2. Метод математической индукции (ММИ)
Рассмотрим на примере, как работает метод.
Задача. Доказать, что для всех натуральных справедливо равенство
Решение. Обозначим через левую часть равенства, а через
— его правую часть.
1) Докажем сначала, что .
Доказательство.
2) Дано: . Нужно доказать:
.
Доказательство.
Тем самым, утверждение доказано для любого , поскольку из его истинности для
следует, что оно истинно для
, из его истинности при
следует его истинность для
и т.д.
Предположим, что нам нужно доказать последовательность утверждений
Для того чтобы доказать все эти утверждения, достаточно доказать две теоремы:
1. — верное утверждение.
2. Если для какого-либо натурального верно утверждение
, то верно и утверждение
.
Такой способ доказательства последовательности утверждений называется методом математической индукции. Первая часть метода называется базой индукции, вторая — индукционным переходом.
Теорема. Если последовательности и
таковы, что
, и для любого натурального
то для всех натуральных выполняется равенство
.
С помощью метода математической индукции можно также доказывать неравенства.
Теорема. Если последовательности и
таковы, что
, и для любого натурального
то для всех натуральных выполняется неравенство
.
Пример. Доказать, что для всех натуральных
Доказательство.
1.
Действительно,
2.
Теорема. Если последовательности и
с положительными членами таковы, что
, и для любого натурального
то для всех натуральных выполняется неравенство
.
Задачи. Доказать
1. .
2. .
3. при
.
4. при
.
5. Доказать, что сумма всевозможных произведений квадратов натуральных чисел, взятых по два (от 1 до ), равна
6. Доказать, что для всех натуральных
(четверок — ).
7. Доказать, что для всех натуральных
8. Доказать, что для всех натуральных
9. Доказать, что для всех натуральных
10. Доказать, что сторона правильного вписанного в окружность -угольника выражается формулой
где — радиус этой окружности (двоек —
).
11. Доказать, что прямых, пересекающихся в одной точке и лежащих в одной плоскости, делят эту плоскость на
частей.
12. Доказать, что различных прямых, лежащих в одной плоскости, разбивают эту плоскость на области, которые могут быть закрашены красной и синей краской так, что все смежные области (т.е. области, имеющие общий отрезок прямой) будут закрашены разными красками.
13. Доказать, что если — суммы
членов
геометрических прогрессий, у которых первые члены
, а знаменатели соответственно равны
, то
14. Доказать, что сумма всех членов каждой горизонтальной строки таблицы
равна квадрату нечетного числа.
15. Доказать, что произведение
состоящее из сомножителей, равно
16. Доказать, что сумма всевозможных парных произведений натуральных чисел
равна
17. Доказать, что для любого натурального
1 Заметки о проблеме масти лошадей | Математика, которая мне нравится:
[...] 1. Все лошади одной масти. (Доказательство индукцией по числу [...]
19 Март 2011, 19:462 CS:
как же решать 16 и 17:( или хотя бы уравнение в 16 составить..((
[Ответить]
aigerim Reply:
Октябрь 27th, 2014 at 0:01
(1+2+3+…+n)^2=1^2+2^2+…+n^2+2(1*2+1*3+…+2*3+2*4+….+(n-1)*n)
n^2(n+1)^2/4=n(n+1)(2n+1)/6+2A
A=n(n+1)(3n^2-n+1)/24=n(n+1)(n-1)(3n+2)/24
[Ответить]
3 Елизавета Александровна Калинина:
В задаче 16 просто нужно записать сумму всевозможных попарных произведений
первых натуральных чисел:
В задаче 17 воспользуйтесь последней теоремой (там, где деление).
[Ответить]
26 Октябрь 2011, 20:134 CS:
спасибо!:)
[Ответить]
26 Октябрь 2011, 22:365 Интересная последовательность | Математика, которая мне нравится:
[...] ее “ослиной’’ ) индукцией. Разумеется, только полная математическая индукция дает верный [...]
29 Апрель 2012, 0:046 Вася Пупкин:
В 6 примере, в скобках написано: (четверок – n) – что это значит?
[Ответить]
25 Май 2012, 19:137 Елизавета Александровна Калинина:
Это сколько раз встречается число
в левой части неравенства.
[Ответить]
25 Май 2012, 20:338 Вася Пупкин:
В третьем примере у меня получилось следующее неравенство: (2n+2)! > (n+1)!(n+2)^(n+1) – можно ли считать это доказательством? Прошу прощения, если надоел )
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Май 29th, 2012 at 12:49
Все нормально, спрашивайте )
Неравенство нужно доказать.
[Ответить]
9 Федор:
в 4-й задаче дошел до
, дальше не знаю как доказывать.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Июль 30th, 2012 at 20:12
Федор, теперь правую часть домножьте и поделите на
(тогда в числителе получится разность квадратов).
[Ответить]
Нурсулу Reply:
Октябрь 21st, 2012 at 23:18
А как будет до этого?Хотя бы подскажите как мне начинать?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 22nd, 2012 at 10:28
Посмотрите пример с неравенством. Сначала проверьте базу индукции при
, а потом рассмотрите разности левых частей при
и при
и разности правых частей. Далее нужно сравнить эти разности.
[Ответить]
Тимур Reply:
Июнь 17th, 2013 at 12:03
Добрый день.
В 4-ом я получил следующее (после умножения на {\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} правой части):
{1\over \sqrt{n+1}=(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})\over \sqrt{k+1}+\sqrt{k}}
Упростив данное уравнение, я, естественно, прихожу опять к началу: {1\over \sqrt{n+1}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}. Промежуточным шагом является: {1\over \sqrt{n+1}=(2n+1)\over \sqrt{k+1}+\sqrt{k}}
Что с этим можно сделать?
И ещё один вопрос, немного не по теме: дробная степень выражается только через понятие корня?
Спасибо.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Июнь 19th, 2013 at 22:38
Тимур, не должно быть одновременно
и
, проверьте.
Да, степень с рациональным показателем определяется через корень.
[Ответить]
10 Федор:
кстати, в третьем преобразовал до того де неравенства, что и у Васи Пупкина, дальше ничего не придумал, пол дня на него ушло.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Июль 31st, 2012 at 10:50
Поделите обе части неравенства на
, а дальше сравните множители, оставшиеся слева и справа (их одинаковое количество).
[Ответить]
11 Федор:
поясните пожалуйста условие 5й задачи
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 4th, 2012 at 21:36
Давайте для примера возьмем
. Тогда сумма попарных произведений квадратов натуральных чисел от
до
равна
[Ответить]
12 Александр:
никак не получается доказать индукционный переход (k=n+1) в 10й задаче, базу n=2,3 – доказал с помощбю теоремы косинусов, а дальше застрял
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 17th, 2012 at 20:53
Александр, Вы правы, можно воспользоваться теоремой косинусов для выражения стороны многоугольника через
. После этого нужно воспользоваться формулой
, которая получается из формулы косинуса половинного аргумента.
[Ответить]
13 Дмитрий:
Исп. метод мат. индукции, доказать:
1-2^2+3^2-4^2+…+(-1)^n-1*n^2=(-1)^n-1*(n(n+1))/2
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Ноябрь 25th, 2012 at 17:58
Дмитрий, в чем конкретно сложность?
[Ответить]
14 сердар:
а 3 степени n >n -этого как доказать ?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 27th, 2012 at 23:43
Я бы доказывала делением. База очевидна, а дальше
.
[Ответить]
15 антон:
Доказать методом математической индукции, что для любого натурального числа n справедливо утверждение:
1*1!+2*2!+…+n*n!=(n+1)!-1
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 3rd, 2013 at 14:08
Антон, вычитайте. Получается
, что очевидно верно.
[Ответить]
16 Константин:
помогите с решением примера
-1+3-5+…+(1)^n + (2n – 1) = (-1)^n n
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Февраль 21st, 2014 at 13:51
Видимо, так:
.
:
— верно.
вычтем это же равенство при
:
, т.е.
,
База,
Теперь из равенства при
что верно. Это все.
[Ответить]
17 Меня терзают смутные сомнения:
по поводу задачи 13. При n=2, S1=1, S2=1+2. Слева S1+S2 получается 4 а справа 1+4=5. Елизавета Александровна, пожалуйста поясните условие.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Апрель 16th, 2015 at 13:05
Мы у каждой из прогрессий суммируем первые
членов. При
слева получается
, справа тоже
.
[Ответить]
Меня больше не терзают сомнения Reply:
Апрель 18th, 2015 at 4:38
Спасибо за разъяснение. Интересная задача, но для меня оказалась трудной. Решил ее только применив готовую формулу суммирования геометрической прогрессии.
[Ответить]
18 Наир:
чему равна сумма ∑_∞^(n=1)n/6^n
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Январь 4th, 2017 at 19:45
У меня получилось 6/25.
[Ответить]