20. Биномиальная и полиномиальная формулы

Биномиальная формула (бином Ньютона)

Рассмотрим произведение

<br />
(a+b)^n=\underbrace{(a+b)(a+b)\dots(a+b)}_{n\mbox{ \rm скобок}}=<br />

здесь n скобок, после раскрытия которых получается сумма одночленов вида a^{n-k}b_k\quad(k=\overline{0,n}).

Выясним, сколько раз встречается многочлен a^kb^{n-k} при данном k. Он встретится столько раз, сколькими способами можно выбрать k скобок, из которых берется b, т.е. {\sf C}_n^k. Таким образом, после приведения подобных членов получим формулу

<br />
(a+b)^n=\sum_{k=0}^n{\sf C}_n^ka^{n-k}b^k.<br />

Пример.

<br />
(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+5a^2b^3+5ab^4+b^5.<br />

Полиномиальная теорема

Теорема.

\displaystyle<br />
(x_1+x_2+\ldots+x_k)^n=\sum_{\stackrel{\alpha_1\ge0,\alpha_2\ge0, \ldots\alpha_k\ge0}{\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alpha_k=n}}{n!\over \alpha_1!\alpha_2!\ldots\alpha_k!}x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\ldots x_k^{\alpha_k}.<br />

Доказательство.

<br />
(x_1+x_2+\ldots+x_k)^n=
=\underbrace{(x_1+x_2+\ldots+x_k)(x_1+x_2+\ldots+x_k)\ldots (x_1+x_2+\ldots+x_k)}_{n\mbox{ \rm скобок}}.<br />

Чтобы после раскрытия скобок получился одночлен x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\ldots x_k^{\alpha_k}, нужно выбрать те \alpha_1 скобок, из которых берется x_1, те \alpha_2 скобок, из которых берется x_2 и т.д. и те \alpha_k скобок, из которых берется \alpha_k. Коэффициент при этом одночлене после приведения подобных членов равен числу способов, которыми можно осуществить такой выбор.

Первый шаг последовательности выборов можно осуществить {\sf C}_n^{\alpha_1} способами, второй шаг — {\sf C}_{n-\alpha_1}^{\alpha_2}, третий — {\sf C}_{n-\alpha_1-\alpha_2}^{\alpha_3} и т.д., k-й шаг — {\sf C}_{n-\alpha_1-\alpha_2-\ldots-\alpha_{k-1}} способами. Искомый коэффициент равен произведению
\begin{array}{l}<br />
\displaystyle<br />
{\sf C}_n^{\alpha_1}\cdot{\sf C}_{n-\alpha_1}^{\alpha_2}\cdot{\sf<br />
C}_{n-\alpha_1-\alpha_2}^{\alpha_3}\cdot\ldots\cdot{\sf<br />
C}_{n-\alpha_1-\alpha_2-\ldots-\alpha_{k-1}}=\\<br />
\displaystyle<br />
={n!\over \alpha_1!(n-\alpha_1)!}\cdot{(n-\alpha_1)!\over<br />
\alpha_2!(n-\alpha_1-\alpha_2)!}\cdot{(n-\alpha_1-\alpha_2)!\over \alpha_3!(n-\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3)!}\cdot\ldots\\[3mm]<br />
\displaystyle<br />
\cdot{(n-\alpha_1-\alpha_2-\ldots-\alpha_{k-1})!\over<br />
\alpha_k!\underbrace{(n-\alpha_1-\alpha_2-\ldots-\alpha_k)!}=0!}={n!\over \alpha_1!\alpha_2!\ldots\alpha_k!}.<br />
\end{array}

Пример. Раскроем скобки в выражении (x+y+z)^5.

Число 5 можно представить в виде суммы трех целых неотрицательных слагаемых следующими способами:

<br />
5=5+0+0=4+1+0=3+2+0=3+1+1=2+2+1.<br />

Заполним следующую табличку. В первом столбце приведены всевозможные разбиения числа 5 на сумму трех слагаемых, второй столбец – коэффициент, который получится при одночлене, третий – вид одночлена (монома), и в скобках указано количество мономов данного вида. Для первого разбиения приведены все мономы данного вида.

\begin{array}{lll}<br />
5=5+0+0&\displaystyle{5!\over 5!0!0!}=1&x^5(3\ –  x^5,y^5,z^5)\\[3mm]<br />
5=4+1+0&\displaystyle{5!\over 4!1!}=5&x^4y(6)\\[3mm]<br />
5=3+2+0&\displaystyle{5!\over 3!2!0!}=10&x^3y^2(6)\\[3mm]<br />
5=3+1+1&\displaystyle{5!\over 3!1!1!}=20&x^3yz(3)\\[3mm]<br />
5=2+2+1&\displaystyle{5!\over 2!2!1!}=30&x^2y^2z(3)<br />
\end{array}
\begin{array}{ll}<br />
(x+y+z)^5&=x^5+y^5+z^5+\\<br />
&+5(x^4y+x^4z+y^4x+y^4z+z^4x+z^4y)+\\<br />
&+10(x^3y^2+x^3z^2+y^3x^2+y^3z^2+z^3x^2+z^3y^2)+\\<br />
&+20(x^3yz+y^3xz+z^3xy)+\\<br />
&+30(xy^2z^2+yx^2z^2+zx^2y^2)<br />
\end{array}

Задачи.

1. Найдите разложение полиномов

1) (2x-y)^4,

2) (x^2+x+1)^2,

3) (1-x+xy)^4.

2. Найдите коэффициент при x^k в разложении полиномов

1) (x+2)^{10},\ k=3;

2) \displaystyle\left( \sqrt{x}-\frac{2}{x}\right)^8,\ k=5;

3) (x^2-x+1)^8,\ k=7;

4) \left( \sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}\right)^6,\ k=2.

3. Докажите тождества

1) \displaystyle \sum_{k=0}^n{\sf C}_n^k=2^n,

2) \displaystyle \sum_{k=0}^n k{\sf C}_n^k=n2^{n-1},

3) \displaystyle \sum_{k=0}^n k{\sf C}_n^k=n2^{n-1},

4) \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k{\sf C}_n^k}{k+1}=\frac{1}{n+1},

5) \displaystyle \sum_{k=0}^p {\sf C}_m^k{\sf C}_n^{p-k}={\sf C}_{m+n}^p.

Комментариев: 2

  1. 1 Шерлок Холмс предотвращает мировую войну с помощью математики | Математика, которая мне нравится:

    [...] создать убедительный код, команда начала с бинома Ньютона. “Бином Ньютона связан с треугольником Паскаля, [...]

  2. 2 Обратная матрица | Математика, которая мне нравится:

    [...] Здесь — биномиальные коэффициенты. [...]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение