Изучение математики

Здесь лежат материалы, помогающие научиться математике. Той математике, которая несколько отличается от школьной красотой, необходимостью думать, а не зазубривать формулы. Тем не менее, мне кажется, что при желании именно научиться, нужно изучать ее только так…

Меня учили именно так. Учителя в ФМШ 45 при ЛГУ в свое время были очень хорошие, научили, за что им огромное спасибо, думаю, не только от меня, а и от всех, кто у них учился. Выложенные здесь материалы составлены по мотивам конспектов интеровских лекций моих школьных лет. Алгебру читал нам Ю.И.Ионин, математический анализ – Б.М.Беккер. Задачи собирала сама по различным книгам, те, что мне понравились и показались полезными.

Изучив материалы, которые здесь представлены, вы сможете самостоятельно, без репетиторов, хорошо сдать ЕГЭ и поступить в любые институты и университеты. Ибо для решения задач ЕГЭ, и не только ЕГЭ, для решения любых задач нужны знания и понимание, а не прорешивание безумного количества одинаковых “натаскивательных” задач. К сожалению, различные курсы предлагают именно такую “подготовку”… А самое главное, вам не будет сложно в ВУЗе, потому что хорошая база у вас уже будет, а на нее уже хорошо лягут любые новые математические знания. Только не думайте, пожалуйста, что все будет легко. Однако это очень интересно! Такая учеба сильно отличается от привычной “дрессировки”! Удачи!

Конечно же, в задачнике Башмакова, Беккера, Гольхового, Ионина хороших задач гораздо больше. Основная масса приведенных в данных конспектах задач взята именно оттуда, еще часть — из задачника Карпа. На мой взгляд, чтобы научиться решать задачи, нужно брать эти задачники (в особенности первый из них) и решать, решать, решать… Тогда обязательно будет толк!

Разумеется, разделение на классы весьма условное. Знаю многих пятиклассников, которые хорошо решают задачки на принцип Дирихле. Не все, конечно, но самые простые…

Литература

Башмаков М.И., Беккер Б.М., Гольховой В.М., Ионин Ю.И. Алгебра и начала анализа. Задачи и решения. Высшая школа, 2004

Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа. М: Просвещение – АО “Учебная литература”, 1995

Туманов С.И. Элементарная алгебра. М: Просвещение, 1962

Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.1. М.: Наука, 1968

Материалы методичек ФЗФТШ и ВЗМШ различных лет

Баврин И.И., Фрибус Е.А. Занимательные задачи по математике. “Гуманитарный издательский центр Владос”, 1999

Параграфы, отмеченные *, при первом чтении можно пропускать.

Алгебра 10 класс

Алгебра 11 класс

Математический анализ 10 класс

Математический анализ 11 класс

Комментариев: 88

  1. 1 Александр Ильин:

    Уважаемый автор, сайт у вас хороший. Хотелось бы ещё, чтобы были к статьям красочные чертежи или хоть какие-то картинки на математическую тему.

    Мне с детства нравится математика. Жаль, что ничего не открыл только. Правда сам разработал понятие и формулу дробной производной, но… как потом я узнал, её ввёл один математик ещё аж в 18 веке.
    В настоящее время занимаюсь разработкой математической модели игры гомоку (крестики-нолики до пяти в ряд). Вроде кое-что получается.

    С уважением, Александр Ильин.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, о картинках мне уже говорили, обязательно подумаю.

    [Ответить]

    Алена Reply:

    Александр, напишите мне пожалуйста.нужна ваша помощь в математике

    [Ответить]

    Александр Reply:

    Здравствуйте Алёна.
    Какая помощь Вам нужна. Я могу решить контрольные по высшей математике. Раньше довольно много решал заочникам, естественно за деньги. Теперь почти не решаю, так как немного надоело. Можете написать мне ответ на мой е-мэйл: fassad229(собака)gmail.com – вместо скобок и слова “собака” вставте нужный значок.

    [Ответить]

  2. 2 Лера:

    Нет ли математики с пятого класса?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    К сожалению, пока нет. Честно говоря, какой учебник лучше предложить, тоже непонятно. Мы с детьми, кроме программы, которую они проходили в школе, решали кружковские задачи Малого мехмата МГУ, ЮМШ, СПб городской олимпиады по математики. Хорошая книжка – Спивак А.В. “Тысяча и одна задача по математике”, ее можно и в сети найти вроде бы. Кажется, этого более, чем достаточно.

    [Ответить]

    Вячеслав Reply:

    Лера, у меня есть небольшая статья (на 2-х станицах) по элементарной математике, которая будет понятна и полезна для пятиклассников. Напишите Ваш почтовый адрес и я вышлю эту статью с рисунками.
    Елизавета Александровна, если позволите я напишу эту статью здесь, но без рисунков, рисовать здесь я не умею.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Конечно, выкладывайте! Только вопрос был задан 4 с лишним года назад…

    [Ответить]

    Вячеслав Reply:

    Елизавета Александровна, спасибо за разрешение опубликовать мою статью. То что вопрос был задан 4 года назад существенно для Леры, её ученик уже заканчивает школу. Но статья может быть полезна для сегодняшних пятиклассников.

    [Ответить]

  3. 3 Dmitry:

    Туманов С.И. Элементарная алгебра
    Уверен занимательний учебник, но где его найти, все таки последнее переиздание вроде в 1970 ?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Dmitry, я набрала в гугле название книжки и получила ссылки (не одну), где ее можно скачать бесплатно. А если хотите бумажный вариант, то можно поискать в магазинах, где продают старые книги, в том числе и в сети. Должна быть эта книга и в библиотеках, хотя, наверное, смотря в каких… Удачи Вам!

    [Ответить]

    Alex Reply:

    Крайне не советую. В книге очень много ошибок и опечаток, а если учесть, что она рассчитана на самообразование, то это походит на изощренное издевательство.

    [Ответить]

  4. 4 Dmitry:

    В гугле выдает кучу ссылок, которые являются мусором.
    Я перерыл страниц 20 поиска, ни одной ссылки на скачивание, только упоминание.
    Много ссылок ведут на похожие учебники, но не на этот именно.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Александровна Калинина Reply:

    Да, Вы совершенно правы. На poiskknig.ru тоже не нашла. Вот есть такая ссылка: http://www.alib.ru/bs.php4?uid=15913fe12ab47a47d79172473b1fc08fe429

    Может, Вам пригодится. Там автор с ошибкой написан, но вроде бы оно. Посмотрите по поиску, еще вроде бы кто-то продает. Но эта, кажется, дешевле…

    [Ответить]

  5. 5 Елизавета Александровна Калинина:

    Владимир, спасибо за совет! Книги, о которых Вы написали, и правда очень хорошие, учту!

    [Ответить]

  6. 6 Владимир:

    Уважаемый автор! Подборки у Вас очень хорошие! Спасибо! Примите небольшой совет, конечно, на Ваше усмотрение. Есть много школьников интересующихзся математикой, но не имеющих в школе по этому предмету больше “тройки”.Вот для этих ребят было бы просто счастьем почитать такие книги как: Бобров “Волшебный двурог”, “Архимедово лето”(1951-1953 годы), книги Левшина, начиная с Путешествия по Карликании и Альджебре и, заканчивая, Рассеянным Магистром.
    С уважением

    [Ответить]

  7. 10 Из здания челябинского пригородного вокзала эвакуировано около 90 человек | Челябинские коммунисты:

    [...] Самостоятельное, без репетитора, изучение математики, подготовка к ЕГЭ, интересные статьи об образовании и [...]

  8. 11 владимир:

    учился и готовился в вуз по этой книге. доказал знаменитую гипотезу римана (пока для себя)
    отличная книга для самоподготовки и когда бестолковые учителя

    [Ответить]

  9. 12 Елизавета Александровна Калинина:

    владимир, Вы, к сожалению, не написали, о какой книге идет речь ( . Башмаков, Беккер, Гольховой, Ионин?

    [Ответить]

  10. 13 Бойл:

    Супер… совершенно другой подход к математике. Такая математика 100% должна интересовать учеников. Я в своё время по математике получал удовлетворительные оценки. Например физика мне была интересна и я получал отличные оценки.
    Главное заинтересовать ученика.

    [Ответить]

  11. 14 Мирослав:

    Здраствуйте! Хотел задать вопрос. Начиная заниматься математикой из выше перечисленного материала стоит начинать с чего именно?

    [Ответить]

  12. 15 Елизавета Александровна Калинина:

    Мирослав, начинайте с алгебры и анализа 10-го класса. Можно, например, по одному параграфу из алгебры и анализа чередовать.

    А еще лучше, наверное, взять задачник Башмакова, Беккера, Гольхового, Ионина и прорешивать задачи оттуда, необходимую теорию читая здесь. Только в этом варианте смотрите, не все нужно решать подряд, там есть довольно сложные и не очень нужные школьнику темы (например, можно пропустить функцию Мёбиуса, сложную комбинаторику). Удачи! rel=

    [Ответить]

  13. 16 Мирослав:

    Спасибо Елизавета за совет.

    [Ответить]

  14. 17 Мирослав:

    Елизавета, что вы думаете о задачи типа С6 в ЕГЭ 11 класса? Знакомы ли вы с ними? Если да, то можно ли узнать ваше мнение? Решение этих задач требует очень высокого уровня, по мнению учителей и экспертов.

    [Ответить]

  15. 18 Елизавета Александровна Калинина:

    Мирослав, да, я с ними знакома. Более того, у меня есть удостоверение эксперта ЕГЭ (правда, ему уже несколько лет). Я не считаю, что там требуется что-то сверхестественное, они решаемы. Учтите еще то, что в последние годы задачи становятся все проще и проще. К огромному сожалению, большинство учителей их решать не умеет… Ну да, все примерно так и есть, сейчас посмотрела демонстрационный вариант этого года…

    [Ответить]

  16. 19 Мирослав:

    Что бы вы посоветовали для подготовки к такому уровню заданий? Какой материал лучше изучить на вашем сайте, для подготовки к задачам С6? Простите за навязчивость, просто хотелось бы выйти на данный уровень.

    [Ответить]

  17. 20 Елизавета Александровна Калинина:

    Для решения таких задач в первую очередь нужно понимание. Вот смотрите, сейчас на сайте ФИПИ в демонстрационном варианте ЕГЭ С6 – задача на материал чуть ли не 5-го класса, это среднее арифметическое. Нужно только определение, и все, дальше просто думать. Еще, боюсь, времени осталось уже не очень много (если ЕГЭ в этом году). Здесь нет специальных “натаскивательных” задач на такой уровень. Давайте попробуем просто отбросить то, чего заведомо не будет на ЕГЭ. Алгебра 10 класс. Обязательно: 7, в 8 простые и составные числа, хорошо бы признаки делимости, 15,16,17,18. Алгебра 11 класс. 1,2, в 3 нахождение корней полинома с целыми коэффициентами, 5,6,24,25. Мат. анализ 10 класс. 3,4,5,7-35. Мат. анализ 11 класс. 25,26,28,30-33. Однако для последних тем нужно понимание производной и хорошо бы интеграла. Тогда добавляется сразу много всего. Это уже смотрите сами, просто находить экстремумы в школе должны учить. А вот неравенства с помощью производной точно не доказывают, хотя бывает полезно: 17 (мат. ан, 11 класс). Это навскидку. Реально действительно нужно порядка 2-х лет в нормальном темпе и все, что тут есть (выкинув материал со звездочками и, может быть, еще немного). Да, иногда в геометрии полезно бывает знать векторы, но как правило, это можно обойти. Здесь еще есть проблема: материал у меня изложен последовательно, для понимания следующего параграфа хорошо бы изучить предыдущие (все относительно, конечно, но тем не менее). Возможно, придется возвращаться к чему-то, что было раньше, и без этого непонятно.

    [Ответить]

  18. 21 Мирослав:

    Спасибо, Елизавета. Учту, буду пробовать.

    [Ответить]

  19. 22 Самоучка:

    Я собираюсь изучать самостоятельно школьный курс по математике. Как думаете, в учебнике Туманова и в Ваших конспектах достаточно материала для овладения элементарной математикой на достойном уровне с нуля (арифметику и геометрию в расчет не берем)? Задачник Вы указали только для 10-11 классов, есть что-нибудь подобное для уровней пониже?
    Спасибо.

    [Ответить]

  20. 23 Елизавета Александровна Калинина:

    Думаю, достаточно (без геометрии и арифметики). К сожалению, не знаю хороших задачников для классов до 9-го. Те задачники, о которых написано, вполне годятся и для девятиклассников, только необходимо выбирать нужные темы. Вот по геометрии как раз есть хорошие задачники, но тоже для старших классов. Можете посмотреть кружковские задачи (малый мехмат МГУ, например, различные приличные олимпиады – СПб, Москва, региональные). А так, конечно же, школьные учебники.

    [Ответить]

  21. 24 Самоучка:

    Спасибо еще раз! Мне кажется, в список, приведенный выше, можно добавить учебник Киселёва по геометрии и задачники Рыбкина Н.А. (этот учебник и задачники шли в те года вместе). Если честно, не успел еще ознакомиться с этим учебником, но положительных отзывов видел не мало. Во всяком случае, думаю, учебник Киселёва будет намного лучше многих современных учебников. В нём, правда, отсуствуют некоторые темы из нынешней школьной программы (векторы, координаты и т.п.), но наверстать это не составит труда.

    [Ответить]

  22. 25 Елизавета Александровна Калинина:

    Возможно, Вы правы. Но я эти учебник и задачник не видела, поэтому ничего сказать о них не могу, пишу только о том, что считаю действительно полезным. Да, Киселева хвалят, хотя мне его “Систематический курс арифметики”, честно говоря, не очень понравился, поэтому и другие книги не смотрела. Разумеется, это все субъективно.

    [Ответить]

  23. 26 Дмитрий:

    Извините,не могли бы вы Елизавета Александровна выложить на сайт или прислать мне Основную теорию групп,колец,полей
    подробное объяснение ,не очень ее понимаю,Особенно теорему о гомоморфном отображении (если можно объяснение на пальцах)буду вам очень признателен.

    [Ответить]

  24. 27 Елизавета Александровна Калинина:

    Дмитрий, Вы смотрели “Теорию групп” Куроша? Попробуйте почитать эту книгу. К сожалению, выложить материал пока не могу, совсем нет времени. Возможно, сделаю это попозже. Если есть конкретные вопросы, задавайте.

    [Ответить]

  25. 28 Дмитрий:

    Спасибо большое!не могли бы вы еще посоветовать литературу просто идет углубление в Элиптические кривые.
    там очень важна теорема “Гомоморфизм групп”.Спасибо!

    [Ответить]

  26. 29 Елизавета Александровна Калинина:

    Дмитрий, посмотрите еще вот это: http://www.ksu.ru/f5/tronin/PART1.PDF

    На мой взгляд, все просто и доступно плюс довольно много задач. На самом деле, я не знаю, на каком уровне Вам это нужно. Но для начала, чтобы разобраться и понять, кажется, неплохо. Там в конце список литературы, тоже посмотрите.

    [Ответить]

  27. 30 Дмитрий:

    Огромное спасибо!с меня должок)))если что обращайтесь

    [Ответить]

  28. 32 Maks:

    Я собираюсь изучать самостоятельно школьный курс по математике по книге Виленкина.Что вы посоветуете?

    [Ответить]

  29. 33 Елизавета Александровна Калинина:

    Maks, все-таки я бы взяла задачник Башмакова, Беккера, Гольхового и Ионина. Можете посмотреть еще задачник Карпа.

    [Ответить]

  30. 34 Вася Пупкин:

    Елизавета Александровна, хватит ли этого задачника для поступления в любой ВТУЗ?

    [Ответить]

  31. 35 Вася Пупкин:

    А то у меня паника, столько задачников, столько задач… Взять хотя бы задачник Сканави – тысячи и тысячи задач.

    И еще вопрос: насколько актуально при поступлении умение делать преобразования? Я имею в виду разложение на множители всевозможными способами – с этим у меня проблемы, всегда уходит много времени на поиски способа разложения того или иного многочлена.

    [Ответить]

  32. 36 Елизавета Александровна Калинина:

    По моему мнению, хватит. Сканави – натаскивание на одинаковые (почти) технически местами довольно сложные задачи. Их, наверное, нужно порешать, но немного, часть В. Здесь – понимание и умение решать любые задачи. Смотрите, что Вас больше устраивает. Есть еще Ткачук, если поступать хотите в МГУ.

    Чтобы посмотреть, насколько нужны преобразования, возьмите ЕГЭ за последние годы. Там это есть, насколько понимаю, но не так уж оно смертельно :) Опять же, вступительные задачи гляньте за последние годы.

    [Ответить]

  33. 37 Вася Пупкин:

    Понятно, спасибо)

    [Ответить]

  34. 39 Студент:

    Здравстуйте!По некоторым причинам в свое время не поступил в институт.Мне 23.Профессиональный шахматист и программист(без диплома).Высшее образование хотел бы получить по математике.Интересует Элементарная теория чисел,а в частности последовательность чисел т.е. простые числа,числа Фибоначчи,факториал и т.д.Так как давно учился в школе и переодически пропускал(из-за турниров по шахматам)сейчас заново прохожу школьный курс математики по учебникам Виленкина.Какие источники использовать для изучения теории чисел?Книг по теории числе много и в электронном виде.
    Заранее спасибо!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Мне нравится Виноградов И.М. “Основы теории чисел” (книга очень небольшая по объему, однако не все объясняется, нужно обдумывать материал). Гораздо более подробный и объемный учебник А.А. Бухштаба “Теория чисел”. С задачниками сложнее. В свое время подбирала задачи из пяти (примерно) разных источников. В книге Виноградова есть задачи, но их мало. Можно посмотреть для начала задачник Башмакова, Беккера, Гольхового и Ионина (то, что связано с теорией чисел). Только в школе теорию чисел проходят, как правило, мало и плохо. То, что я Вам написала, гораздо глубже и серьезнее. Удачи Вам!

    [Ответить]

  35. 40 Теория музыки, классическая музыка, тестирование:

    Теория музыки, классическая музыка, тестирование…

    [...]Изучение математики | Математика, которая мне нравится[...]…

  36. 41 Идущий:

    Встретил такое мнение, что школьная математика в принципе не нужна для изучения высшей (если не надо вступительные экзамены сдавать и т.п.). А если что-то и необходимо, то заново изучается в курсе высшей математики, но уже на более строгом\абстрактном уровне. Например, методы аналитической геометрии полностью покрывают, расширяют и т.п. методы геометрии элементарной. Стоит ли тогда изучать математику школьную, или можно сразу приступать к разделам математики высшей? Если да, то в каком объеме?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    На мой взгляд, школьную математику изучать нужно обязательно. Аналитическая геометрия – это совсем не геометрия элементарная, там координаты и векторы. Честно говоря, не помню, кто сказал это, но “там, где появляются векторы, кончается геометрия”. И это довольно справедливо. Что же касается школьной алгебры, то там дается база, на которую потом накладывается та абстрактная алгебра и тот математический анализ, который изучают в вузах. Без элементарной математики получается очень дырявое образование. А есть еще вещи, которые в высшей математике не проходят, а они очень полезны для развития мышления и понимания.

    [Ответить]

  37. 42 zbl:

    Синтетическая и аналитическая геометрии — это две разные равновеликие дисциплины. Есть, например, синтетическая дифференциальная геометрия. Вообще, нет школьной и ВУЗовской математик: есть только школьники и студенты. Взрослые курсы арифметики действительно начинаются с понятия натурального числа. Но они не учат делить уголком. А без этого навыка понять деление многочленов вряд ли возможно. Взрослый человек, забывший школьную математику, может обойтись без школьных учебников, потому что вместо них может воспользоваться справочником. А вот школьник не может. Другое дело, что вместо школьных учебников можно использовать литературу для самообразования. Но без школьного этапа обучения никак не обойтись.

    [Ответить]

  38. 43 Серый:

    Доброе утро!

    Поясню суть моей просьбы. Моя задача – научиться радиотехнике самостоятельно, по книгам, в большинстве из которых без знаний математики (как обычной, так и высшей) “ловить” нечего. Уровень моей подготовки в математике – нулевой, так как всё чему учили в школе уже позабыл.

    Просьба такая: посоветуйте, пожалуйста, литературу по математике такую, чтобы в ней доступно для понимания излагалась школьная программа.

    Спасибо!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Мне очень нравится Туманов “Элементарная алгебра”: http://hijos.ru/2012/12/14/s-i-tumanov-elementarnaya-algebra’’/

    [Ответить]

    Серый Reply:

    Спасибо! Попробуем… :)

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Туманов, “Элементарная алгебра”. Александров, Нецветаев, “Геометрия”. Зельдович, Яглом, “Высшая математика для будущих физиков и техников”.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    По комплексным числам, которые нужны в радиотехнике: Лаврентьев, Шабат, “Методы теории функций комплексного переменного”.

    [Ответить]

  39. 44 Серый:

    Всем спасибо!

    [Ответить]

  40. 45 Серый:

    Добрый вечер!

    У Вас замечательный сайт, но, просмотрев его разделы, не нашел раздела для вопросов пользователей по математике (было бы удобно, если бы пользователь мог озаглавливать название темы раздела своим вопросом).

    Значит ли это, что любые непонятные для меня вопросы, связанные с математикой, я могу задавать в этом разделе, и значит ли это, что Вы на них ответите?.. :)

    Спасибо!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы правы, я подумаю о том, чтобы создать такой раздел. Пока спрашивайте здесь. Чем смогу, помогу. Да и другие люди могут помочь тоже :-)

    [Ответить]

    Серый Reply:

    Спасибо!

    [Ответить]

  41. 46 Серый:

    Я занимаюсь самообразованием, и поставил перед собой цель – хорошо ПОНИМАТЬ математику и уметь с помощью её формулировать свои прикладные задачи или вникнуть в чужие, изложенные математическим языком.

    Мои знания в математике очень разрозненны и скудны, так как многое из школьного курса (8 классов) уже позабыл. Взявшись за самостоятельное изучение, не знаю от чего оттолкнуться – как стоит ПРАВИЛЬНО изучать математику: с чего лучше начать, как выстроить для себя план её изучения, что нужно заучивать наизусть, к чему себя стоит приучить и т. д. и т.п. В общем – нет системы для её самостоятельного изучения, хоть в первый класс школы садись! :)

    В общем, мне требуются Ваши советы.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    К сожалению, очень трудно давать общие советы. Спрашивайте, задавайте конкретные вопросы :-)

    [Ответить]

    Серый Reply:

    Основные математические правила, законы и понятия – забыл. Решил освежить память с помощью старой (советской) книги-учебника “Арифметика для 5-6 классов” И.Н. Шевченко (кстати, можно ли приводить здесь ссылки на скачивание книг советских времён издания?). Вообще моя цель – высшая математика в применении к радиотехнике, связи, цифровой электронике и программированию, но вся математика строится на выведении новых понятий (законов, правил и т.п.) на основе ранее усвоенных знаний.

    Вот я и не знаю, как лучше выстроить для себя план самообразования, как научиться выводить одно из другого, доказывать справедливость какого-либо утверждения, правила, закономерности, основываясь на уже известных понятиях, правилах, законах, действиях… Ведь именно к этому нужно стремится?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Ссылки приводить можно.
    Да, Вы правы, нужно учиться доказывать, рассуждать. А “Элементарную алгебру не смотрели”? Там вроде бы с самого начала все.

    [Ответить]

    Серый Reply:

    Вот ссылка на “Школьные учебники СССР”: http://sheba.spb.ru/shkola.htm

    Да, “Элементарную алгебру” уже имею в эл. виде. Просто решил заодно и школьный курс арифметики с самого начала проштудировать. :)

    [Ответить]

    Серый Reply:

    Елизавета Александровна, интересно Ваше мнение об книге “Элементарная математика” Сканави М.. Годится ли она для новичка? Сама книжка здесь: https://yadi.sk/d/YoXgkS8fizLXp

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Если Вам нравится, читайте. Но вот задачники Сканави, мне кажется, очень технические, скучные…

    [Ответить]

    Серый Reply:

    Так у меня и цель: математика, в приложении к технике (радиотехника, электроника и т.п.).

    Спасибо!

    [Ответить]

  42. 47 Серый:

    Нашел интересный ресурс – дистанционная интернет-школа, где представлены видеоуроки по всем предметам, в том числе по математике и алгебре (все классы!!!). Думаю, ссылка пригодится многим: http://interneturok.ru/ :)

    Что интересно, там есть раздел – “Домашняя школа”, который предоставляет платное дистанционное образование. Это не реклама, просто интересно будет узнать мнения тех, кто будет смотреть видеоуроки по математике или алгебре – об их качестве.

    [Ответить]

  43. 48 Вячеслав:

    Елизавета Александровна, вот обещанная мной статья о математике в начальной школе.
    Размышления о преподавании элементарной математики в начальной школе.
    «Природа разговаривает с нами на языке математики» / Галилео Галилей /
    Сначала немного истории.
    Давным-давно древние люди не умели ни писать, ни считать. Они, также как в наше время малые дети, не знали ни букв, ни цифр. Однако уже в то давнее время людям требовалось делать записи и вести счет количества дней, месяцев, определять время дня, количество домашних животных, количество заготовленных продуктов питания и много другого. Сначала они делали это в виде бороздок на земле и царапин на скалах. Так стала зарождаться арифметика. Позднее у людей появилась необходимость измерения земли, так как земля давала людям все необходимые средства существования. С измерением земли возникла геометрия (слово «гео» в переводе на русский означает земля). Для счета и измерения расстояний и длин люди первоначально пользовались частями собственного тела – пальцами рук (десять), длиной руки (локоть), длиной ступни ноги (на английском – фут); благо такие средства всегда имелись под рукой. Потребовалось много тысячелетий, прежде чем возникла современная письменность, арифметика, алгебра и геометрия. И в наше время малыши также учатся считать на пальцах рук и уже с малых лет познают простой счёт, знают сколько им лет и многое другое, то-есть приобщаются к простейшей математике. Всего за 5-6 лет учебы в школе учащимся преподают знания, накопленные человечеством за многие века. С одной стороны это замечательно, но с другой стороны, получая готовые знания, дети уже не нуждаются в умении самостоятельно мыслить, находить решения многих задач, как это приходилось делать нашим предкам. Многие современные школьники даже в старших классах плохо знают таблицу умножения и не могут самостоятельно её составить, поскольку пользуются калькуляторами, а учителя не довели до сознания учащихся, что умножение – это простое действие сложения нескольких одинаковых слагаемых. Например, 6×3= 6+6+6 = 3+3+3+3+3+3=18, а степень числа – это количество одинаковых сомножителей, равное этой степени, например, 23 =2×2×2=(2 +2)×2= 4×2=4+4=8. Современное оснащение школ компьютерами и другой электронной техникой позволяет учащимися производить вычисления без знания математики. Чтобы побуждать учащиеся самостоятельно решать задачи и логически мыслить они должны пользоваться на уроках простейшими средствами и инструментами (палочками, счетами, линейками, треугольниками, циркулем, транспортиром), также как это делали наши предки. В школьных учебниках и программах по математике изучение арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии проводится раздельно, но исторически все разделы развивались и создавались древними мыслителями параллельно и они тесно взаимосвязаны. Поэтому изучение всех разделов элементарной математики в школе также следует вести одновременно, что будет способствовать лучшему пониманию и усвоению материала. Для лучшего понимания учащимися истоков геометрии и математики в целом, полезно один из первых уроков геометрии проводить на школьном дворе и показать школьникам, как древние люди чертили и делили круг на равные части с помощью веревки и двух колышков, ещё до изобретения циркуля. В школьном дворе следует устроить простейшие солнечные часы, закрепив в центре круга столбик высотой 1 метр . На солнечных часах должны быть указаны стороны света (север, юг, восток и запад) и желательно прикрепить термометр. Таким образом, каждый школьный двор будет представлять собой миниатюрную метеостанцию. По солнечным часам ученикам следует давать практические задания по определению полдня, когда тень от столбика будет минимальной и начинает увеличиваться и указывает на север; подсчитывать и записывать в журналы в солнечные дни тангенс угла подъема солнца, равный отношению высоты столбика к длине его тени, а также температуру воздуха. Такие практические задания будут развивать у школьников наблюдательность, способность анализировать, проводить исследования. Изучение разделов геометрии «точка», «прямая», «отрезок», «угол», «треугольник», «многоугольники» целесообразно совместить с темой «окружность и круг». Точка – это место на плоскости, где поставлен кончик карандаша, ручки или остриё ножки циркуля. Точка от острия циркуля будет меньше, чем точка от карандаша, если он плохо заточен. Но в геометрии точка условно считается не имеющий размера независимо от реального размера. Прямая — это непрерывная линия из множества точек, расстояние между любыми двумя из которых кратчайшее. Наглядным примером отрезка прямой является натянутая нить. Две пересекающиеся прямые образуют 4 угла, а точка пересечения прямых называется вершиной этих углов. Угол может быть острым, прямым и тупым. Если все 4 угла на пересечении двух прямых одинаковые, то эти углы называются прямыми. Треугольник — это замкнутая фигура состоящая из трёх отрезков. Треугольники бывают с разными длинами сторон (разносторонние), с двумя равными сторонами (равнобедренные) и со всеми равными сторонами (равносторонние) Окружность — это замкнутая фигура все точки которой расположены на одинаковом расстоянии от центра, где ставится остриё ножки циркуля. Замкнутая выпуклая фигура состоящие из 4-х и более отрезков называются многоугольником. Многоугольники у которых все стороны одинаковой длины называются правильными. Вокруг правильных многоугольников можно провести описанную окружность и провести внутри вписанную окружность. Вертикальная прямая проведенная через центр окружности делит окружность пополам. Горизонтальная прямая разделит каждую половинку тоже пополам и таким образом получим вершины 4-х угольника, который называется ещё квадратом. Если из вершин квадрата сделать на окружности засечки радиусом этой окружности, то получим вершины 12-ти угольника. Для иллюстрации деления окружности на равные части полезно использовать стрелочные часы с круглым циферблатом. Вершины 12-ти угольника будут соответствовать 12-ти часам.
    Основы алгебры, геометрии и тригонометрии можно изложить на примере прямоугольного треугольника со сторонами 3 метра, 4 метра, 5 метров, который ещё за 2 тысячи лет до новой эры египетские ученные умели стоить с помощью веревки длиной 12 метров и трёх колышков. В этом треугольнике нет равных сторон и углов, но угол при вершине С — прямой. Позднее (в 500-х годах до н. э.) Пифагор доказал свою знаменитую теорему: «Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы». Для этого треугольника доказательство теоремы очень просто. Достаточно возвести в квадрат эти числа. 3×3=9, 4×4= 16, и сложить эти квадраты: 9+16= 25, что равно 5×5, квадрату гипотенузы. Обозначим катеты СА и СВ буквами a и b , а гипотенузу АВ – буквой c, тогда теорему Пифагора для прямоугольного треугольника АСВ можно записать в виде алгебраического уравнения СА 2 + СВ 2 = АВ 2 , или в общем виде для любого прямоугольника в виде a 2 + b 2 = c2. Острый угол СВА, противолежащий катету СА обозначим греческой буквой β (бета), второй острый угол САВ, противолежащий катету СВ – буквой ɣ (гамма), а прямой угол АСВ – буквой δ (дельта). Отношение длины катета СА, противолежащего острому углу β, к длине гипотенузы называется синусом этого угла и обозначается английскими буквами Sin β ( для данного треугольника АСВ Sin β = СА/АВ = 3/5 =0,6), а отношение длины катета СВ, прилежащего к углу β, к длине гипотенузы называется косинусом этого угла и обозначается Cos β (для данного треугольника Cos β = СО/АО = 4/5 =0,8). Если гипотенузу принять за единичный отрезок (т.е. c =1), то теорему Пифагора можно записать в виде тригонометрического уравнения (Sin β )2 + (Cos β )2 = 1. Из сказанного очевидно, что синусы и косинусы не так страшны, как представляется непосвященным школьникам, это всего лишь простые дроби, в данном примере синус и косинус угла β – это дроби 3/5 и 4/5. Понятно что синусы и косинусы могут принимать значения от нуля до 1. Отношение Sin β/Cos β называется тангенсом и обозначается tg β , а отношение Cos β/Sin β называется котангенсом и обозначается ctg β.
    09.10.2015 / Ларионов Вячеслав Викторович /

    [Ответить]

  44. 49 Серый:

    Елизавета Александровна, думаю многим изучающим математику было бы интересно и крайне важно узнать мнение математика – о своём видении каких-либо понятий, чтобы убедиться – а правильно ли я это понимаю?

    Читая математическую литературу, например – задачник, сталкиваешься с требованием – докажите то-то или то-то. Вот у меня и возник в себе вопрос: а что значит – доказать?.. И вот сформулировал для себя такой ответ, Ваше мнение на достаточность которого и хочу узнать:

    Доказать – это значит убедиться в справедливости (правильности, истинности) какого-либо утверждения, отталкиваясь от ранее усвоенных понятий, фактов, правил и закономерностей (законов, свойственностей), при помощи допустимых операций (действий).

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, на мой взгляд, Ваше определение верное. Только нужно учесть, что строгость доказательства со временем меняется. Ну и теперь еще думают, стоит ли признавать доказательства, полученные с помощью компьютера :-)

    [Ответить]

    Серый Reply:

    Спасибо! Значит не зря размышлял над этим. :)

    [Ответить]

    Серый Reply:

    Да, компьютеры думать не умеют, всё зависит от программиста.

    [Ответить]

  45. 50 Серый:

    Логическая задача № 4 из сборника задач “Алгебра и начала анализа” М. Башмакова, Ю. Ионина и др.

    “Трёх мудрецов – слепого, одноглазого и зрячего – посадили в тюрьму. Тюремщик сказал мудрецам, что из имеющихся у него трёх белых и двух красных колпаков он выберет три и наденет их им на головы так, что ни один из них не будет знать, какой именно колпак у него на голове. Надев колпаки на мудрецов, тюремщик пообещал, что выпустит на волю того, кто определит цвет своего колпака. Зрячий мудрец сказал, что он не может определить, какого цвета на нём колпак. После этого одноглазый сказал то же самое. Тогда слепой сказал: “я знаю какого цвета на мне колпак. Какого цвета на нём колпак?”"

    Вопрос: в ответе написано, что белый, но что-то я сомневаюсь в этом…

    Допустим, что всем были надеты колпаки белого цвета. Это первая вероятность правильности приведённого в книге ответа. Если два колпака белых, а один красный – это вторая вероятность, могущая случится дважды. Наконец, два колпака красных, а один белый – третья вероятность. В этих случаях – белый колпак, вероятно, будет на слепце. Все остальные вероятности – против слепца.

    Кто-то может вывести весь логический вывод для данного ответа? У меня, кроме этой вероятностной версии ничего другого что-то не получается…

    Спасибо!

    [Ответить]

    Серый Reply:

    Ещё одна догадка: знать, а следовательно говорить истину – какой на нём колпак – слепец может только в том случае, когда на всех надеты белые колпаки.

    [Ответить]

    Серый Reply:

    Вообще, на мой взгляд, это вероятностная а не логическая задача. Но может быть я и не прав. :)

    [Ответить]

    Серый Reply:

    С догадкой я погорячился: знать слепец никак не может, он может только предполагать. Даже в том случае, когда на всех мудрецах будут белые колпаки, слепец может лишь предположительно угадать, а не знать. Вот такие вот дела.

    Кто-нибудь оспорит?

    [Ответить]

    Серый Reply:

    Ещё мысль: ответ слепого мудреца мог бы быть и таким: знаю я или не знаю, но колпак на мне белый”. И он был бы прав, если бы на нём действительно был белый колпак. :)

    [Ответить]

    Серый Reply:

    Ещё мысль: а вдруг тюремщик НАВСЕГДА надел на слепца красный колпак?.. Что тогда?

    [Ответить]

    Серый Reply:

    Ещё вопрос: какова вероятность того, что слепой мудрец ошибётся? То есть, сказав “я знаю”, окажется что он сказал ложь?

    [Ответить]

    Серый Reply:

    Или: вдруг шанса, когда на слепце будет белый колпак – никогда не выпадет?..

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Зрячий и одноглазый мудрецы не могут видеть двух красных колпаков. Значит, каждый из них видит либо два белых, либо красный и белый колпаки. Если на слепом красный колпак, то одноглазый определит, что на нем белый колпак. Не может он определить цвет своего колпака только в тех случаях, когда на слепом белый колпак.

    [Ответить]

    Серый Reply:

    Согласен. Но где в условии сказано, что будучи с надетыми колпаками, они могут видеть?.. Сказано, что “наденет их им на головы так, что ни один из них не будет знать, какой именно колпак у него на голове”. Это можно понимать и так, что когда он будет надевать на них колпаки, у них у всех будут закрыты глаза…

    [Ответить]

    Серый Reply:

    Колпак, значит, с прорезями для глаз, получается?..

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение