15. Точка и круг

Это не тест, не проверка Ваших знаний. Это приглашение к дискуссии. Выберите один из возможных вариантов и постарайтесь продолжить его, обосновывая Вашу точку зрения.

Можно ли считать точку кругом?

• Конечно, это круг с нулевым радиусом . . .

• Нет, так как . . .

• Я считаю, что . . .

Комментариев: 28

  1. 1 Игорь:

    Я считаю, что при R\to 0 круг вырождается в точку.

    [Ответить]

  2. 2 Лейб:

    Уважаемый Игорь !
    Я согласен с тем, что если радиус стремится к нулю, то круг вырождается в точку.
    Но:
    _ _ * слово “вырождается” все же не является математическим термином.
    ———————————————————
    _ _ * все-таки не прозвучал ответ на поставленный вопрос:
    МОЖНО ЛИ СЧИТАТЬ ТОЧКУ КРУГОМ ?

    [Ответить]

  3. 3 Игорь:

    “МОЖНО ЛИ СЧИТАТЬ ТОЧКУ КРУГОМ ?”
    Считаю, что можно. Площадь, однако, нулевая получается.

    [Ответить]

  4. 4 Лейб:

    Если верить авторитетной ВИКИПЕДИИ, то (проверьте!):
    —————————————————————-
    1. КРУГ — геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до заданной точки, называемой центром круга, не превышает заданного НЕОТРИЦАТЕЛЬНОГО числа, называемого радиусом этого круга. Если радиус равен нулю, то круг вырождается в точку.
    —————————————————————-
    2. ОКРУЖНОСТЬ — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное НЕНУЛЕВОЕ расстояние, называемое её радиусом.
    —————————————————————-
    По этим определениям выходит, что у круга радиус МОЖЕТ БЫТЬ НУЛЕВЫМ, а у окружности – НЕТ.
    Странно, не правда ли ? Круг без окружности !
    Как избежать противоречий ?
    —————————————————————-

    [Ответить]

  5. 5 абвгдежзик:

    Вопрос не имеет смысла. Если бы было точное определение точки, то и был бы ответ на него. На самом-то деле точка – весьма странный абстрактный (и непонятно, нужный ли) объект. Вот и возникают всякого разного рода противоречия при попытке найти у этой точки реальный параметр (например, радиус). Он не нулевой, не стремящийся к нулю или еще какой. Его у нее просто нет. Нельзя сравнивать теплое с мягким. Нельзя сравнивать фигуру у которой есть радиус с фигурой у которой его нет. Тут еще можно вспомнить известное ‘события с нулевой вероятностью случаются’, потому что карандаш попадает в какую-то точку. Абсолютно аналогичное сравнение несравнимого.

    [Ответить]

  6. 6 Лейб:

    Вы пишете (пункт 5):
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Вопрос не имеет смысла. Если бы было точное определение точки, то и был бы ответ на него. На самом-то деле точка – весьма странный абстрактный (и непонятно, нужный ли) объект.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Не согласен по нескольким причинам.
    ** 1. По определению, геометрическая фигура – это любое множество точек. Если бы этот объект (точка) был не нужен, то тогда не нужны были бы все геометрические фигуры.
    ** 2. Для многих математических понятий не существует точных определений.
    Например, для прямой линии, плоскости, множества и т.д.
    Это, так называемые, НЕОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ понятия.
    Они имеются в любой математической теории. При введении любых аксиом.
    ** 3. Поставленный вопрос вполне имеет смысл.
    Например, вполне законным является, такой вопрос – является ли слон птицей ?
    .
    А почему нельзя попытаться выяснить, исходя из определения круга, является ли круг точкой ?
    И как раз, тут мы упираемся в точное определение круга, которое является некоторым множеством ТОЧЕК).
    И, именно тут, имеются в разных источниках – различные определения, которые приводят к несостыковкам . . .

    [Ответить]

    gggg Reply:

    круг станет точкой, если его уменьшать, убирая по точке.

    [Ответить]

  7. 7 Корнеев В.Ф.:

    Я бы считал круг бесконечным множеством точек, имеющим не нулевой радиус. В википедии ошибка на счёт круга. Заменив НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ на положительные всё станет на свои места.

    [Ответить]

  8. 8 абвгдежзик:

    по пункту 6
    1. По поводу не имеет смысла не совсем корректно выразился. В данном смысле не имеет смысла, как-то так, сложно объяснить, что я имел в виду.
    1-2. На мой взгляд, фигура – такое же нечетко определяемое понятие, как и точка. Хотя, с формальной точки зрения, действительно – множество точек. Но тогда нужно идти до конца и формально определять, что такое множество и что такое точка.
    3. “Является ли слон птицей?” – действительно, корректный вопрос. Но вопрос: “является ли стол стулом?” – уже не корректный. Хотя можно сказать, например, что часто является, потому что на него часто можно сесть, не сломав.
    На самом деле, у точки есть вполне определенный СМЫСЛ, который собственно и используется всегда. Это объект, размер которого в условиях данной задачи не имеет значения. Именно так она используется в геометрии, математическом анализе, физике. Поэтому у точки нету размера и радиуса. А у круга есть радиус. Можно, конечно, на основании этих данных сказать, что точка не круг, но я придерживаюсь мнения, что стол со стулом не сравнивают.

    [Ответить]

  9. 9 Лейб:

    Интересно сопоставить понятие радиуса с понятием диаметра.
    В математике принято такое определение:
    =======================================================
    Диаметр геометрической фигуры — это максимальное расстояние между точками этой фигуры.
    =======================================================
    По этому определению выходит, что диаметр точки равен НУЛЮ !
    А радиус ??

    [Ответить]

  10. 10 абвгдежзик:

    по пункту 9:
    Вот я как-то плохо понимаю, как из Вашего определения диаметра следует, что диаметр точки равен 0? Для того, чтобы определить расстояние между точками внутри точки, нужно их там найти :) Приведите мне аксиому, которая разрешает искать точки внутри точки. По смыслу точки внутри нее не может быть точек.
    Хорошо, даже предположим, что Вам удалось их там найти, хотя это очень сомнительно ;) Тогда, действительно, диаметр равен 0. Да только вот из того, что приведенное Вами понятие диаметра для круга, можно сказать, случайно совпадает с понятием диаметра геометрическим (я подразумеваю здесь длину отрезка, проходящего через центр круга с концами на окружности, его ограничивающей), ни разу не следует, что оно совпадет и для точки. Более того, я утверждаю, что не совпадет, поскольку у точки нет размера, поэтому нет геометрического диаметра и радиуса.

    [Ответить]

  11. 11 Лейб:

    У слова ДИАМЕТР имеется, по крайней мере, два определения:
    1. это некоторый отрезок;
    2. это некоторое число.
    ==================================
    Даже ДИАМЕТР фигуры, как отрезок, не всегда определяется одинаково.
    Например, у эллипса имеется бесконечно много диаметров (по определению диаметра эллипса).
    Но при этом имеется единственный диаметр по определению диаметра фигуры (если, конечно, эллипс не является окружностью).
    ==================================
    Если рассматривать диаметр, как число, то у любой окружности имеется ЕДИНСТВЕННЫЙ диаметр.
    И т.д.
    ==================================
    Поэтому мы снова упираемся в ОПРЕДЕЛЕНИЕ рассматриваемого понятия.

    [Ответить]

  12. 12 Вячеслав:

    Можно ли считать точку кругом? Точка в строго математическом определении – это идеальное, мысленное понятие, существующее только в сознании людей с математическим образованием. Она не является кругом, т.к. по аксиоме точка может быть только в единственном числе и не имеет размера, а круг и окружность – это бесчисленное множество точек в не зависимости от их размеров. В объективной реальности любая точка, напротив, есть бесчисленное множество точек, ограниченных окружностью, которая в свою очередь является бесчисленным множеством точек.

    [Ответить]

    Лейб Reply:

    В математике у точки, к сожалению, нет строгого математического определения.
    .
    Точка – это одно из НЕОПРЕДЕЛЯЕМЫХ в математике понятий.
    Таких же, как например, прямая и множество.

    [Ответить]

  13. 13 Вячеслав:

    Евклид дал определение математической точки, как то, что не имеет частей и не имеет величины. С точки начинается и на её основе строится вся математика. Без строгого математического определения точки не было бы самой точной из всех наук – математики.

    [Ответить]

  14. 14 Лейб:

    Геометрия – это аксиоматическая теория.
    В любой такой аксиоматической теории ВСЕГДА имеются неопределяемые понятия.
    Одно из таких понятий – ТОЧКА.
    А то, что писал Евклид, это некое интуитивное описание точки, ни никак не строгое математическое определение.
    И с этим ВСЕ математики согласились уже очень давно.

    [Ответить]

  15. 15 Вячеслав:

    Если ВСЕ математики, за более чем 2 тысячелетия соглашались и продолжают соглашаться с определением точки по Евклиду и на основе его аксиом математика стала самой точной наукой, то не логично считать его определение и аксиомы не строгими.

    [Ответить]

  16. 16 Лейб:

    1. Математики сегодня НЕ используют определения Евклида для точки и прямой в качестве строгих определений.
    .
    2. Математики пользуются в современной геометрии, в основном, аксиоматикой Гильберта (или какой-то подобной аксиоматикой).
    .
    3. Вот, как понимают математики сегодня понятие точки и т.п.(посмотрите в Интернете или в серьезных математических книгах):
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Аксиоматика Гильберта — система аксиом евклидовой геометрии. Разработана Гильбертом как БОЛЕЕ полная, нежели система аксиом Евклида.
    НЕОПРЕДЕЛЯЕМЫМИ в этой системе аксиом понятиями являются: ТОЧКА, прямая линия, плоскость.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    .
    4. Очень часто неверные (или, во многом, неверные) теории позволяют двигать науку.
    Вспомните, например, алхимию, многие лжетеории в физике, астрологию и т. д.
    .

    [Ответить]

  17. 17 Вячеслав:

    “Аксиоматика Гильберта – система аксиом евклидовой геометрии. Разработана Гильбертом как более полная, нежели система аксиом Евклида.” Из этого следует, что Гильберт лишь дополнил систему Евклида и это естественно. Ни одна наука не может не развиваться. Вопрос лишь в том, каковы эти дополнения. То, что он считает понятия точки, прямой линии и плоскости неопределенными, по моему мнению, как раз из разряда таких, не вполне верных определений, которые, тем не менее, не помешали развитию математики, поскольку они основаны на абсолютно точных определениях Евклида.

    [Ответить]

  18. 18 Mr.Nobody:

    Конечно, это круг с нулевым радиусом

    [Ответить]

  19. 19 Лейб:

    В школьных учебниках геометрии указывается, что радиус окружности, а следовательно, и соответствующего круга, должен быть ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ.
    .
    Как быть с этим ?
    .

    [Ответить]

  20. 20 Вячеслав:

    Конечно, можно принять точку за круг, вырождающийся в точку при нулевом радиусе. Но такое определение точки мало чем дополняет определение Евклида. Такое толкование вызывает ещё больше вопросов и похоже на прочтение книги с последней страницы, что свойственно многим читателям. В самом деле, начав определение точки с круга, естественно возникает вопрос об определении круга. Следующий вопрос о нулевом радиусе и о нуле. Если на бытовом уровне эти понятия кажутся очевидными, то с математической точки зрения эти понятия требуют соответствующих определений. Сказав, что точка это круг, а круг – это некое множество точек, мы начинаем блуждать в трёх соснах и не сможем найти правильной дороги.

    [Ответить]

  21. 21 Алек:

    Любое определение геометрической точки является формальной договоренностью, уже изначально определяющей границы его применимости. Чем более определенное представление люди хотят иметь о точке, тем менее они заинтересованы разрушать эти самые границы и выходить за их пределы. Гораздо легче быть математиком в определенных кем-то рамках, чем обременять себя различными неопределенностями и беспорядком. В этом смысле, определенность – это палка о двух противоположных концах. С одной стороны, она обеспечивает порядок, однозначность и строгость, а с другой, – способствует зашоренности (обусловленности) и застою, исключая из себя хаос и неопределенность, необходимые для развития жизни. Ибо невозможно без неопределенности и хаоса достичь иного, более высокого уровня порядка и определенности. Математика – это не какая-то мертвая совокупность исходных определений и аксиом, из которых опять же по определенным законам порождается все остальное, а целостный и единый живой Мир.
    Точка и единица – это две противоположные разновидности его атома.
    Единица – это число без количества, а точка – это форма без форм.
    Поэтому точка, как бесформенная форма (пустота или ничто), заключает в себе любую форму, включая и круг. Эта идея может показаться абсурдной и бесполезной, но точка – это настоящий портал в совершенно иную геометрию, в которой число и форма, конечное и бесконечное сольются в едином синтезе.
    Кстати, если принять, что точка – это круг или окружность бесконечно малого диаметра, то так же вполне можно принять и то, что бесконечная прямая – это окружность бесконечно большого диаметра … Тогда, точка и прямая – это две различные (противоположные) точки зрения на одну и ту же бесконечную окружность. И основой (атомом) всей геометрии является вовсе не точка, а окружность (круг) … Но это уже другая песня.

    [Ответить]

  22. 22 zbl:

    Нельзя считать точку кругом, ибо точка — это то, что лишено протяжённости, а круг — это то, что имеет определённую форму (форму круга), а стало быть имеет протяжённость, так как одно без другого невозможно в случае геометрии Евклида.

    [Ответить]

  23. 23 Мария:

    Мне интересно, интервалы [0, 1] и [0, 1) равны или нет? Принимая во внимание, что точка размера не имеет? Получается, из отрезка можно выкинуть все его точки, не измерив его размера?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Мария, что Вы понимаете под словом “равны”?
    Вам нужно почитать о мощности множеств (количестве элементов). Посмотрите, что такое множество мощности континуум.

    [Ответить]

  24. 24 Мария:

    И как геометрические объекты по определению имеющие размерность могут состоять из точек, не имеющих размера? Если прямая “рассыпается” до точек, получается, что ее нет? Но она же есть? Математика неточная наука, что ли? И как может быть что-то геометрическим местом точек, если точка места не имеет? Координата ведь не место. Как может быть парабола, имеющая место, геометрическим местом точек, ничего не имеющих?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Ответила выше. В математике все точно.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение