12. Уравнения и неравенства. Логические союзы

Определение. Высказыванием называется предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Примеры высказываний
2\cdot2=4  — истинное,
2\cdot2=5  — ложное,
для всех вещественных x:\ x^2> -3  — истинное,
для всех натуральных x:\ x^2<10  — ложное,
существует натуральное x:\ x^2<10  — истинное,
x^2=9  — не высказывание.

\daleth A — не A — это высказывание, истинное в том и только в том случае, если A ложно.

Логические значения высказывания \daleth A можно описать с помощью таблицы

A

\daleth A

и

л

л

и

Таблицы такого вида принято называть таблицами истинности.

Замечание. Иногда истинное высказывание обозначают цифрой 1, а ложное — цифрой 0.

и

или

\wedge

\vee

Пусть A,B — два высказывания. Высказывание A\& B считается истинным в том и только в том случае, если истинно как высказывание A, так и высказывание B. Высказывание A\vee B считается истинным в том и только в том случае, если истинно хотя бы одно из высказываний A,B.

Таблицы истинности для конъюнкции (\wedge) и дизъюнкции (\vee):

A

B

A\wedge B

и

и

и

и

л

и

л

и

л

л

л

л

A

B

A\vee B

и

и

и

и

л

и

л

и

и

л

л

л

Импликация высказываний A и B — это высказывание, которое ложно, если A истинно, а B ложно, и истинно во всех остальных случаях.

Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности:

A

B

A\rightarrow B

и

и

и

и

л

л

л

и

и

л

л

и

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, называется простым, или элементарным. Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок “не”, “и”, “или”, “если…, то…”, “тогда и только тогда”, принято называть сложными, или составными.

Кванторами называются следующие обозначения \forall — для всех, \exists — существует.

Задачи.

1. Среди следующих предложений выделите высказывания, установите, истинны они или ложны:

  • река Волхов впадает в озеро Ильмень;
  • всякий человек имеет брата;
  • пейте томатный сок;
  • существует человек, который моложе своего отца;
  • который час?
  • ни один человек не весит более 1000 кг;
  • 23<5;
  • для всех вещественных чисел x и y верно равенство x+y=y+x;
  • x^2-7x+12;
  • x^2-7x+12=0.

2. Пусть A — высказывание “Школьник Иванов изучает английский язык”, B — высказывание “Школьник Иванов хорошо учится по алгебре”. Дайте словесную формулировку высказываний:

а) A\wedge\daleth B;

б) A\to B.

3. Составьте таблицу истинности для высказывания A\vee \daleth B.

4. Какие из следующих предложений являются высказываниями:

  • Москва — столица России;
  • школьник;
  • \sqrt 3+2\sqrt 7-28;
  • Луна есть спутник Марса;
  • a>0.

5. Приведите примеры предложений,

а) являющихся высказываниями;

б) не являющихся высказываниями.

6. Установите, истинно или ложно высказывание:

  • 2\in\{ x|2x^3-3x^2+1=0,x — вещественное число\};
  • -3\in\left\{ x\left|{x^3-1\over x^2+2}\right.<-2,x\right. – вещественное число\left.\right\};
  • 1 – натуральное число;
  • \{1\}\in P(N), где P(N) — множество всех подмножеств множества натуральных чисел N;
  • \{1,-1,2\}\subset\{ x|x^3+x^2-x-1=0,x – целое число \}.

7. Является ли высказыванием следующее предложение: “Это предложение ложно”?

8. Среди следующих высказываний укажите элементарные и составные. В составных высказываниях выделите грамматические связки:

  • число 27 не делится на 3;
  • число 15 делится на 3 и на 5;
  • если число 126 делится на 9, то оно делится на 3;
  • число 7 является делителем числа 42.

9. Обозначьте элементарные высказывания буквами и запишите следующие высказывания с помощью символов алгебры логики:

  • 45 кратно 3 и 42 кратно 3;
  • 45 кратно 3 и 12 не кратно 3;
  • \sqrt{25}=5 или \sqrt{25}=-5;
  • 2\le5;
  • если число 212 делится на 3 и 4, то оно делится на 12;
  • число 212 трехзначное и кратно 3 или 4.

10. Пусть P и Q обозначают высказывания:
P — “Я учусь в школе”,

Q — “Я люблю математику”.

Прочтите следующие сложные высказывания:

1) \daleth P;

2) \daleth\daleth P;

3) P\& Q;

4) P\&\daleth Q;

5) \daleth P\& Q;

6) \daleth P\&\daleth Q;

7) \daleth(P\&Q).

11. Какие из следующих импликаций истинны:

  • если 2\cdot2=4, то 2<3;
  • если 2\cdot2=4, то 2>3;
  • если 2\cdot2=5, то 2<3;
  • если 2\cdot2=5, то 2>3.

12. Выясните, в каких случаях приведенные ниже данные противоречивы:

  • a=1,a\& b=0;
  • a=1,a\vee b=0;
  • a=1,a\& b=1;
  • a=1,a\vee b=1;
  • a=0,a\& b=1;
  • a=0,a\vee b=1;
  • a=0,a\& b=0;
  • a=0,a\vee b=0.

13. Пусть x,x’,y,y’ означают соответственно высказывания “7 — простое число”, “7 — составное число”, “8 — простое число”, “8 — составное число”.

  • Какие из предложений x\& y, x\& y’, x’\& y, x’\& y’ истинны и какие ложны?
  • То же с заменой конъюнкции на дизъюнкцию.
  • То же для предложений \daleth x, \daleth y, \daleth x’, \daleth y’.

14. Найдите логические значения x и y, при которых выполняются равенства:

1) (1\to x)\to y=0;

2) x\vee y=\daleth x.

15. 1) Известно, что x имеет значение 1. Что можно сказать о значениях импликации \daleth x\wedge y\to z; \daleth x\to(y\vee z)?

2) Известно, что x\to y имеет значение 1. Что можно сказать о значениях

z\to(x\to y);\ \daleth(x\to y)\to y;\ (x\to y)\to z?

16. Пусть x=0,y=1,z=1. Определить значения следующих сложных высказываний:

  • x\wedge(y\wedge z);
  • (x\wedge y)\wedge y;
  • x\to(y\to z);
  • x\wedge y\to z.

17. Показать, что логические связки \daleth b\to\daleth a, a\&\daleth b\to\daleth a, a\&\daleth b\to b, a\&\daleth b\toл, где л — фиксированное ложное высказывание, имеют ту же таблицу истинности, что и импликация a\to b.

18. Постройте с помощью отрицания и дизъюнкции формулу, таблица истинности для которой совпадала бы с таблицей для импликации.

19. Составьте таблицы истинности для формул:

  • \daleth x_1\vee\daleth x_2;
  • (x\vee y)\to(x\wedge \daleth y\vee\daleth x\to\daleth y);
  • (x_1\wedge x_2)\vee x_3;
  • x\wedge\daleth y)\to(y\vee\daleth x\to\daleth z);
  • (x_1\to\daleth x_2)\to(\daleth(x_1\vee x_2)\wedge \daleth x_3);
  • (\daleth x\vee z)\wedge(y\to(u\to x)).

20. Установите, какие из следующих формул являются тождественно истинными, тождественно ложными:

  • \daleth(\daleth(x\vee y)\to\daleth(x\& y));
  • (x\to y)\to(\daleth y\to\daleth x);
  • \daleth(p_1\to(p_2\to p_1));
  • \daleth p_1\to(p_1\to p_2);
  • ((p\to q)\&(q\to r))\to(p\to r);
  • \daleth((x\to z)\to((y\to z)\to(x\vee y\to z)));
  • (p_1\to p_2)\to((p_1\to p_2)\to(p_1\to p_3));
  • \daleth((p_1\to p_2)\to((p_1\wedge p)\to(p_2\wedge p))).

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение