14. Необходимые и достаточные условия

Рассмотрим теорему

\forall x\in E\ (P(x)\to Q(x)).

Предикат P(x)\to Q(x) является истинным для всех x\in E тогда и только тогда, когда множество истинности предиката P(x) содержится в множестве истинности предиката Q(x), т.е. предикат Q(x) является следствием предиката P(x). При этом предикат Q(x) называют необходимым условием для предиката P(x), а предикат P(x) — достаточным условием для Q(x).

Пример. Рассмотрим утверждение: “Если число x делится на 6, то число x делится на 3”. Здесь предикат P(x): “Число x делится на 6”, а предикат Q(x): “Число x делится на 3”. Предикат Q(x) логически следует из предиката P(x). Предикат P(x) (делимость числа x на 6) является достаточным условием для предиката Q(x) (делимость числа x на 3). Предикат Q(x) (делимость числа x на 3) является необходимым условием для предиката P(x) (делимость числа x на 6).

Часто встречается ситуация, при которой истинны теоремы

\begin{array}{l}<br />
\forall x\in E\ (P(x)\to Q(x));\\<br />
\forall x\in E\ (Q(x)\to P(x)).<br />
\end{array}
Это возможно при условии, что предикаты P(x) и Q(x) равносильны. В таком случае из первой теоремы следует, что условие P(x) является достаточным для Q(x), а из второй теоремы следует, что условие P(x) является необходимым для Q(x). Таким образом, в этом случае условие P(x) является и необходимым, и достаточным условием для Q(x). Аналогично, условие Q(x) является необходимым и достаточным для P(x).

Пример. Рассмотрим теоремы: “В описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны” и “Если в четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, в этот четырехугольник можно вписать окружность”. Обе они истинны. Каждое из условий “В четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны” и “В четырехугольник можно вписать окружность” является и необходимым, и достаточным.

Триггер

Задача. В электронной схеме на вход подаются значения 0 и 0. Что будет на выходе?

Значения на выходе не зависят от входных значений 0,0, они зависят от того, что было на выходе ранее. Если было значение 1, то оно и останется, а если 0, то и будет 0. Если же на левый вход подадим 1, то на выходе получим 0 независимо от того, что будет на входе справа. Если подать на правый вход 1, то на выходе будет 1.

Триггер — это элемент памяти компьютера. Процесс запоминания — подача на правый вход 1. 1 хранится в памяти — на обоих входах — 0. Очистка памяти — подача 1 на левый вход.

Задачи.

1. Запишите на языке предикатов определения:

1) ограниченной функции (функция f называется ограниченной на множестве M, если существует такое неотрицательное число L, что для всех x\in M справедливо неравенство |f(x)|\le L);

2) четной функции (функция f называется четной, если область ее определения симметрична относительно начала координат и для каждого x из области определения справедливо равенство f(-x)=f(x);

3) периодической функции (функция f называется периодической, если существует такое число T\ne0, что при любом x из области определения f элементы x-T и x+T также принадлежат этой области, и при этом выполнено равенство f(x\pm T)=f(x));

4) возрастающей функции на множестве M (функция f называется возрастающей на множестве M, если для любых чисел x_1 и x_2, принадлежащих множеству M, из неравенства x_1<x_2 следует неравенство f(x_1)\le f(x_2)).

2. Пользуясь полученными в задаче 1 формулами ответьте на вопросы. Что значит:

1) Функция не является ограниченной?

2) Функция не является четной?

3) Функция не является периодической?

4) Функция не является возрастающей на множестве M?

3. Докажите несправедливость утверждений:

1) Если функция непрерывна в точке x_0, то она и дифференцируема в этой точке.

2) Если в четырехугольнике диагонали равны, то четырехугольник является прямоугольником.

3) Если числовая последовательность имеет предел, то она монотонна.

4. Для каждого из следующих условий выясните, является ли оно необходимым и является ли оно достаточным для того, чтобы выполнялось неравенство x^2-2x-8\le0

1) x=0;

2) x\ge-3;

3) x>-2;

4) x\ge-1 и x\le3;

5) x\ge-1 и x<10;

6) -2\le x\le10.

5. В следующих предложениях вместо многоточия поставьте слова “необходимо, но недостаточно” или “достаточно, но не необходимо” или же “не необходимо и недостаточно”, а где возможно “необходимо и достаточно” так, чтобы получилось истинное утверждение:

1) Для того, чтобы четырехугольник был прямоугольным \ldots, чтобы длины его диагоналей были равны.

2) Для того, чтобы x^2-5x+6=0<tex> <tex>\ldots, чтобы x=3.

3) Для того, чтобы сумма четного числа натуральных чисел была четным числом, \ldots, чтобы каждое слагаемое было четным.

4) Для того, чтобы окружность можно было вписать в четырехугольник, \ldots, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны.

5) Для того, чтобы множество A было счетным, \ldots, чтобы его элементы можно было записать в виде занумерованной последовательности.

6) Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, \ldots, чтобы она была ограниченной.

7) Для того, чтобы числовая последовательность имела предел, \ldots, чтобы она была монотонна и ограниченна.

6. Сформулируйте:

1) Необходимый и достаточный признак параллелограмма.

2) Необходимый, но недостаточный признак параллелограмма.

3) Достаточный, но не необходимый признак параллелограмма.

4) Необходимое, но недостаточное условие того, чтобы уравнение \sin x=a имело решение.

5) Достаточное, но не необходимое условие для того, чтобы уравнение \sin x=a имело решения.

6) Достаточное, но не необходимое условие для того, чтобы уравнение x^2+px+q=0 имело вещественные корни.

7. Папа сказал детям: “Если мы с мамой поедем летом в дом отдыха, то вы все поедете в детский лагерь.” В школе детей спросили, куда они поедут летом. Петя ответил: “Если мы поедем в лагерь, то родители поедут в дом отдыха.” Галя сказала: “Если папа с мамой не поедут в дом отдыха, то мы не поедем в
лагерь.” “Нет, не так, — вмешался Коля. — Если мы не поедем в лагерь, то кто-то из родителей не поедет в дом отдыха.”

Чей ответ равносилен тому, что сказали родители?

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение