23. Извлечение корня из комплексных чисел

Определение. Пусть n\in\mathbb{N},n\ge2. Число z называется корнем степени n из комплексного числа w, если z^n=w.

Если w=0, то, очевидно, и z=0.

Пусть w\ne0. Тогда и z\ne0. Пусть

    \[\begin{array}{l} w=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),r>0,\\ z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta),\rho>0,\\ z^n=w\Longleftrightarrow\rho^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)=r(\cos\varphi+ i\sin\varphi). \end{array}\]

    \[\left\{\begin{array}{l} \rho^n=r,\\ n\theta=\varphi+2\pi k,k\in\mathbb{Z} \end{array}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \rho=\sqrt[n]{r},\\ \displaystyle\theta={\varphi+2\pi k\over n},\ k\in\mathbb{Z}. \end{array}\right.\]

Таким образом, все корни степени n из w задаются формулой

    \[\displaystyle z_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos{\varphi+2\pi k\over n}+i\sin{\varphi+2\pi k\over n}\right), k\in\mathbb{Z}.\]

Выясним, сколько из этих корней различных.

Пусть k,l\in\mathbb{Z}.

    \[\begin{array}{l} \displaystyle z_k=z_l\Longleftrightarrow{\varphi+2\pi k\over n}={\varphi+2\pi l\over n}+2\pi m,m\in\mathbb{Z},\\[3mm] \varphi+2\pi k=\varphi+2\pi l+2\pi nm,m\in\mathbb{Z},\\ k-l=mn,m\in\mathbb{Z},\\ k\equiv l\pmod{n},\\ z_k=z_l\Longleftrightarrow k\equiv l\pmod{n}. \end{array}\]

Среди чисел z_0,z_1,\dots,z_{n-1} равных нет, и любое z_k равно одному из них.

Доказана

Теорема. Если w\ne0,r=|w|,\varphi=\arg w,n\in\mathbb{N},n\ge2, то существует ровно n различных корней степени n из числа w. Они задаются формулой

    \[\displaystyle z_k=\sqrt[n]{r}\left(\cos{\varphi+2\pi k\over n}+i\sin{\varphi+2\pi k\over n} \right),\ k=\overline{0,n-1}.\]

Все эти корни лежат на одной окружности с центром в нуле и радиусом \sqrt[n]{r} и являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность.

Корни из единицы

Теорема. Пусть z^n=w, пусть \varepsilon_0,\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_{n-1} — все корни степени n из числа 1. Тогда \varepsilon_0z,\varepsilon_1z,\ldots,\varepsilon_{n-1}z — все корни степени n из w.

Теорема. Пусть U_n — множество всех корней степени n из 1. Если x\in U_n,y\in U_n, то xy\in U_n,x/y\in U_n.

Замечание. Множество, обладающее таким свойством, называется группой.

    \[\begin{array}{l} U_1=\{1\}\\ U_2=\{-1,1\}\\ \displaystyle U_3=\left\{1,\varepsilon_1=\cos{2\pi\over 3}+i\sin{2\pi\over 3}=-{1\over 2}+{\sqrt{3}\over 2}i,\varepsilon_2=-{1\over 2}-{\sqrt{3}\over 2}i\right\}\\ U_4=\{1,\varepsilon_1=i,\varepsilon_2=-1,\varepsilon_3=-i\}\\ U_5=\{1,k=1,k=2,k=3,k=4\}\\ \displaystyle U_6=\left\{1,{1\over 2}+{\sqrt{3}\over 2}i,-{1\over 2}+{\sqrt{3}\over 2}i, -1,-{1\over 2}-{\sqrt{3}\over 2}i,-{1\over 2}-{\sqrt{3}\over 2}i\right\}. \end{array}\]

Определение. Говорят, что какой-то корень n-й степени из 1 является первообразным корнем степени n из 1 (или принадлежит показателю n), если он не является корнем меньшей степени из 1, т.е. он \in U_n, но \not\in U_1,\ldots,U_{n-1}.

Теорема. Первообразный корень n-й степени из 1 имеет показатель k взаимно простой с n, а число всех первообразных корней равно \varphi(n), где \varphi(n) — функция Эйлера.

Теорема.

    \[\varepsilon_0+\varepsilon_1+\ldots+\varepsilon_{n-1}=0.\]

Все корни степени n из 1 являются степенями одного из них, например, \varepsilon_1.

Задачи.

1. Найдите все кубические корни из 8.

2. Найдите все кубические корни из 1+i.

3. Найдите все корни четвертой степени из -4.

4. Найдите все корни пятой степени из \displaystyle \frac{1+i}{\sqrt{3}-i}.

5. Кубическими корнями из 1 являются числа \displaystyle 1, \omega=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{3}, \displaystyle \bar{\omega}=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{3}.

1) Вычислите \omega^{100}+\omega^{200}+\omega^{300}.

2) Пусть a,b,c – вещественные числа, n – целое число. Докажите, что (a+b\omega+c\omega^2)^n+(a+b\omega^2+c\omega)^n – вещественное число.

3) Докажите тождество

    \[x^3+y^3=(x+y)(x+\omega y)(x+\omega^2y).\]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение