22. Комплексная плоскость
Рассмотрим координатную плоскость и поставим в соответствие каждому комплексному числу точку с координатами
. Тогда устанавливается взаимно однозначное соответствие между полем
и множеством точек координатной плоскости. Координатную плоскость в этом случае будем называть комплексной плоскостью. Ось абсцисс будем называть вещественной осью, а ось ординат — мнимой осью.
С каждой точкой комплексной плоскости можно связать вектор, идущий из нуля в эту точку (радиус-вектор). Координаты этого вектора — вещественная и мнимая части его конца.
Радиус-вектор числа равен сумме радиус-векторов чисел
и
.
Аналогично с вычитанием.
Полярная система координат
Выберем в плоскости точку (полюс) и луч с началом в точке
(полярную полуось). Тогда положение любой точки плоскости
, отличной от точки
, однозначно характеризуется двумя числами: длиной отрезка
(полярный радиус точки
) и величиной угла, образованного лучом
с полярной полуосью (полярный угол точки
). При этом полярный угол отсчитывается в некотором фиксированном направлении, одном и том же для всех точек.
Полярный угол определен с точностью до . Полярный радиус точки
считается равным нулю, а полярного угла у нее нет.
Модуль и аргумент комплексного числа
Модулем комплексного числа называется расстояние от
до нуля на комплексной плоскости.
Обозначение. . (Модуль
— длина радиус-вектора.) Если
, это определение не противоречит определению модуля вещественного числа.
Пусть и
— комплексные числа.
— длина радиус-вектора числа
— длина вектора
— расстояние между
и
на комплексной плоскости.
Пусть
. Тогда
Следовательно,
.
Теорема. .
Доказательство.
Теорема.
Доказательство аналогично.
Теорема.
Доказательство. Следует из определения модуля и геометрического смысла сложения и вычитания комплексных чисел.
Определение. Пусть — комплексное число, не равное нулю, пусть
, тогда
Следовательно, точка лежит на единичной окружности с центром в нуле.
Существует вещественное число такое, что
Таких чисел бесконечно много, и любые два из них различаются на
, где
— произвольное целое число. Любое такое число называется аргументом числа
.
Обозначение. .
Итак, любое комплексное число можно представить в виде
где
.
Такое представление комплексного числа называется его тригонометрической формой.
Формула Муавра
Абрахам де Муавр (1667–1754) был выходцем из Франции, прожил долгую жизнь в Англии и умер в Лондоне. Однажды, незадолго до смерти, Муавр заявил, что ему необходимо ежедневно увеличивать время сна на 10–15 минут. Достигнув, таким образом, в сумме продолжительность сна более 23 часов, он на следующие сутки проспал все 24 часа и умер во сне.
С именем Муавра связаны правила возведения в -ю степень и извлечения корня
-й степени для комплексных чисел. Муавр много занимался исследованием рядов и доказал частный случай предельной теоремы в теории вероятностей.
Лемма. Пусть , где
. Тогда
.
Доказательство.
Пусть . Тогда
. Но
Следовательно, числам и
соответствует одна и та же точка числовой окружности. Значит,
. Значит,
— одно из значений
.
Теорема. Пусть . Тогда
.
Доказательство. Представим и
в тригонометрической форме:
Тогда
Так как , то можно применить лемму.
— одно из значений
.
Следствие.
— формула Муавра.
Следствие. В условиях теоремы .
Доказательство.
Пусть . По теореме
Следствие. Формула Муавра верна для любого целого показателя (целая отрицательная и нулевая степень для комплексных чисел вводится так же, как и для вещественных).
Доказательство. Пусть .
Следствие.
Доказательство.
Задачи.
1. Изобразите на комплексной плоскости числа
1)
2) ;
3) .
2. Найдите модуль и аргумент чисел
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
3. Изобразите на комплексной плоскости множество точек
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) и
.
4. Найдите множество значений функций с областью определения
:
1) ,
;
2) ,
.
5. Используйте тригонометрическую форму и формулу Муавра для вычисления значений:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Оставьте свой отзыв