11. Вроде бы равные дроби

Это не тест, не проверка Ваших знаний. Это приглашение к дискуссии. Выберите один из возможных вариантов и постарайтесь продолжить его, обосновывая Вашу точку зрения.

Всегда ли равенство \displaystyle\frac{4}{6}=\frac{2}{3} является верным ?

• Конечно. Это ведь одинаковые числа.

• Не всегда, так как . . .

• Я считаю, что . . .

Комментариев: 23

  1. 1 абвгдежзик:

    в десятичной системе отсчета, конечно, всегда

    [Ответить]

  2. 2 Корнеев В.Ф.:

    Конечно.

    [Ответить]

  3. 3 Лейб:

    Предлагаю простейшую задачу, наподобие которой имеется громадное количество.
    И, конечно, те задачи намного сложнее, чем предлагаю я.
    Но так, я думаю, более четко проявляется суть проблемы.
    Итак задача :
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Имеется дробь, у которой числитель на 2 меньше, чем знаменатель. Если к числителю прибавить 14, то данная дробь превратится в целое число, равное трем.
    Найти исходную дробь.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    При этом ответом к задаче является дробь 4/6, но не является дробь 2/3 !
    -
    Это, кстати часто вызывает недоумение у многих учеников.

    [Ответить]

  4. 4 Корнеев В.Ф.:

    Да…Я с такими задачами не сталкивался. Всё же равны. Но к Вашей задаче 4/6 подходит, а равная ей 2/3 нет. Это не тот случай, что из х=у следует f(x)=f(y). Давайте какую-нибудь другую задачку.

    [Ответить]

  5. 5 Лейб:

    Вот еще одна простая задача на ту же тему.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Сумма числителя и знаменателя некоторой дроби равна 10. А их произведение равно 24.
    Чему равна дробь ?
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    На этот раз, для ответа подходят уже две дроби: 4/6 и 6/4, но не подходит дробь 2/3.

    [Ответить]

  6. 6 абвгдежзик:

    По пункту 3:
    на множестве дробей вводятся некоторые классы эквивалентности, и операция “=” означает эквивалентность двух дробей. Всегда, где в алгебраическом выражении используется дробь, вместо нее можно использовать эквивалентную ей. Да и вообще, любое алгебраическое выражение содержит операции над классами эквивалентности, а не над элементами классов. Любое “число” – класс эквивалентности, например для числа 4/3 класс содержит 1.(3), 8/6, 12/9, 1.3333(3) и т.д. Поэтому равенство 4/6 = 2/3 является верным ВСЕГДА, потому что в алгебраических выражениях используются классы эквивалентности, а не элементы этих классов. Другое дело, что никто не запрещает различать разные элементы класса, что собственно и иллюстрирует задача. Но только это нельзя использовать в пределах алгебраического выражения 4/6 = 2/3.

    [Ответить]

  7. 7 Лейб:

    В комментарии 6 написано:
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Всегда, где в алгебраическом выражении используется дробь, вместо нее можно использовать эквивалентную ей. Да и вообще, любое алгебраическое выражение содержит операции над классами эквивалентности, а не над элементами классов.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    В этом комментарии спорными, на мой взгляд, являются слова ВСЕГДА и ЛЮБОЕ.
    Ведь алгебраическое выражение подразумевает некоторые алгебраические операции.
    Но алгебраические операции можно вводить совершенно произвольно.
    Лишь бы были определены некоторые правила, ставящие в соответствие двум элементам (в случае бинарной операции)некоторого множества некоторый определенный элемент того же множества.
    -
    И, как показывают задачи из пунктов 3 и 5, эквивалентные элементы НЕ ВСЕГДА взаимозаменяемы.

    [Ответить]

  8. 8 Корнеев В.Ф.:

    Мне уже 64. Но, когда работал в школе, то, кажется, равными дробями назывались такие, которые выражали одну и ту же величину. Теперь, с точки зрения современной (высшей) математики это не корректно?

    [Ответить]

  9. 9 Лейб:

    К комментарию 8.
    Вообще-то, это ПОЧТИ корректно.
    Дело в том, что не совсем точно определены два понятия:
    1. ВЫРАЖАТЬ
    2. ВЕЛИЧИНА
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Чтобы было более понятнее, я задам такой, на первый взгляд, шуточный вопрос.
    ******************************
    Имеется некоторое истинное предложение,в котором встречается слово ПУШКИН (имеется в виду именно наш великий поэт, а не его однофамилец).
    В этом предложении заменили слово ПУШКИН на выражение:
    автор романа “Евгений Онегин”.
    -
    Может ли так случиться, что предложение из истинного превратится в ложное ?
    ******************************

    [Ответить]

    Корнеев В. Ф. Reply:

    Ну и ну. На первый взгляд не возможно. Давайте свой конрпример.

    [Ответить]

  10. 10 абвгдежзик:

    По пункту 7:
    Я предлагаю все же оставаться в пределах разумного. Стол является столом, стул стулом, равенство равенством. Тем более, в школе. В алгебраическом выражении всегда, а тем более, в школе используются операции над классами эквивалентности. Иначе вообще все числа должны быть одинаковыми, например, использовать в цепочке преобразований рациональное число и периодическое десятичное вещественное некорректно. А уж тем более радикалы.
    В противном случае можно ж аналогичным образом довести ситуацию до абсурда и с Вашей задачей. Вашу задачу предлагаю трактовать как математическое выражение. “Всегда ли равенство” обозначает натуральное число 1. “4/6 = 2/3″ обозначает операцию равенства между натуральными числами. “Является верным” обозначает натуральное число 2. Трактовку символа “?” предлагаю оставить прежней: некоторая функция от математического выражения перед ней, которая возвращает значения “Да” и “Нет”. В области алгебраических выражений из натуральных чисел “Да” соответствует верному выражению; “Нет” – неверному. На остальной области определения функции “?” предлагаю Вам доопределить ее как Вам угодно. Я согласен c Вами, что ответ на Вашу задачу – “Нет” :)
    Еще раз: алгебраическое выражение использует классы эквивалентности. Можно различать элементы этих классов. Но это должно было быть записано не 4/6 = 2/3, а как-то по-другому.

    [Ответить]

  11. 11 Лейб:

    Мне не совсем понятно утверждение:
    ===============================================
    Иначе вообще все числа должны быть одинаковыми, например, использовать в цепочке преобразований рациональное число и периодическое десятичное вещественное некорректно. А уж тем более радикалы.
    ===============================================
    Получается, что следующие записи некорректные ?
    1/3 = 0.33333…
    \sqrt{4/9} = 2/3
    ===============================================
    Кроме того, число является рациональным (или иррациональным), независимо от того, в каком виде оно записано.

    [Ответить]

  12. 12 абвгдежзик:

    Это не я утверждаю. Это Вы утверждаете, что операцию ‘=’ можно определить как-то странно. Выше я просто развил эту идею, чтобы показать ее абсурдность. Если уж 4/6 = 2/3 не всегда верно, то есть некорректно, потому что это разные ДРОБИ, то 1/3 = 0,(3) тем более некорректно, потому что это разные ФОРМЫ ЗАПИСИ ЧИСЛА. И тут без разницы, является ли число рациональным или иррациональным вне зависимости формы записи. Главное, что форма записи разная. Или Вы думаете, что составить задачу, где будет иметь влияние именно ФОРМА ЗАПИСИ так уж проблематично? В Вашей задаче, кстати, оба числа рациональны. ФОРМА ЗАПИСИ разная :)

    [Ответить]

  13. 13 Лейб:

    Вы спрашиваете:
    ==================================================
    Или Вы думаете, что составить задачу, где будет иметь влияние именно ФОРМА ЗАПИСИ так уж проблематично?
    ==================================================
    Я не говорил, что это проблематично.
    Таких задач уже имеется большое количество и в школьных учебниках, и в различных сборниках задач для поступления в ВУЗЫ.
    ==================================================
    Примерно по этой же причине в свое время в школьную математику был введен термин “КОНГРУЭНТНОСТЬ”.
    Ведь если треугольники равны, в обычном понимании, то это еще не значит, что всегда один из них может быть заменен на другой.
    И, как раз это, или равенство дробей, или нечто подобное, является, на мой взгляд, не такой уж простой проблемой в школьном преподавании.
    И требует соответствующего внимания к себе.

    [Ответить]

  14. 14 абвгдежзик:

    Так я ж не спорю, что это требует внимания к себе. Мне кажется, что это формулировать нужно немного по-другому. Равенство 4/6 = 2/3, в виде алгебраического выражения, я считаю, для школьника (да и не только для школьника, по большому счету) должно быть всегда верным. Конечно, если предварительно не оговорено, что операция равенства обозначает что-то отличное от общепринятого. Иначе будет много путаницы. Другое дело, что немного понимать, что числа можно вводить по-разному, и разные способы ввода и разные формы записи эквивалентны почти всегда, но не всегда, так же как и с треугольниками, хороший школьник тоже должен. Понимать, что конкретно обозначает операция “=” и что, вообще говоря, можно, оговорив ранее, изменить ее общепринятое толкование, тоже неплохо. Но на конкретно поставленный вопрос про равенство 4/6 = 2/3 любой школьник должен отвечать “всегда”. Поскольку тут ничего не оговорено ранее про операцию “=”. А если считать, что у этой операции нет однозначного смысла или он может быть отличным от общепринятого при том, что это не оговорено ранее, то ситуация становится абсурдной, что я и пытаюсь объяснить.

    [Ответить]

  15. 15 Лейб:

    Вы пишете:
    ========================================================
    Равенство 4/6 = 2/3, в виде алгебраического выражения, я считаю, для школьника (да и не только для школьника, по большому счету) должно быть всегда верным.
    ========================================================
    Я с Вами почти согласен.
    Единственное, на что надо (хотя бы иногда) обращать внимание школьника, что НЕ ВСЕГДА первую дробь можно заменить на вторую.
    Это можно даже предложить в такой шуточной форме:
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Если мы пишем адрес на конверте, то запись 4/6 означает, как правило, что номер дома 4, а квартира 6. Очевидно, что если заменить эту дробь на дробь 2/3, то возникнут проблемы . . .

    [Ответить]

  16. 16 Лейб:

    Комментарий к пункту 9.
    ==============
    Корнеев В. Ф. 14 сентября пишет:
    Ну и ну. На первый взгляд невозможно. Давайте свой контрпример.
    ==============
    Отвечаю.
    Таких примеров можно придумать очень много.
    Например:
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    1. В 1825 г. А. С. Пушкин написал о своей поэме «Борис Годунов» своему другу Вяземскому: «Трагедия моя кончена; я перечел ее вслух, и бил в ладоши, и кричал- ай да Пушкин! ай да сукин сын!»
    .
    ПОСЛЕ ЗАМЕНЫ ПОЛУЧИМ:
    В 1825 г. А. С. Пушкин написал о своей поэме «Борис Годунов» своему другу Вяземскому: «Трагедия моя кончена; я перечел ее вслух, и бил в ладоши, и кричал- ай да автор романа «Евгений Онегин»! ай да сукин сын!»
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    2. В следующем предложении три слова:
    «Пушкин – великий поэт»
    .
    ПОСЛЕ ЗАМЕНЫ ПОЛУЧИМ:
    В следующем предложении три слова:
    Автор романа «Евгений Онегин»– великий поэт.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    3. Следующее предложение начинается с согласной буквы:
    «Пушкин – великий поэт»
    .
    ПОСЛЕ ЗАМЕНЫ ПОЛУЧИМ:
    Следующее предложение начинается с согласной буквы:
    Автор романа «Евгений Онегин» – великий поэт
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    4. Королева Англии как-то заинтересовалась, является ли Пушкин автором романа «Евгений Онегин»
    .
    ПОСЛЕ (обратной) ЗАМЕНЫ ПОЛУЧИМ:
    Королева Англии как-то заинтересовалась, является ли Пушкин Пушкиным
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    4. В 1805 году Пушкин еще не был автором романа «Евгений Онегин».
    .
    ПОСЛЕ (обратной) ЗАМЕНЫ ПОЛУЧИМ:
    В 1805 году Пушкин еще не был Пушкиным.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    5. В своей статье критик В. Г. Белинский писал: «Нет двух поэтов столь существен¬но различных, как Пушкин и Лермонтов».
    .
    ПОСЛЕ ЗАМЕНЫ ПОЛУЧИМ:
    В своей статье критик В. Г. Белинский писал: «Нет двух поэтов столь существен¬но различных, как автор романа «Евгений Онегин» и Лермонтов».
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    6. В следующем предложении четвертое слово нужно писать с большой буквы:
    Это стихотворение написал Пушкин.
    .
    ПОСЛЕ ЗАМЕНЫ ПОЛУЧИМ:
    В следующем предложении четвертое слово нужно писать с большой буквы:
    Это стихотворение написал автор романа «Евгений Онегин»
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Приведенные примеры могут показаться не совсем серьезными. Но именно на подобных примерах строились целые теории. Например, теория множеств.

    [Ответить]

  17. 17 Alexey Izvalov:

    По-моему, в задаче “Имеется дробь, у которой числитель на 2 меньше, чем знаменатель…” говорится об упорядоченной паре чисел (числитель, знаменатель).

    На всякий случай сверился с википедией, и нашей и английской (та полнее), так вот, “Дробь является всего лишь записью числа”. В вашей задаче вопрос относился не к собственно величине числа, выражаемого дробью, а к виду этой записи.

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    Вы правы, что
    .
    ///вопрос относился не к собственно величине числа, выражаемого дробью, а к виду этой записи///.
    .
    Но в школе обычно не делают никаких различий между числом и той формой записи, в которой данное число представлено.
    Поэтому это довольно часто приводит к неправильным ответам в соответствующих задачах.

    [Ответить]

  18. 18 Вячеслав:

    Я согласен с комментариями 14 и 15. Дроби 4/6 и 2/3 всегда равны по величине числа, но не равны (не одинаковы) по форме записи. Одна и та же величина числа может быть записана в виде бесчисленного множества форм записи. Дробь 2/3 является результатом сокращения дроби 4/6 на 2, поэтому более правильна по форме запись 4/6 = 2*(2/3). Форма записи дроби при решении некоторых задач может иметь принципиальное значение. Например, если в доме стороны двух комнат соотносятся как 4 м /6 м и 2 м /3 м и соотношения сторон равны по величине числа, но площади комнат отличаются в 4 раза: 4*6=24, а 2*3=6. Правильный ответ на вопрос задачи не однозначен. Дроби 4/6 и 2/3 всегда равны по величине числа и не одинаковы по форме записи. О различиях понятий величин чисел и форм записей чисел необходимо объяснять школьникам.

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    Мне непонятна запись:
    .
    ///поэтому более правильна по форме запись
    4/6 = 2*(2/3) ///.
    .
    Означает ли звездочка в этой записи (как это обычно принято) знак умножения ?
    Если означает, то это равенство неверно.

    [Ответить]

  19. 19 Вячеслав:

    Уважаемый Лейб, знак * означает умножение и Вы правы, приведенная мной запись ошибочна. Следовало написать 4/6=(2*2)/(2*3).

    [Ответить]

  20. 20 zbl:

    У понятия равенства есть чёткое определение и по нему дроби равны.
    Обсуждаемый здесь вопрос к равенству дробей отношения не имеет.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение