16. Метод интервалов

I. Два свойства линейной функции

1) Функция y=ax+b (a\ne0) меняет свой знак при переходе через корень и только в этом случае.

Рис. 1

2) При больших значениях x (правее корня) знак y совпадает со знаком a.

II. Два свойства квадратного трехчлена

1) Квадратный трехчлен y=ax^2+bx+c a\ne0 при {\cal D}\ne0 меняет свой знак при переходе через корни и только в этих точках.

2) При больших x (правее правого корня, если {\cal D}\ge0, любых, если {\cal D}<0) знак y совпадает со знаком a.

Рис. 2

\epsilon=\pm1

Пример. Решить неравенство

\displaystyle{3x^2-x-2\over (x+5)(9-x^2)}<0.

1) Находим корни всех сомножителей.

а) 3x^2-x-2=0; x_1=1,x_2=-{2\over 3};

б) x+5=0; x=-5;

в) 9-x^2=0; x=\pm3.

2) Наносим корни на числовую ось

Рис. 3

3) Определяем знак левой части последовательно на образовавшихся промежутках справа налево (см. рис. 3)

4) Ответ. (см. рис. 3) (-5;-3)\cup\left(-{2\over 3};1\right)\cup(3;+\infty).

Задачи.

Решите неравенства

1) <br />
\displaystyle{(2x^2+x-10)(6x^2+17x+5)\over (8x^2+10x-3)(3x^2+2x-8)}\le0.<br />

2) Решите неравенство
\displaystyle<br />
{(x^2+3x-18)(4x^2-4x+1)\over (x^2-5x+6)(3x^2-8x+14)}<0.<br />

Комментариев: 2

  1. 1 Мухлиса:

    пожалуйста помогите мне решить этот пример: х2+7х+10:х2-4 больше нуля. ПОМОГИТЕЕЕЕЕ PLEASE!!!!!!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Разложите числитель и знаменатель на множители. Дальше все делайте так, как написано выше.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение