1. Способы задания последовательностей
Определение. Последовательностью (бесконечной) называется функция, область определения которой — множество натуральных чисел.
Обозначения. 
.
Способы задания последовательностей
I. Задается формула или правило вычисления 
.
Пример.
![\[a_n=(-1)^n+2.\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-040f7e103f659e3a39a7a1b1e6c1b96e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
II. Рекуррентный способ задания последовательности. В этом случае задается формула или правило, позволяющая вычислить каждый член последовательности, если известно определенное число предыдущих членов. Если каждый член, начиная с 
-го, выражен через 
предыдущих, то нужно, кроме того, задать первых членов последовательности.
Пример. Арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением вида 
Задан первый член арифметической прогрессии 
. Число 
называется разностью прогрессии.
Пример. Геометрическая прогрессия задается рекуррентным соотношением вида 
Задан первый член геометрической прогрессии . Число 
называется знаменателем прогрессии.
Пример. Последовательность Фибоначчи.
![\[\begin{array}{l} x_1=x_2=1;\ x_{n+2}=x_{n}+x_{n+1}, \mbox{ \rm при } n\ge1,\\ 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\dots \end{array}\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a9571f83a38d21865c61187beb90d093_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Леонардо Пизанский (1180–1240) имел прозвище Фибоначчи, т.е. “сын Боначчо” (Боначчо — добродушный). Основные достижения Леонардо Пизанского изложены в его сочинениях “Книга абака” и “Практика геометрии”.
К последовательности чисел Фибоначчи привела следующая задача:
Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех строн стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года. Причем природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождаются кролики со второго месяца.
Пример. Возвратные последовательности — последовательности, определенные рекуррентными соотношениями вида 
при заданных и 
.
1 Гипотеза Коллатца, или числа-градины | Математика, которая мне нравится:
[...] произвольное натуральное число и построим последовательность по следующему [...]
10 Август 2011, 0:192 Степень, степень… и еще раз степень | Математика, которая мне нравится:
[...] образом, наша последовательность ограничена сверху, и любой ее член не превосходит [...]
18 Октябрь 2011, 22:223 Вася Пупкин:
Если я правильно понял, то в возвратных последовательностях для вычисления ее члена нужно знать несколько следующих за ним членов?
[Ответить]
25 Май 2012, 15:444 Елизавета Александровна Калинина:
Нет, наоборот, несколько предыдущих.
[Ответить]
25 Май 2012, 16:045 Вася Пупкин:
Всё, понял. Просто меня немного смутили плюсы. Мне кажется, было бы более логичным для n-ого члена последовательности использовать запись A(n), а для предыдущих A(n-1), A(n-2) и т.п. Мое скромное мнение)
[Ответить]
25 Май 2012, 17:006 Лейб:
В примере Последовательность Фибоначчи
надо что-то изменить.
1) Либо вместо n>=3 должно быть n >= 1.
2) Либо оставить условие n >= 3, и заменить формулу на такую:
x(n) = x(n-1)+x(n-2)
[Ответить]
12 Июнь 2012, 18:457 Елизавета Александровна Калинина:
Спасибо, Лейб Александрович! Исправила.
[Ответить]
12 Июнь 2012, 19:198 Игорь:
Подскажите почему к загадке про 30 ступеней
, где модно ступать на каждую, через одну и через две ступени. Нужно определить количество разных способов прохождения используется рекуррентное соотношение.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Декабрь 28th, 2014 at 17:53
игорь, напишите, пожалуйста, точное условие Вашей задачи.
[Ответить]