13. Предикаты и области истинности

Кроме высказываний, рассматриваются также высказывания с переменными, т.е. буквами, вместо которых можно подставлять определенные значения (например, числа). Если вместо всех переменных подставить их значения, то высказывание с переменными превратится в обычное высказывание.

Например, рассмотрим высказывание с переменной x^2+y^2=25.
x=3\ y=-4
3^2+(-4)^2=25 — истинное высказывание,
x=2\ y=3
2^2+3^2=25 — ложное высказывание.

Те наборы значений переменных, при которых получается истинное высказывание, образуют область истинности высказывания с переменными.

Определение. Предикат — это высказывание с переменными.

Пример. Область истинности предиката x^2=4\{-2;2\};
предиката x^3>27(3;+\infty);
предиката x=y — на рис. 1:

Рис. 1

Область истинности предиката \exists z:\ x^2+y^2=z, где
x,y — свободные переменные, z — связанная переменная, изображена на следующие рис. 2:

Рис. 2

Область истинности предиката xy>0 изображена на рис. 3 (оси координат не включаем):

Рис. 3

Область истинности предиката \exists z:\ x+y=z^2 изображена на рис. 4:

Рис. 4

Если в предикаты P и Q входят одни и те же переменные, то область истинности предиката P\& Q есть пересечение, а область истинности предиката P\vee Q — объединение областей истинности данных предикатов.

Задачи.

1. Среди следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истинности:

1) x+5=1;

2) при x=2 выполняется равенство x^2-1=0;

3) x^2-2x+1=0;

4) Существует такое число x, что x^2-2x+1=0;

5) x+2<3x+4;

6) однозначное число x кратно 3;

7) (x+2)-(3x-4);

8 ) x^2+y^2>0.

2. Пусть даны предикаты: P(x): x — четное число и Q(x): x кратно 3, определенные на множестве натуральных чисел. Найти области истинности предикатов

1) P(x)\& Q(x);

2) P(x)\vee Q(x);

3) \daleth P(x);

4) P(x)\to Q(x).

3. Даны предикаты

P(x):\ x^2+x+1>0,\ Q(x):\ x^2-4x+3=0,

определенные на множестве вещественных чисел. Установить, какие из следующих высказываний истинны и какие ложны:

1) \forall x\ P(x);

2) \exists x\ P(x);

3) \forall x\ Q(x);

4) \exists x\ Q(x).

4. Пусть предикат Q(x,y):\ x\vdots y. Показать, что высказывания

<br />
\forall y\exists x\ Q(x,y),\ \exists x\forall y\ Q(x,y)<br />

имеют разные логические значения.

Пусть даны два предиката P(x) и Q(x). Предикат Q(x) является следствием предиката P(x) (P(x)\to Q(x)), если область истинности P(x) содержится в области истинности Q(x). Предикаты P(x) и Q(x) равносильны, если их области истинности совпадают.

Задачи.

1. Будут ли следующие предикаты равносильны или один из них является следствием другого?

1) \sqrt{x}\sqrt{y}=15 и \sqrt{xy}=15;

2) x+y=z и (x+y)(x-z)=-zy;

3) x^3+y^3=0 и x^2-y^2=0.

2. Изобразите на плоскости области истинности предикатов:

1) x+3y=3;

2) x-y^2\ge0;

3) (x-2)^2+(y+3)^2=0.

3. На множестве M=\{1,2,3,\dots,20\} заданы предикаты

A(x): x не делится на 5;

B(x): x — четное число;

C(x): x — число простое;

D(x): x кратно 3.

Найдите множества истинности предикатов

1) A(x)\& B(x);

2) C(x)\& B(x);

3) \daleth B(x)\& D(x);

4) C(x)\vee D(x);

5) A(x)\vee B(x)\vee D(x);

6) C(x)\to A(x);

7) A(x)\& B(x)\& D(x).

4. Изобразите на координатной плоскости области истинности предикатов:

1) \daleth(x>2)\&(x<y);

2) (x\le y)\vee (|x|\le1);

3) ((x>2)\&(y\ge1))\&((x<-1)\vee(y<-2)).

5. Будет ли истинно высказывание

\forall x(P(x)\& Q(x)\to R(x)),

если P(x): число x делится на 3, Q(x): число x делится на 4, R(x): число x делится на 2?

6. Найти отрицание формул:

1) \forall x(P(x)\& Q(x));

2) \exists x(P(x)\vee Q(x));

3) \forall x\exists y(R(x,y)\to L(x,y)).

7. Пусть предикат P(x,y): x<y. Какие из следующих предложений истинны, а какие ложны:

1) \exists x\forall y\ P(x,y);

2) \forall x\exists y\ P(x,y);

3) \forall y\exists x\ P(x,y);

4) \forall x\forall y\ P(x,y);

5) \forall y\forall x\ P(x,y);

6) \exists y\forall x\ P(x,y);

7) \exists x\exists y\ P(x,y);

8 ) \exists y\exists x\ P(x,y).

8. Найти отрицания формул:

1) \exists x(A(x)\& B(x)\& C(x));

2) \forall x(A(x)\to\forall y\ B(y));

3) \forall x(A(x)\vee\exists y\ B(y));

4) \forall (A(x)\to B(x))\&\exists x(S(x)\&\daleth R(x));

5) \forall x\exists y\forall z(P(x,y,z)\to Q(x,y,z)).

Комментариев: 5

  1. 1 Лейб:

    К рисунку 3 желательно добавить:
    ——————————
    не включая сами оси координат
    ——————————

    [Ответить]

  2. 2 Лейб:

    В задаче 7 вопросы 7 и 8 – одинаковы.
    Видимо, в вопросе 8 имелся в виду другой порядок предикатов.

    [Ответить]

  3. 3 Елизавета Александровна Калинина:

    Лейб Александрович, спасибо! Исправила.

    [Ответить]

  4. 4 Лейб:

    Извините,в своем комментарии 2 ошибся в термине.

    Должен был сказать: другой порядок КВАНТОРОВ.

    [Ответить]

  5. 5 Елизавета Александровна Калинина:

    Ничего страшного, я поняла. Спасибо.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение