17. Иррациональные уравнения и неравенства

Рассмотрим уравнения

f(x)=g(x),\mbox{\hskip10cm}(1)
f^2(x)=g^2(x),\ \mbox{\hskip9.5cm}(2)
\left\{\begin{array}{l}<br />
f^2(x)=g^2(x),\\<br />
f(x)\cdot g(x)\ge0.<br />
\end{array}\right.\mbox{\hskip9cm}(3)

(1)\Longrightarrow(2),
(1)\Longleftrightarrow(3).

Пример.

\sqrt{x+2}=x.

Решение.
I способ.
\begin{array}{l}<br />
x+2=x^2,\\<br />
x^2-x-2=0,\\<br />
x=-1;x=2.<br />
\end{array}
Проверка.
\begin{array}{l}<br />
<strong>1)</strong>\ x=-1\Longrightarrow \sqrt{x+2}=\sqrt{-1+2}=1\ne-1,\\<br />
1\ne-1,\\<br />
<strong>2)</strong>\ x=2\Longrightarrow \sqrt{x+2}=\sqrt{2+2}=2,\\<br />
2=2.<br />
\end{array}

Ответ: \{2\}.

II способ.
\begin{array}{l}<br />
\sqrt{x+2}=x,\\<br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
x+2=x^2,\\<br />
x\ge0,\\<br />
x+2\ge0.<br />
\end{array}\right.<br />
\end{array}

Ясно, что условие x+2\ge0 здесь сразу следует из того, что x+2=x^2\ge0, поэтому его ожно не выписывать.
\begin{array}{l}<br />
x^2-x-2=0,\\<br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
x=-1; x=2,\\<br />
x\ge0.<br />
\end{array}\right.<br />
\end{array}

Ответ: \{2\}.

III способ.
\begin{array}{l}<br />
\sqrt{x+2}=x,\\<br />
\sqrt{x+2}=t\Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l}<br />
t\ge0,\\<br />
x=t^2-2,<br />
\end{array}\right.\\[3mm]<br />
t^2-t-2=0,\\<br />
\left\{\begin{array}{l}<br />
t=-1;t=2,\\<br />
t\ge0,<br />
\end{array}\right.\\[3mm]<br />
t=2,\\<br />
x=2^2-2=2.<br />
\end{array}

Ответ: \{2\}.

Иррациональные неравенства

Рассмотрим неравенство

f(x)>g(x).

Если f(x)\ge0 и g(x)\ge0 при всех x из области определения неравенства f(x)>g(x), то это неравенство равносильно неравенству f^2(x)>g^2(x).

Неравенству также удовлетворяют все те x из области определения неравенства, для которых f(x)\ge0,g(x)<0.

Других решений неравенство не имеет.

Задачи. Решите уравнения
1. \sqrt{x^2+x+4}+\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{2x^2+2x+9}.

2. \sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x-2}-\sqrt[3]{2x-3}=0.

3. \displaystyle {x^2\over \sqrt{2x+15}}+\sqrt{2x+15}=2x.

4. \sqrt{x^2-4x+7}+\sqrt{3x-5}=13-x^2.

5. \sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16.

6. \displaystyle {(\sqrt[3]{(15{-}x)^2}{+}\sqrt[3]{(15{-}x)(x{-}6)}{+}\sqrt[3]<br />
{(x{-}6)^2})^2\over \sqrt[3]{15{-}x}{+}\sqrt[3]{x{-}6}}{=}{49\over 3}.

7. Решите неравенство
\displaystyle<br />
{2\over 2+\sqrt{4-x^2}}+{1\over 2-\sqrt{4-x^2}}>{1\over x}.<br />

8. Решите уравнение для всех значений параметра a
3\sqrt{x-a}=3a-2x.

Комментариев: 14

  1. 1 Лина:

    2-х под корнем, =х,Как решать подобные уравнения

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    \sqrt{2-x}=x? Смотрите пример. Все способы решения как раз такого уравнения описаны.

    [Ответить]

  2. 2 Лейб:

    Мне кажется, что по этой теме надо кое-что уточнить.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    1. В абзаце, где рассматриваются свойства неравенств, в конце имеется опечатка (должен быть знак неравенства).
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    2. В этом же абзаце объясняется, как решать иррациональное неравенство. если обе его части неотрицательны для всех значений из области определения. А если это не так ? Ведь это бывает довольно часто. Я думаю, стоило бы и это отдельно рассмотреть.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    3. Во втором способе разобранного примера, третье условие (нестрогое неравенство с выражением х+2) является правильным, но необязательным. Оно следует из двух предыдущих условий.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Лейб Александрович, спасибо Вам! Исправила и дополнила.

    [Ответить]

  3. 3 Лейб:

    К ВОПРОСУ 1.
    О решении уравнения \sqrt{2-x}=x.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Иногда при решении таких и, особенно, более сложных уравнений, удобно применять следующий способ.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    * Попробуем вначале угадать корень данного уравнения.
    Для данного уравнения корень угадывается легко. Это x=1.
    Действительно, \sqrt{2-1}=1.
    * Докажем, что других корней нет.
    Очевидно, что функция, стоящая в правой части уравнения y=x, является возрастающей, а функция, стоящая в левой части уравнения y=\sqrt{2-x}, является убывающей (объясните, почему !).
    Следовательно, такие два графика не могут пересечься более, чем в одной точке.
    * А поэтому, данное уравнение имеет ЕДИНСТВЕННЫЙ корень: x=1.

    [Ответить]

  4. 4 Лейб:

    Извиняюсь, в предыдущем комментарии, если нетрудно – вначале заменить на уравнение \sqrt{2-x}=x
    А в середине заменить на функцию,y=\sqrt{2-x}.
    А можно ли как-то самому изменять свой комментарий, если обнаружил неточность ?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Сделала.

    Боюсь, что нельзя. Во всяком случае, я не умею :(

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    Спасибо за исправления.
    Еще в предпоследней строчке у меня пропущена буква й в слове ОДНОЙ.
    Жалко, что самим невозможно корректировать свои комментарии.
    И приходится Вас беспокоить.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Ничего страшного, мне нетрудно. Исправила. Попробую посмотреть, может, как-то можно сделать так, чтобы можно было свои комментарии редактировать. Только, боюсь, не сразу: уезжаю на пару недель в отпуск.

    [Ответить]

  5. 5 Татьяна:

    Добрый день!
    Помогите,пожалуйста,как решать такие выражения?Где можно найти подробную информацию о методах их решения?Алгебра 10 класс,лицей.Спасибо.Не уверена,что получится красиво,но попробую.

    \sqrt[3]{1-\sqrt{5}}*\sqrt{\sqrt[3]{6+2\sqrt{5}}}

    [Ответить]

  6. 6 Татьяна:

    Получилось!
    Пожалуйста,если можно,еще такое выражение:
    \sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}*(1+\sqrt{2})

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Я не очень понимаю, что значит решить в данной ситуации, упростить?
    Если так, то есть два варианта: либо попытаться извлечь корень, либо второй сомножитель внести под корень, возведя его в куб, а затем посмотреть, что получится.

    [Ответить]

  7. 7 Татьяна:

    Задание звучит так: вычислить.С первым выражением поступила так: приравняла его к “а”:

    Затем возвела в степень 6 обе части выражения.Раскрыла скобки и упростила.Получилось:
    a^6=16

    а значение выражения равно
    \sqrt[6]{16}
    Но: я вижу, что выражение всегда принимает отрицательное значение, т.к.
    (1-\sqrt{5})<0
    Значит, мне подходит только один ответ, именно отрицательное его значение
    \sqrt[6]{16}
    Как мне это можно показать?Спасибо.

    Со вторым выражением,после Ваших рекомендаций,тоже все понятно: опять приравняла к а, возвела в куб обе части и ответ получился -1.

    Спасибо Вам!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Татьяна, так Вы же это уже показали, Вы сами написали, что 1-\sqrt{5}<0. Так как второй сомножитель положителен, то этого достаточно.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение