Математика, которая мне нравится

Определение. Последовательностью (бесконечной) называется функция, область определения которой — множество натуральных чисел.

Обозначения. .

Способы задания последовательностей

I. Задается формула или правило вычисления -го члена последовательности по значению .

Пример.

II. Рекуррентный способ задания последовательности. В этом случае задается формула или правило, позволяющая вычислить каждый член последовательности, если известно определенное число предыдущих членов. Если каждый член, начиная с -го, выражен через предыдущих, то нужно, кроме того, задать первых членов последовательности.

Пример. Арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением вида Задан первый член арифметической прогрессии . Число называется разностью прогрессии.

Пример. Геометрическая прогрессия задается рекуррентным соотношением вида Задан первый член геометрической прогрессии . Число называется знаменателем прогрессии.

Пример. Последовательность Фибоначчи.

Леонардо Пизанский (1180–1240) имел прозвище Фибоначчи, т.е. “сын Боначчо” (Боначчо — добродушный). Основные достижения Леонардо Пизанского изложены в его сочинениях “Книга абака” и “Практика геометрии”.

К последовательности чисел Фибоначчи привела следующая задача:

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех строн стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года. Причем природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождаются кролики со второго месяца.

Пример. Возвратные последовательности — последовательности, определенные рекуррентными соотношениями вида при заданных и .