Комплексная плоскость | Математика, которая мне нравится

22. Комплексная плоскость

Рассмотрим координатную плоскость и поставим в соответствие каждому комплексному числу $a+bi$ точку с координатами $(a,b)$ . Тогда устанавливается взаимно однозначное соответствие между полем $\mathbb{C}$ и множеством точек координатной плоскости. Координатную плоскость в этом случае будем называть комплексной плоскостью. Ось абсцисс будем называть вещественной осью, а ось ординат — мнимой осью.

С каждой точкой комплексной плоскости можно связать вектор, идущий из нуля в эту точку (радиус-вектор). Координаты этого вектора — вещественная и мнимая части его конца.

$\begin{array}{l} \Re e (z_1+z_2)=\Re e z_1+\Re e z_2\\ \Im m (z_1+z_2)=\Im m z_1+\Im m z_2. \end{array}$

Радиус-вектор числа $z_1+z_2$ равен сумме радиус-векторов чисел $z_1$ и $z_2$ .

Аналогично с вычитанием.

Полярная система координат

Выберем в плоскости точку $O$ (полюс) и луч с началом в точке $O$ (полярную полуось). Тогда положение любой точки плоскости $A$ , отличной от точки $O$ , однозначно характеризуется двумя числами: длиной отрезка $OA$ (полярный радиус точки $A$ ) и величиной угла, образованного лучом $OA$ с полярной полуосью (полярный угол точки $A$ ). При этом полярный угол отсчитывается в некотором фиксированном направлении, одном и том же для всех точек.

Полярный угол определен с точностью до $2\pi k$ . Полярный радиус точки $O$ считается равным нулю, а полярного угла у нее нет.

Модуль и аргумент комплексного числа

Модулем комплексного числа $z$ называется расстояние от $z$ до нуля на комплексной плоскости.

Обозначение. $|z|$ . (Модуль $z$ — длина радиус-вектора.) Если $z\in\mathbb{R}$ , это определение не противоречит определению модуля вещественного числа.

Пусть $z_1$ и $z_2$ — комплексные числа. $|z_1-z_2|$ — длина радиус-вектора числа $z_1-z_2$ — длина вектора ${\bf z}_2{\bf z}_1$ — расстояние между $z_2$ и $z_1$ на комплексной плоскости.

Пусть $z=a+bi$ $(a,b\in\mathbb{R})$ . Тогда $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ Следовательно, $|z|=\sqrt{z\bar{z}}$ .

Теорема. $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$ .

Доказательство.

$|z_1z_2|=\sqrt{(z_1z_2)(\bar{z}_1\bar{z}_2)}=\sqrt{z_1z_2\bar{z}_1\bar{z}_2}=\sqrt{z_1\bar{z}_1z_2\bar{z}_2}=\sqrt{|z_1|^2|z_2|^2}=|z_1||z_2|.$

Теорема.

$\left|{z_1\over z_2}\right|={|z_1|\over |z_2|}.$

Доказательство аналогично.

Теорема.

$\begin{array}{l} |z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|,\\ |z_1-z_2|\ge|z_1|-|z_2|. \end{array}$

Доказательство. Следует из определения модуля и геометрического смысла сложения и вычитания комплексных чисел.

Определение. Пусть $z$ — комплексное число, не равное нулю, пусть $\displaystyle z_0={z\over |z|}$ , тогда

$|z_0|={|z|\over ||z||}={|z|\over |z|}=1.$

Следовательно, точка $z_0$ лежит на единичной окружности с центром в нуле.

Существует вещественное число $\varphi$ такое, что

$\Re ez_0=\cos\varphi,\ \Im m z_0=\sin\varphi.$

Таких чисел $\varphi$ бесконечно много, и любые два из них различаются на $2\pi k$ , где $k$ — произвольное целое число. Любое такое число называется аргументом числа $z$ .

Обозначение. $\varphi={\rm arg}\, z$ .

$\begin{array}{l} z_0=\cos\varphi+i\sin\varphi,\\ z=|z|z_0=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi). \end{array}$

Итак, любое комплексное число $z\ne0$ можно представить в виде

$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),$

где $r=|z|,\ \varphi=\arg z$ $(r,\varphi\in\mathbb{R},\ r>0)$ .

Такое представление комплексного числа называется его тригонометрической формой.

Формула Муавра

Абрахам де Муавр (1667–1754) был выходцем из Франции, прожил долгую жизнь в Англии и умер в Лондоне. Однажды, незадолго до смерти, Муавр заявил, что ему необходимо ежедневно увеличивать время сна на 10–15 минут. Достигнув, таким образом, в сумме продолжительность сна более 23 часов, он на следующие сутки проспал все 24 часа и умер во сне.

С именем Муавра связаны правила возведения в $n$ -ю степень и извлечения корня $n$ -й степени для комплексных чисел. Муавр много занимался исследованием рядов и доказал частный случай предельной теоремы в теории вероятностей.

Лемма. Пусть $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ , где $r,\varphi\in\mathbb{R},r>0$ . Тогда $r=|z|,\varphi=\arg z$ .

Доказательство.

$\begin{array}{l} |z|=\sqrt{\bar{z}z}=\sqrt{r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\cdot r (\cos\varphi+i\sin\varphi)}=\\ =\sqrt{r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}=|r|=r\\ r=|z|. \end{array}$

Пусть $\psi=\arg z$ . Тогда $z=r(\cos\psi+i\sin\psi)$ . Но $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\Longrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l} \cos\psi=\cos\varphi,\\ \sin\psi=\sin\varphi, \end{array}\right.$

Следовательно, числам $\psi$ и $\varphi$ соответствует одна и та же точка числовой окружности. Значит, $\psi=\varphi+2\pi k,k\in\mathbb{Z}$ . Значит, $\varphi$ — одно из значений ${\rm arg}\, z$ .

Теорема. Пусть $z_1,z_2\ne0,\varphi_1=\arg z_1,\varphi_2=\arg z_2$ . Тогда $\varphi_1+\varphi_2=\arg(z_1z_2)$ .

Доказательство. Представим $z_1$ и $z_2$ в тригонометрической форме:

$z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1),\ z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2).$

Тогда

$\begin{array}{l} z_1z_2=r_1r_2((\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2)+i(\cos\varphi_1\sin\varphi_2+\sin\varphi_1\cos\varphi_2))=\\ =r_1r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)). \end{array}$

Так как $r_1,r_2>0$ , то можно применить лемму. $\varphi_1+\varphi_2$ — одно из значений ${\rm arg}\, z$ .

Следствие.

$(\cos\varphi+i\sin\varphi)^n=\cos n\varphi+i\sin n\varphi$

— формула Муавра.

Следствие. В условиях теоремы $\varphi_1-\varphi_2=\arg(z_1/z_2)$ .

Доказательство.

${z_1\over z_2}\cdot z_2=z_1.$

Пусть $\psi=\arg(z_1/z_2)$ . По теореме

$\begin{array}{l} \psi+\varphi_2=\arg z_1,\\ \psi+\varphi_2=\varphi_1+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\ \varphi_1-\varphi_2=\psi-2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\ \varphi_1-\varphi_2=\arg(z_1/z_2). \end{array}$

Следствие. Формула Муавра верна для любого целого показателя (целая отрицательная и нулевая степень для комплексных чисел вводится так же, как и для вещественных).

Доказательство. Пусть $n\in\mathbb{N}$ .

$\begin{array}{l} \displaystyle(\cos\varphi+i\sin\varphi)^{-n}={1\over (\cos\varphi+i\sin\varphi)^n}= {\cos0+i\sin0\over \cos n\varphi+i\sin n\varphi}=\\[3mm] =\cos(-n\varphi)+i\sin(-n\varphi). \end{array}$

Следствие.

$(\cos\varphi-i\sin\varphi)^n=\cos n\varphi-i\sin n\varphi.$

Доказательство.

$\begin{array}{l} (\cos\varphi-i\sin\varphi)^n=(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))^n=\\ =\cos(-n\varphi)+i\sin(-n\varphi)=\cos n\varphi-i\sin n\varphi. \end{array}$