22. Комплексная плоскость

Рассмотрим координатную плоскость и поставим в соответствие каждому комплексному числу a+bi точку с координатами (a,b). Тогда устанавливается взаимно однозначное соответствие между полем \mathbb{C} и множеством точек координатной плоскости. Координатную плоскость в этом случае будем называть комплексной плоскостью. Ось абсцисс будем называть вещественной осью, а ось ординат — мнимой осью.

С каждой точкой комплексной плоскости можно связать вектор, идущий из нуля в эту точку (радиус-вектор). Координаты этого вектора — вещественная и мнимая части его конца.

    \[\begin{array}{l} \Re e (z_1+z_2)=\Re e z_1+\Re e z_2\\ \Im m (z_1+z_2)=\Im m z_1+\Im m z_2. \end{array}\]

Радиус-вектор числа z_1+z_2 равен сумме радиус-векторов чисел z_1 и z_2.

Аналогично с вычитанием.

Полярная система координат

Выберем в плоскости точку O (полюс) и луч с началом в точке O (полярную полуось). Тогда положение любой точки плоскости A, отличной от точки O, однозначно характеризуется двумя числами: длиной отрезка OA (полярный радиус точки A) и величиной угла, образованного лучом OA с полярной полуосью (полярный угол точки A). При этом полярный угол отсчитывается в некотором фиксированном направлении, одном и том же для всех точек.

Полярный угол определен с точностью до 2\pi k. Полярный радиус точки O считается равным нулю, а полярного угла у нее нет.

Модуль и аргумент комплексного числа

Модулем комплексного числа z называется расстояние от z до нуля на комплексной плоскости.

Обозначение. |z|. (Модуль z — длина радиус-вектора.) Если z\in\mathbb{R}, это определение не противоречит определению модуля вещественного числа.

Пусть z_1 и z_2 — комплексные числа. |z_1-z_2| — длина радиус-вектора числа z_1-z_2 — длина вектора {\bf z}_2{\bf z}_1 — расстояние между z_2 и z_1 на комплексной плоскости.

Пусть z=a+bi (a,b\in\mathbb{R}). Тогда |z|=\sqrt{a^2+b^2} Следовательно, |z|=\sqrt{z\bar{z}}.

Теорема. |z_1z_2|=|z_1||z_2|.

Доказательство.

    \[|z_1z_2|=\sqrt{(z_1z_2)(\bar{z}_1\bar{z}_2)}=\sqrt{z_1z_2\bar{z}_1\bar{z}_2}=\sqrt{z_1\bar{z}_1z_2\bar{z}_2}=\sqrt{|z_1|^2|z_2|^2}=|z_1||z_2|.\]

Теорема.

    \[\left|{z_1\over z_2}\right|={|z_1|\over |z_2|}.\]

Доказательство аналогично.

Теорема.

    \[\begin{array}{l} |z_1+z_2|\le|z_1|+|z_2|,\\ |z_1-z_2|\ge|z_1|-|z_2|. \end{array}\]

Доказательство. Следует из определения модуля и геометрического смысла сложения и вычитания комплексных чисел.

Определение. Пусть z — комплексное число, не равное нулю, пусть \displaystyle z_0={z\over |z|}, тогда

    \[|z_0|={|z|\over ||z||}={|z|\over |z|}=1.\]

Следовательно, точка z_0 лежит на единичной окружности с центром в нуле.

Существует вещественное число \varphi такое, что

    \[\Re ez_0=\cos\varphi,\ \Im m z_0=\sin\varphi.\]

Таких чисел \varphi бесконечно много, и любые два из них различаются на 2\pi k, где k — произвольное целое число. Любое такое число называется аргументом числа z.

Обозначение. \varphi={\rm arg}\, z.

    \[\begin{array}{l} z_0=\cos\varphi+i\sin\varphi,\\ z=|z|z_0=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi). \end{array}\]

Итак, любое комплексное число z\ne0 можно представить в виде

    \[z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),\]

где r=|z|,\ \varphi=\arg z (r,\varphi\in\mathbb{R},\ r>0).

Такое представление комплексного числа называется его тригонометрической формой.

Формула Муавра

Абрахам де Муавр (1667–1754) был выходцем из Франции, прожил долгую жизнь в Англии и умер в Лондоне. Однажды, незадолго до смерти, Муавр заявил, что ему необходимо ежедневно увеличивать время сна на 10–15 минут. Достигнув, таким образом, в сумме продолжительность сна более 23 часов, он на следующие сутки проспал все 24 часа и умер во сне.

С именем Муавра связаны правила возведения в n-ю степень и извлечения корня n-й степени для комплексных чисел. Муавр много занимался исследованием рядов и доказал частный случай предельной теоремы в теории вероятностей.

Лемма. Пусть z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi), где r,\varphi\in\mathbb{R},r>0. Тогда r=|z|,\varphi=\arg z.

Доказательство.

    \[\begin{array}{l} |z|=\sqrt{\bar{z}z}=\sqrt{r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\cdot r (\cos\varphi+i\sin\varphi)}=\\ =\sqrt{r^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)}=|r|=r\\ r=|z|. \end{array}\]

Пусть \psi=\arg z. Тогда z=r(\cos\psi+i\sin\psi). Но z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\Longrightarrow

    \[\left\{\begin{array}{l} \cos\psi=\cos\varphi,\\ \sin\psi=\sin\varphi, \end{array}\right.\]

Следовательно, числам \psi и \varphi соответствует одна и та же точка числовой окружности. Значит, \psi=\varphi+2\pi k,k\in\mathbb{Z}. Значит, \varphi — одно из значений {\rm arg}\, z.

Теорема. Пусть z_1,z_2\ne0,\varphi_1=\arg z_1,\varphi_2=\arg z_2. Тогда \varphi_1+\varphi_2=\arg(z_1z_2).

Доказательство. Представим z_1 и z_2 в тригонометрической форме:

    \[z_1=r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1),\ z_2=r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2).\]

Тогда

    \[\begin{array}{l} z_1z_2=r_1r_2((\cos\varphi_1\cos\varphi_2-\sin\varphi_1\sin\varphi_2)+i(\cos\varphi_1\sin\varphi_2+\sin\varphi_1\cos\varphi_2))=\\ =r_1r_2(\cos(\varphi_1+\varphi_2)+i\sin(\varphi_1+\varphi_2)). \end{array}\]

Так как r_1,r_2>0, то можно применить лемму. \varphi_1+\varphi_2 — одно из значений {\rm arg}\, z.

Следствие.

    \[(\cos\varphi+i\sin\varphi)^n=\cos n\varphi+i\sin n\varphi\]

— формула Муавра.

Следствие. В условиях теоремы \varphi_1-\varphi_2=\arg(z_1/z_2).

Доказательство.

    \[{z_1\over z_2}\cdot z_2=z_1.\]

Пусть \psi=\arg(z_1/z_2). По теореме

    \[\begin{array}{l} \psi+\varphi_2=\arg z_1,\\ \psi+\varphi_2=\varphi_1+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\ \varphi_1-\varphi_2=\psi-2\pi k,\ k\in\mathbb{Z},\\ \varphi_1-\varphi_2=\arg(z_1/z_2). \end{array}\]

Следствие. Формула Муавра верна для любого целого показателя (целая отрицательная и нулевая степень для комплексных чисел вводится так же, как и для вещественных).

Доказательство. Пусть n\in\mathbb{N}.

    \[\begin{array}{l} \displaystyle(\cos\varphi+i\sin\varphi)^{-n}={1\over (\cos\varphi+i\sin\varphi)^n}= {\cos0+i\sin0\over \cos n\varphi+i\sin n\varphi}=\\[3mm] =\cos(-n\varphi)+i\sin(-n\varphi). \end{array}\]

Следствие.

    \[(\cos\varphi-i\sin\varphi)^n=\cos n\varphi-i\sin n\varphi.\]

Доказательство.

    \[\begin{array}{l} (\cos\varphi-i\sin\varphi)^n=(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))^n=\\ =\cos(-n\varphi)+i\sin(-n\varphi)=\cos n\varphi-i\sin n\varphi. \end{array}\]

Задачи.

1. Изобразите на комплексной плоскости числа

1) z=i

2) z=1-i;

3) z=3-5i.

2. Найдите модуль и аргумент чисел

1) z=-3;

2) z=1+i;

3) z=1-i\sqrt{3};

4) z=2-3i.

3. Изобразите на комплексной плоскости множество точек z, задаваемых условиями

1) |z|=5;

2) 1\le|z|\le2;

3) {\rm arg} z=0;

4) |z-2+i|=2;

5) |z-2i|\le|z-1+i|;

6) |z+i|-|z-i|=2;

7) |z-i|>|z+i| и |z|\le |z-1+i|.

4. Найдите множество значений функций f с областью определения D(f):

1) f(z)=|z-2i+3|, D(f)=\left\{ z\in\mathbb{C}:\ |z-i|\le2\right\};

2) f(z)=z+|z|, D(f)=\mathbb{C}.

5. Используйте тригонометрическую форму и формулу Муавра для вычисления значений:

1) \displaystyle\left(\cos\frac{\pi}{7}+i\sin\frac{\pi}{7}\right)^{14};

2) \displaystyle\left(\cos\frac{\pi}{9}+i\sin\frac{\pi}{9}\right)^{-3};

3) \left(1+i\sqrt{3}\right)^3(1-i)^7;

4) \displaystyle\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{24}.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение