1. Способы задания последовательностей

Определение. Последовательностью (бесконечной) называется функция, область определения которой — множество натуральных чисел.

Обозначения. (x_n),(a_n),(\alpha_n),(t_k).

Способы задания последовательностей

I. Задается формула или правило вычисления n-го члена последовательности по значению n.

Пример. a_n=(-1)^n+2.

II. Рекуррентный способ задания последовательности. В этом случае задается формула или правило, позволяющая вычислить каждый член последовательности, если известно определенное число предыдущих членов. Если каждый член, начиная с k+1-го, выражен через k предыдущих, то нужно, кроме того, задать k первых членов последовательности.

Пример. Арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением вида x_{n+1}=x_n+d. Задан первый член арифметической прогрессии x_1. Число d называется разностью прогрессии.

Пример. Геометрическая прогрессия задается рекуррентным соотношением вида x_{n+1}=x_nq. Задан первый член геометрической прогрессии x_1. Число q называется знаменателем прогрессии.

Пример. Последовательность Фибоначчи.
\begin{array}{l}<br />
x_1=x_2=1;\ x_{n+2}=x_{n}+x_{n+1}, \mbox{ \rm при } n\ge1,\\<br />
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\dots<br />
\end{array}

Леонардо Пизанский (1180–1240) имел прозвище Фибоначчи, т.е. “сын Боначчо” (Боначчо — добродушный). Основные достижения Леонардо Пизанского изложены в его сочинениях “Книга абака” и “Практика геометрии”.

К последовательности чисел Фибоначчи привела следующая задача:

Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех строн стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года. Причем природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождаются кролики со второго месяца.

Пример. Возвратные последовательности — последовательности, определенные рекуррентными соотношениями вида x_{n+2}=px_{n+1}+qx_{n} при заданных x_1 и x_2.

Комментариев: 9

  1. 1 Гипотеза Коллатца, или числа-градины | Математика, которая мне нравится:

    [...] произвольное натуральное число и построим последовательность по следующему [...]

  2. 2 Степень, степень… и еще раз степень | Математика, которая мне нравится:

    [...] образом, наша последовательность ограничена сверху, и любой ее член не превосходит [...]

  3. 3 Вася Пупкин:

    Если я правильно понял, то в возвратных последовательностях для вычисления ее члена нужно знать несколько следующих за ним членов?

    [Ответить]

  4. 4 Елизавета Александровна Калинина:

    Нет, наоборот, несколько предыдущих.

    [Ответить]

  5. 5 Вася Пупкин:

    Всё, понял. Просто меня немного смутили плюсы. Мне кажется, было бы более логичным для n-ого члена последовательности использовать запись A(n), а для предыдущих A(n-1), A(n-2) и т.п. Мое скромное мнение)

    [Ответить]

  6. 6 Лейб:

    В примере Последовательность Фибоначчи
    надо что-то изменить.

    1) Либо вместо n>=3 должно быть n >= 1.
    2) Либо оставить условие n >= 3, и заменить формулу на такую:
    x(n) = x(n-1)+x(n-2)

    [Ответить]

  7. 7 Елизавета Александровна Калинина:

    Спасибо, Лейб Александрович! Исправила.

    [Ответить]

  8. 8 Игорь:

    Подскажите почему к загадке про 30 ступеней
    , где модно ступать на каждую, через одну и через две ступени. Нужно определить количество разных способов прохождения используется рекуррентное соотношение.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    игорь, напишите, пожалуйста, точное условие Вашей задачи.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение