdot0 = (1+1+ \ldots+1) \cdot 0 = \infty  \cdot 0.
    Получаем неопределенность. И что с этим делать, понятия не имею.

    [Ответить]

    Геннадий Reply:

    Извините, в формуле между 1 и 0 не пропечатался знак умножения, а также многоточие. Может, такой знак сойдет за умножение: \times.
    В пояснениях к набору формул в LaTex не нашел ни знака умножения, ни многоточия.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Ничего страшного. Спасибо, исправила.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Дело в том, что неопределенности можно раскрывать. И в Вашем примере она раскрывается как нуль, поскольку бесконечность – сумма счетного числа единиц.

    [Ответить]

    Геннадий Reply:

    Здравствуйте! Спасибо за корректировку моих текстов. Жаль, нет возможности это сделать самому, поскольку в громоздких формулах ошибки практически неизбежны. И не всегда администратор может их исправить, да и незачем нагружать его этим.
    Относительно рассматриваемой суммы, конечно, бесконечность бесконечности рознь, и некоторые неопределенности можно раскрывать. Но ноль, все-таки, «он и в Африке ноль». И в данном случае меня «гложет сомнение». Смотрите, что получается:
    \frac{0}{0} = 0 \times \infty = 0 \times (1+1+ \ldots +1) = 0
    В итоге мы раскрыли неразрешимую неопределенность. Где-то ошибка, или здесь первое равенство недопустимо, или сумма счетного числа нулей не равна нулю.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Если будет ошибка, пишите, я исправлю.
    По поводу неопределенности. Она может быть раскрыта, если известно, какая неопределенность. У Вас с первым равенством все в порядке, второе равенство не всегда является равенством, только для рассматриваемого случая это так.

    [Ответить]

    Геннадий Reply:

    Извините, но Вы меня совсем запутали. Разве равенство 0/0 = 0 может быть верно для какого-то особого случая? На мой взгляд, такое равенство либо всегда верно, либо всегда ложно. И справедливо, конечно, последнее.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Смотрите, 0/0 — неопределенность. Я имею в виду, скажем, такие соотношения: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1/n^2}{1/n}, \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{1/n}, \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{1/n^2}. Все это неопределенности вида 0/0. Однако в первом случае предел равен 0, во втором — 1, а в третьем — +\infty.

    [Ответить]

  10. 11 Геннадий:

    Здравствуйте, Елизавета Александровна! Конечно, 0/0 – это неопределенность, и Ваши примеры с пределами доходчиво иллюстрируют роль бесконечно малых различных порядков. Мне хотелось проанализировать неопределенность 0/0 с помощью бесконечно малых и бесконечно больших констант, и здесь помогла статья на Вашем сайте http://hijos.ru/diskussionnyj-klub/analiz-myortv-da-zdravstvuet-analiz/.
    Неопределенность 0/0 как деление двух бесконечно малых констант можно свести к сумме счетного числа нулей лишь в том случае, когда в числителе бесконечно малая такого же или большего порядка, чем в знаменателе. Если числитель и знаменатель – бесконечно малые первого порядка, то после преобразования \frac{0}{0} = 0 \times \infty, заменив далее бесконечность на сумму счетного числа конечных величин и раскрыв скобки, мы в итоге получим бесконечную сумму нулей, а точнее счетное число бесконечно малых первого порядка. Такая сумма равна не нулю, а произвольному конечному числу. Это как разбить конечный отрезок любой длины на бесконечно большое число бесконечно малых частей, т.е. частей нулевой длины, а затем эти части (нули) обратно сложить.
    Сумма счетного числа нулей равна нулю, если среди слагаемых нет счетного числа бесконечно малых первого порядка. К такой сумме можно преобразовать неопределенность 0/0, если числитель – бесконечно малая второго и большего порядка, а знаменатель – бесконечно малая первого порядка.
    PS. Похоже (или я не прав?), в любой сумме слагаемых может быть конечное число или счетное, но никак не континуум. Знак “+” сам по себе играет роль разделителя суммируемых и, следовательно, подсчитываемых величин, число которых поэтому не более, чем счетно.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Добрый вечер! Если мы разобьем отрезок на части нулевой длины, то таких частей будет не счетное число. Вот тут, например, доказано, что множество вещественных чисел несчетно (теорема 2):http://sernam.ru/lect_math2.php?id=14

    [Ответить]

    Геннадий Reply:

    Здравствуйте, Елизавета Александровна! В прошлом моем комментарии ссылка с ошибкой, повторились кавычки. Если можно, уберите лишнюю кавычку в тексте атрибута href.
    Конечно, множество вещественных чисел несчетно, а множество рациональных чисел счетно, но мы не об этом. Если разбивается конечный отрезок вещественной оси на бесконечно большое число бесконечно малых частей, это не значит, что отрезок расщепляется на отдельные точки (наверное, это и невозможно в силу непрерывности).
    Процитирую отрывок из того же автора: «бесконечно малая никак и ничем по размеру не отличима от нуля, её размер никак не ощутим и не наблюдаем. Поэтому она точно равна нулю в смысле обычного равенства чисел. Но, тем не менее, бесконечно малая не совпадает с нулём тождественно и в этом смысле равна нулю лишь приближённо».
    Мы работаем с бесконечной малой окрестностью конечного числа, в каждой такой окрестности число точек несчетно, но количество самих окрестностей уже счетно. Выделяя окрестности, мы уходим от непрерывности вещественных чисел, уходим от континуума.

    [Ответить]

  11. 12 Меня терзают смутные сомнения:

    Нельзя-ли здесь воспользоваться функциональными уравнениями вида
    f(x)-f(x-1)= выражению под знаком суммирования?
    Рассмотрим приведенный выше пример
    \sum_{k=1}^nk^2
    Соответствующее функциональное уравнение
    f(x)-f(x-1)=x^2
    Предположим, что решением будет полином 3-й степени.
    ax^3+bx^2+cx+d-(a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d)=x^2
    преобразуем
    (3a-1)x^2+(2b-3a)x+(a-b+c)=0
    Легко решается: a=1/3,b=1/2,c=1/6
    Ответ: 1/3n^3+1/2n^2+1/6n

    P.S Проба пера в LaTeX ;)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Проба получилась хорошо :-)
    Мне вот только не очень понятно, из чего следует, что нужно так, а не как-нибудь иначе?

    [Ответить]

    Меня терзают смутные сомнения Reply:

    Елизавета Александровна, позвольте сформулировать вопрос по-другому:
    Не существует-ли какого-либо стандартного подхода, приема, может-быть трюка, позволяющего решать функциональные уравнения именно этого вида
    f(x)-f(x-1)=g(x) для большинства g(x)?
    Это значительно упростило-бы решение задач на суммирование последовательностей, включая приведенные на этой странице.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    На мой взгляд, функциональные уравнения только усложняют дело. О них посмотрите здесь: http://hijos.ru/olimpiadnikam/2-funkcionalnye-uravneniya/

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение