9. Трапеция и параллелограмм
Это не тест, не проверка Ваших знаний. Это приглашение к дискуссии. Выберите один из возможных вариантов и постарайтесь продолжить его, обосновывая Вашу точку зрения.
Является ли параллелограмм трапецией?
• Является, так как параллелограмм – частный случай трапеции . . .
• Не является, так как. . .
• Я считаю, что . . .
1 zznaika:
Мне кажется, что Вы хотели задать другой вопрос. Является ли параллелограмм трапеций? То что трапеция не является параллелограммом очевидно, поскольку бывают трапеции с неравными и непараллельными боковыми ребрами.
[Ответить]
1 Июль 2012, 18:452 Лейб:
Да, Вы правы, я хотел спросить именно так:
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Является ли параллелограмм трапецией ?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Случайно перепутал. Спасибо Вам !
.
Попрошу Елизавету Александровну исправить на сайте мою оплошность.
[Ответить]
2 Июль 2012, 19:593 Елизавета Александровна Калинина:
Исправила.
[Ответить]
2 Июль 2012, 21:554 Сергей:
Уважаемый Лейб Александрович.
Начну с условия задачи.Расстояние между серединами двух сторон четыреугольника равно полусумме двух его других сторон.Доказать,что этот четырехугольник-трапеция.И после решения,далее.(Если считать,что параллелограмм не является трапецией,то в условии задачи следует добавить слова “или параллелограмм”.)Эта задача и далее взяты из книги Ивана Федоровича Шарыгина “Факультативный курс по математике.Решение задач.10″(М.,”Просвещение”,1989,с.175,176).Однозначности нет.Поэтому,исходя из определения трапеции,параллелограмм – частный случай трапеции,а может и нет.
Немного лирики. “Трапеции приятнейшей из дам,
В любви признался параллелограмм.
А та на общий угол намекая,
А площадь говорит у Вас какая?”
[Ответить]
Лейб Reply:
Март 2nd, 2013 at 23:51
Когда-то давно в Советских учебниках (и не только) параллелограмм считался частным случаем трапеции.
Сейчас так не считается.
По крайней мере, в большинстве учебников.
Поэтому, конечно, все упирается в то определение, которое принято на данный момент, в данной программе, в данном учебнике и т. д.
Главное, чтобы это было четко оговорено.
[Ответить]
Сергей Reply:
Март 3rd, 2013 at 11:16
Уважаемый Лейб Александрович.
Вы представили очень точный и исчерпывающий ответ.Хочу,как пример,добавить.В Советском учебнике по геометрии(1975),6 класс,авторский коллектив:Андрей Николаевич Колмогоров,Александр Федорович Семенович(мой учитель),Федор Федорович Нагибин,Ростислав Семенович Черкасов(с.94),параллелограмм не считался частным случаем трапеции.
[Ответить]
Лейб Reply:
Март 3rd, 2013 at 17:24
Учебник, о котором Вы упомянули, на мой взгляд, замечательный.
.
Мне очень приятно было узнать, что Вашим учителем математики был Александр Федорович Семенович.
Вам очень повезло, что Вашим педагогом был такой крупный специалист своего дела.
.
Мне кажется, что было бы очень полезно и интересно для многих, если бы Вы немного (или много – по Вашему усмотрению) рассказали об Александре Федоровиче.
.
Было бы здОрово, если у Вас имеются его фотографии.
Если такой материал (главное, конечно, чтобы он был интересный)удастся собрать в достаточном количестве о разных учителях, то стОило бы (если не будет возражать Елизавета Александровна) открыть рубрику:
“НАШИ ЛЮБИМЫЕ УЧИТЕЛЯ-МАТЕМАТИКИ”
.
Хорошие учителя заслуживают того, чтобы их помнили!
[Ответить]
5 Вячеслав:
Википедия определяет параллелограмм как четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны. Но такое определение неполное. К этому необходимо дополнить, что углы в нем и стороны попарно (но не все)равны и стороны прямолинейны. В той же Википедии уточняется, что под неполное определение подпадают и прямоугольник и квадрат и ромб. Определение трапеции там тоже неоднозначное, отсюда и ответ на поставленную задачу неоднозначен. При четких определениях параллелограмм не является трапецией.
[Ответить]
Лейб Reply:
Март 3rd, 2013 at 0:02
В пункте 5 утверждается:
.
//Википедия определяет параллелограмм как четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны. Но такое определение неполное. К этому необходимо дополнить, что углы в нем и стороны попарно (но не все)равны и стороны прямолинейны.//
.
Определение в Википедии – ПОЛНОЕ.
То, что углы в нем и стороны попарно равны МОЖНО ДОКАЗАТЬ.
Правда, необходимо добавить, что углы и, соответственно, стороны – ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ.
.
Добавка, которая имеется в скобках (“НО НЕ ВСЕ”) – лишняя, так как, например, квадрат, безусловно, ТАКЖЕ является параллелограммом.
[Ответить]
6 Вячеслав:
Уважаемый Лейб, Вы всё же признали, что определение параллелограмма в Википедии неполное, так как пишите, что необходимо “добавить, что углы и, соответственно, стороны – ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ”. Вы также не возразили, что стороны должны быть прямолинейными. Мне непонятно, как можно доказать, “что углы и стороны попарно равны”, если это не содержится в определении. Квадрат НЕ БЕЗУСЛОВНО является параллелограммом, а лишь при двух условиях – все стороны и все углы равны.
[Ответить]
Лейб Reply:
Март 3rd, 2013 at 21:26
Уточняю свой ответ.
.
(1) Определение параллелограмма в Википедии – ПОЛНОЕ.
.
(2) Добавить, что углы и, соответственно, стороны – ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ – необходимо не в определении параллелограмма, а в теореме, в которой эти свойства параллелограмма доказываются.
.
(3) Также нет необходимости добавлять, что стороны должны быть прямолинейными, так это уже входит в определение многоугольника и четырехугольника.
.
(4) Повторяю, что квадрат, БЕЗУСЛОВНО, является параллелограммом. Так же, как параллелограммом, БЕЗУСЛОВНО, является и любой ромб, и любой прямоугольник.
Это следует из ОБЩЕПРИНЯТЫХ определений этих фигур.
.
[Ответить]
7 Вячеслав:
Уважаемый Лейб, по пункту (1): это ничем не подтвержденное Вами утверждение, в отличие от противоположного моего; по пункту (2): где изложена упомянутая теорема? По пункту (3): в Википедии упоминается криволинейный параллелограмм, поэтому если не оговаривается прямолинейность, то определение не полное, неоднозначное, включающее и криволинейный. По пункту (4): не секрет, что ОБЩЕПРИНЯТЫХ определений фигур не существует, в разных источниках встречаются разные определения. Я писал о конкретном источнике – Википедии.
[Ответить]
4 Март 2013, 16:038 Лейб:
В пункте 7:
//Я писал о конкретном источнике – Википедии.//
.
Вот отрывок из Википедии.
.
Параллелогра́мм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.
Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.
.
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
(см. доказательства практически в любом учебнике по планиметрии)
• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
[Ответить]
4 Март 2013, 17:269 Вячеслав:
Приведенное мной определение из Википедии процитировано не полностью. Видимо я очень невнимательно читал, хотя я несколько раз перечитывал и поэтому сильно сомневаюсь в этом. Может быть в последние дни в Википедию внесли уточнения?
[Ответить]
4 Март 2013, 18:06