13. Равно ли точно двум?

Это не тест, не проверка Ваших знаний. Это приглашение к дискуссии. Выберите один из возможных вариантов и постарайтесь продолжить его, обосновывая Вашу точку зрения.

Равенство \displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ldots=2 точное или приближенное?

• Приближенное, так как . . .

• Точное, так как . . .

• Я считаю, что . . .

Комментариев: 44

  1. 1 Alex:

    Точное, но имеющее смысл только тогда, когда определено, как понимать “сумму бесконечного числа слагаемых”.

    [Ответить]

  2. 2 Лейб:

    А как Вы считаете – надо понимать “сумму бесконечного числа слагаемых” ?
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

    [Ответить]

  3. 3 абвгдежзик:

    Конечно, точное. Действительные числа вводятся именно так. Делением. Только не пополам, а на 10. И операция равенства между ними вводится соответствующим образом. И, например, 1.(9) = 2, по тем же соображениям точное.

    [Ответить]

  4. 4 Корнеев В.Ф.:

    Точное, так как является пределом бесконечной суммы слагаемых.

    [Ответить]

  5. 5 Корнеев В.Ф.:

    Можно было бы воспользоваться двоичной системой, но тогда бы проиграла общность. Например, построить ряд из двоек и, вперемешку, из троек. Здесь бы ни какая система не подошла, но о равенстве можно было бы говорить точно.

    [Ответить]

  6. 6 Лейб:

    К комментарию 3.
    Вы пишете:
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Конечно, точное. Действительные числа вводятся именно так. Делением. Только не пополам, а на 10.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Действительные числа далеко не всегда определяются как бесконечная сумма дробей. И далеко не всегда используются обыкновенные дроби, то есть операция деления.
    ** Например, без всяких сумм впервые было определено число “КОРЕНЬ ИЗ ДВУХ”. И без всяких делений.
    ** Кроме того, ВСЕ действительные числа в теории Дедекинда тоже определяются без всяких бесконечных сумм дробей (при помощи сечений числовых множеств).

    [Ответить]

  7. 7 rotozeev:

    Точное, так как легко показать, что сумма 1+1/2+1/4+… действительно равна 2.

    Ну а неформально, в голове возникает следующая мутная ассоциация:

    2 – это наименьшее число из множества чисел, каждое из которых больше любого числа из множества [1,2).

    А также при виде предела, бесконечной суммы возникает ощущение процесса результатом которого и есть данная сумма или предел. И т.к. этот процесс бесконечный, то возникает ощущение, что он никогда не закончится, и числу 2 точно сумма не будет равна. Как будто математик бездумно написал бесконечную сумму на бумаге, а кто то (бог, или вселенная) принялись перебирать слагаемые. Так вот, надо всегда помнить, что видя бесконечную сумму нужно понимать ее как результат, а не как процесс.

    Ну и с третьей стороны, вспоминая книжку Пенроуза, можно лишь добавить, что все таки это 2, но с оговоркой, что мы имеем дело с той математикой, которая есть, с моделью континуума. Ведь во вселенной нет ничего бесконечного, что соответствовало бы бесконечным рядам (число элементарных частиц, число планковских длин…).

    В общем, весь опыт и измерения говорят, что таки 2.

    [Ответить]

  8. 8 Лейб:

    Это, действительно, легко показать, используя формулу суммы для бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
    Но проблема заключается как раз в том, как убедить школьника, что сама сумма БЕСКОНЕЧНОГО количества чисел определяется при помощи понятия предела.
    Это понятие, которое многие школьники (да и многие учителя, к сожалению) понимают очень формально или не понимают вовсе.

    [Ответить]

    Сергей К Reply:

    # 8:
    «Но проблема как раз в том, как убедить школьника…»
    Т.е. убедить в том, что (для данного случая)
    число 2, к которому постоянно ПРИБЛИЖАЕТСЯ бесконечная сумма слагаемых (т.е. никогда ее так и не достигнув)…
    А в чём вы хотите убедить? Вам просто постесняются сказать: — «А в своем ли вы уме, говоря, что это никак не приближенное, а точное значение?»

    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    #9
    «Но, а чем плох школьный банальный метод:
    1+1/2+1/4+…=S
    S=1+1/2(1+1/2+1/4+…)=1+S/2»

    Это называется «ищи дурака».
    «Коне-ечно, и там три точки, и здесь те же самые три точки. — Дак это ж, одно и то же!»

    А сравнивать величины с бесконечной последовательностью вас, конечно же, учили, да недоучили.
    Или, может быть, учили только лишь понты показывать.
    «О-о, какие он умные слова знает: «предел», «сумма бесконечного числа слагаемых»…
    Видимо, он что-то такое знает, что недоступно простому смертному».
    И стоит только многозначительно произнести умное слово, и считается что доказательство выполнено.

    Объясните, вы действительно умышленно врёте, или…?
    Или вы действительно бестолковые, т.е. не в состоянии корректно выполнять математические операции и доказательства?
    Или, может, это система образования такая. Она учит механически выполнять какие-то действия, ничего не понимая и подгоняя решение под ответ?
    Или какие-то другие причины… или заставляет вас кто-то…?

    Но ведь, «концы с концами-то не сходятся».
    Метод здесь работает, а вот там не работает…
    И что? Он — всё равно — доказывает — точность — равенства (а не приближенность)?

    Вы что, действительно не понимаете, что этот метод — приближенное вычисление значений?
    (Точные методы работают всегда, а вот приближенные — не всегда дают искомое значение).
    1+1/2+1/4+…=S
    S=1+1/2(1+1/2+1/4+…)=1+S/2
    S=2
    При малой погрешности он работает
    А при большой погрешности не работает
    1+2+4+8+16+ . . . = S
    S = 1+2+4+8+16+ . . .
    S = 1+2(1+2+4+8+16+ . . . ) = 1 + 2S
    S = – 1

    Например, сделаем так.
    Обозначим: 1-1+1-1+1-1+ . . . = S
    Ну и пусть
    S = s + x, где x — разница между S (большое) и s (малое) в последовательном суммировании: 1-1+1-1+1-1+ …
    Тогда:
    S = 1-1+1-1+1-1+ . . .
    S = 1-(1-1+1-1+1- . . .) = 1 – s = 1 – (S – x) = 1 + x – S
    2S = 1 + x
    S = 1/2 + x/2
    Если разница между S (большое) и s (малое) возможна в двух значениях: один и минус один,
    то при x = 1
    S = 1/2 + 1/2 = 1
    при x = –1
    S = 1/2 – 1/2 = 0
    Вывод: S (большое) и s (малое) не равны, т.е. как раз то, что вы не учитываете.

    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

    Ответьте на вопрос: Вы действительно не понимаете, что
    1+1/2+1/4+… приближенно равняется двум,
    или умышленно врёте (по каким-то причинам)?

    [Ответить]

  9. 9 rotozeev:

    Речь о пределе последовательности частичных (частных?) сумм? Но а чем плох школьный банальный метод:
    1+1/2+1/4+…=S
    S=1+1/2(1+1/2+1/4+…)=1+S/2
    S=2
    Главное, уверенность, что за “…” ничего страшного нет, “и так далее”, “и так со всем бесконечным рядом слагаемых” нормальные слова.

    [Ответить]

  10. 10 Лейб:

    Этот метод очень хорош.
    Но при одном непременном условии, о котором многие даже великие математики прошлого не задумывались.
    Иначе возможны такие “доказательства”:
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Обозначим: 1-1+1-1+1-1+ . . . = S
    Тогда:
    S = 1-1+1-1+1-1+ . . .
    S = 1-(1-1+1-1+1- . . .) = 1 – S
    S = 1 – S
    2S = 1
    S = 1/2
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    То есть, получили, что
    1-1+1-1+1-1+ . . . = 1/2

    [Ответить]

  11. 11 rotozeev:

    Ну.. сумма (и ее существование) знакопеременного ряда вообще зависит от порядка суммирования, в отличии от знакопостоянного, т.е. вещь сама по себе более зыбкая.

    [Ответить]

  12. 12 Лейб:

    Вы абсолютно правы.
    И даже, находя сумму положительных членов, необходимо быть уверенным, что сумма (то есть предел частичных сумм) существует.
    Но все это, к сожалению, малодоступно для школьников.

    [Ответить]

  13. 13 Лейб:

    Кстати, вот еще одно “доказательство” для суммы положительных членов.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Обозначим: 1+2+4+8+16+ . . . = S
    Тогда:
    S = 1+2+4+8+16+ . . .
    S = 1+2(1+2+4+8+16+ . . . ) = 1 + 2S
    S = 1 + 2S
    – S = 1
    S = – 1
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    То есть, получили, что
    1+2+4+8+16+ . . . = – 1

    [Ответить]

  14. 14 абвгдежзик:

    По поводу 6:
    Да, числа можно вводить как угодно. Только вот “число” в равенстве – класс эквивалентности. Поэтому нет разницы, как его вводить. А действительные числа можно вводить именно так, как написал я. И для них это равенство точное по описанным выше причинам.

    [Ответить]

  15. 15 Лейб:

    В большом комментарии на комментарий к пункту 8 Сергей К. употребил много «вежливых» фраз.
    Процитирую их еще раз. Они заслуживают этого …
    .
    ///////////////////////////////////////////////
    1. Вам просто постесняются сказать: — «А в своем ли вы уме, говоря, что это никак не приближенное, а точное значение?»
    2. Это называется «ищи дурака».
    3. Вас, конечно же, учили, да недоучили.
    4. Или, может быть, учили только лишь понты показывать.
    «О-о, какие он умные слова знает: «предел», «сумма бесконечного числа слагаемых»… Видимо, он что-то такое знает, что недоступно простому смертному». И стоит только многозначительно произнести умное слово, и считается что доказательство выполнено.
    5. Объясните, вы действительно умышленно врёте, или…?
    6. Или вы действительно бестолковые, т.е. не в состоянии корректно выполнять математические операции и доказательства?
    7. Или, может, это система образования такая. Она учит механически выполнять какие-то действия, ничего не понимая и подгоняя решение под ответ?
    8. Или какие-то другие причины… или заставляет вас кто-то…?
    9. Вы что, действительно не понимаете, что этот метод — приближенное вычисление значений?
    10. Ответьте на вопрос: Вы действительно не понимаете, что 1+1/2+1/4+… приближенно равняется двум, или умышленно врёте (по каким-то причинам)?
    ///////////////////////////////////////////////
    .
    Мне, безусловно, приятно, что я оказался в компании таких ученых, как Эйлер. Гаусс, Ньютон, Лейбниц и многих-многих других, для которых рассматриваемое равенство является ТОЧНЫМ.
    Им тоже, в свое время не стеснялись говорить:
    «А в своем ли вы уме, говоря, что это никак не приближенное, а точное значение?»
    .
    Ведь без этого невозможно построить теорию иррациональных и действительных чисел.
    Извиняюсь, я опять, видимо, кого-то оскорбил «умным» словом.
    .
    Без этого равенства типа 1/3 = 0.33333333 … также нельзя признать точными.
    .
    Кроме того, тогда для любой окружности ее длину следует признать приближенной.
    И так далее, и так далее.
    .
    Но для начала, все же советую познакомиться с бесконечными рядами. Этот материал изучается на первых курсах университетов, а также технических Вузов.

    [Ответить]

  16. 16 Вячеслав:

    Приведенная геометрическая прогрессия в бесконечности стремиться пределу 2 и с этой точки зрения 2 есть точное значение прогрессии. Как объяснить это школьникам и нужно ли задавать школьникам такие задачи? В обычных школах грузить учащихся такими понятиями не следует. Вполне достаточно доказательства по пункту 9. Хотя мне известно понятие предела, но я не могу найти ошибку в пункте 13, где сумма положительных чисел равна -1. Пожалуйста объясните.

    [Ответить]

  17. 17 Лейб:

    Ошибка этого “доказательства” скрывается в ПЕРВОЙ строчке:
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Обозначим: 1+2+4+8+16+ . . . = S
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Дело в том,что не всякий ряд сходится.
    То есть, не у всякой бесконечной последовательности можно найти сумму ВСЕХ ее членов.
    .
    Например, у бесконечной геометрической прогрессии сумма ВСЕХ ее членов существует лишь при условии, что знаменатель прогрессии удовлетворяет условию:
    .
    -1<q<1
    .
    Поэтому суммы 1+2+4+8+16+ . . . просто НЕ СУЩЕСТВУЕТ вовсе.
    .
    Следовательно, нельзя обозначать это выражение никакой буквой и оперировать с этой буквой, как с обычным числом.

    [Ответить]

  18. 18 Вячеслав:

    Уважаемый Лейб,благодарю за объяснение. Мне это не приходило в голову. Очень просто, но всё же как-то странно, что сумму нельзя обозначить буквой, хотя в математике это широко практикуется .

    [Ответить]

  19. 19 Лейб:

    Сумму МОЖНО обозначать буквой.
    Но лишь после того, как доказано, что эта сумма СУЩЕСТВУЕТ.
    В противном случае, и возникают такого рода “доказательства”.

    [Ответить]

  20. 20 Елизавета Александровна Калинина:

    Сергей К, большая просьба к Вам быть повежливее. Подумала и решила удалить Ваши весьма невежливые высказывания.

    Если вам хочется что-то сказать, напишите, пожалуйста, то же самое, но в более приемлемой форме.

    [Ответить]

    Сергей К Reply:

    Странно это. Просто удалили бы, и всё. Зачем вам это (в приемлемой форме)?

    «Если вам хочется что-то сказать»… мне — не хочется.
    Лично я выяснил что хотел; они раскрыли то, о чём умалчивали.
    Мне всё ясно (в основном). И в вежливую форму это не укладывается. Может, вы знаете, как это сделать (чтобы было вежливо), я не знаю.

    Например, объяснять, что следует брать от великих математиков, а что не следует (как будто бы они сами этого не понимают) — вежливого здесь будет мало.

    Здесь нет дискуссии. Здесь идет пропаганда фальшивых решений и доказательств.
    Вот и всё.

    Лично я понял, почему у них равенство точное: потому что в свое время к великим математикам на эту тему было много претензий… Мне такую логику рассуждений не осилить, и приличных слов у меня нет.

    Вообще-то, математически правильное решение дает иной результат (я не буду объяснять).

    1+2+4+8+16+… = 2^(n+1) – 1
    У них минус единица получилась именно потому, что часть формулы пропало, вот и весь фокус.
    А объяснения типа «у бесконечной геометрической прогрессии сумма ВСЕХ ее членов существует лишь…» — просто супер.
    Вообще-то это называется не сумма, а предел (именно он существует или не существует, именно он зависит от того, сходится ряд или не сходится).

    А здесь
    1+1/2+1/4+1/8…= 2 – 2^(–n)
    И если предел существует, то он берется из полученной формулы (операция lim).

    ———

    Елизавета Александровна, я вам вот что хочу сказать. Заголовок этого сайта гласит: «Математика, которая мне нравится». И есть понятие «доказательная математика».
    Так вот, хотя в обсуждении упоминают слово «доказательство», собственно доказательной математики здесь и близко нет. Особенно показательна фраза «главное, уверенность, что за “…” ничего страшного нет». — А это поведение участников обсуждения в корне меняет смысл заголовка сайта, т.е. какая именно математика нравится.
    Лично мне такая математика не нравится, в которой получают «1+2+4+… = –1» и дают объяснения, от которых уши вянут.

    Во-вторых, (даже если это совсем невежливо, но этот факт я отмечу) есть такая особенность, называемая «преступник на допросе», который хочет выглядеть правдоподобно. Он молчит, когда нужно обмануть, и говорит тогда, когда можно сказать правду. Так вот в моем первом сообщении есть много всякого на выбор. И кое-что осталось без внимания в обсуждении — и это очень показательный факт.
    Я в их алгебраические операции ввел дополнительную переменную величину х, т.е. «S=s+x», в результате которой сохраняется истинность равенства при всех преобразованиях. А «преступник» молчит тогда, когда нужно обмануть — и они здесь молчат…
    Так что факт умышленного обмана налицо (хоть об этом и невежливо говорить).

    Елизавета Александровна, мне всё равно, хотите — удаляйте, хотите — оставляйте мое сообщение. Да, мои слова невежливы. Но когда пропагандируют фальшивые решения и доказательства, я вежливых слов не знаю.

    [Ответить]

  21. 21 zbl:

    Хочу заметить, что, если у кого-то в процессе изучения математики часто возникает жгучее желание воскликнуть “обман” и “прохиндеи”, то это желание имеет реальные корни, о чём могу на фактах говорить часами (но не люблю, ибо оно навевает грусть). Дело не в математике, конечно, а только в том, как нам её преподают.

    Давайте ка вспомним, что на самом деле было с бесконечными рядами в истории. В 18-м веке Эйлер понимал под рядами совсем не то, чему сейчас учат нас, и работал с ними совсем не так. Он осознавал, разумеется, что операции с рядами часто дают неверный результат. Но они часто бывают и верны. В таком случае нужно лишь быть осторожным — только и всего. Эйлер осторожным — был. Для математиков 18-го века вопрос, можно ли работать с рядами, не имел того же смысла, как для нас сейчас: ряды полезны на практике, значит — можно; часто дают неверные результаты — значит мы чего-то о них ещё не понимаем до конца. Эйлер и Бернулли тем и занимались, что исследовали случаи, когда ряды работают, а когда нет. Теории рядов тогда просто ещё не существовало. Но важно понимать, что случилось потом, в 19-м веке.

    А потом в начале 19-го века Коши нашёл ряд условий, которым должны удовлетворять ряды, чтобы операции с ними гарантированно давали верный результат. Но примечательно, что он пошёл куда дальше. Он, видимо, первым применил приём, который теперь стал классическим, а именно: если я чего-то не понимаю, то это неправильно. Он заявил, что ряды, которые не удовлетворяют найденным им условиям не имеют никакого смысла. Кстати говоря, я сильно сомневаюсь, что дело было именно так, что Коши именно такое заявление сделал. Сомневаюсь, потому что история математики сейчас излагается в литературе на том же уровне достоверности, что история ВКП(б) в Кратком Курсе. Так или иначе, современное определение ряда как предела частичных сумм восходит именно к Коши.

    Итак. История учит нас, что бесконечную сумму мы можем понимать двояко: либо это предел (по Коши), либо это просто символ, с которым можно производить некоторые операции (по Эйлеру). Но 2 и 5 — это тоже символы, а 2=2 — это определённое отношение с определённым смыслом. Вопрос в том, равен ли ряд точно 2 или приближённо? То есть, есть ли соответствующая разность? Ответить можно только вопросом на вопрос: а из каких аксиом будем исходить? Есть одна чрезвычайно искусственная (глупая, бестолковая) аксиома, из которой в конце концов следует, что разность равна нулю. Аксиома глупая потому, что она просто утверждает в сущности, что равна нулю и всё. Ничем в реальной жизни она не оправдана, как оправданы, например, аксиомы Евклида. И эта её глупость была известна уже Евдоксу, а может быть и ещё раньше него (Евдокс жил в начале 3-го века до н. э., то есть, почти за 200 лет до Архимеда).

    Принять глупую аксиому, значит по сути просто сказать: ряд точно равен двум (ряд как символ обозначает число два). Если отбросить глупую аксиому, то понимания ряда по Коши и по Эйлеру волшебным образом совпадут, но он не будет равен теперь точно двум: равенство приближённое — есть строго отличная от нуля разность.

    Так, принимая глупую аксиому, люди просто себя ограничивают: вещи, которые они не понимают, они просто объявляют не имеющими смысла. Если же не принимать глупой аксиомы, то придётся разобраться в тонких (и безумно красивых и интересных!) вещах, как например то, чему же равна тогда та разность-то? Нетрудно вывести, что ни одному конечному числу она равна быть не может…

    Вывод: Сергей К. до боли прав — равенство приближённое. Даже его выкладкам по типу S=s+x, приложив небольшое усилие, можно приписать совершенно точный смысл. При этом сумма будет по-прежнему равна пределу частичных сумм и отличатся от 2 она будет во всех смыслах несущественно…

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Кажется, я поняла, почему возникли разногласия. Исходный вопрос может быть понят по-разному.

    Лейб Александрович (да и я тоже) понимает это как \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{2^i}=2, а Вы и Сергей К. видите в левой части равенства сумму конечного числа слагаемых, т.е. \sum_{i=0}^{n}\frac{1}{2^i}=2, где n может быть и очень велико, но конечно.

    Вообще с расходящимися рядами работать можно, и это делали. По-моему, в астрономии, хотя могу и ошибаться.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Нет. В левой части стоит сумма бесконечно большого числа слагаемых. Число слагаемых этой суммы больше любого конечного числа, но меньше бесконечности (которая числом не является). Та глупая аксиома просто утверждает, что такого не может быть, потому что не может быть никогда, сумма бесконечно большого числа слагаемых бессмысленна и надо говорить о пределе частичных сумм. Так нас и учат. Это обман в точном смысле слова, потому что две с лишним тысячи лет до того, как стали так учить, понятие о сумме бесконечно большого числа слагаемых было известно, понято, сформулировано и чрезвычайно эффективно использовалось на практике, из которой оно в математику и пришло, разумеется. В 60-х годах 20-го века это понятие было специально для совсем упёртых сформулировано на современном формальном языке и с тех пор те, кто говорили о его какой-то незаконности заткнулись. Но в школах и ВУЗах нас продолжают обманывать, впаривая нам вместо матанализа его кастрированную версию, сформулированную на убогом языке, на котором матанализ без потери смысла сформулирован быть не может. В результате изложение простейших, яснейших, естественнейших понятий, становится ужасной абракадаброй задом-наперёд-совсем-наоборот, которую психически здоровый человек понять не может. Чем руководствуются те, кто нас обманывают, и как так получилось — это большой отдельный вопрос. Главное, что люди, произносящие слово “обман” совершенно правы в этом: обманывают те, кто, зная правду, говорит неправду.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Как уже где-то здесь было написано, ряд и сумма ряда обозначаются одинаково. Если понимать под этим обозначением ряд, то Вы правы. Но если считать, что это сумма ряда (собственно, ряд сходящийся, почему бы и нет?), то равенство точное. Для расходящихся рядов никто таких равенств и не пишет.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Речь идёт о сумме ряда. Расходящиеся ряды тут совсем не причём. Когда учащийся впервые слышит “сумма ряда”, он под этим понимает “сумма бесконечно большого числа слагаемых” и это его интуитивное понимание возникает от того, что понятие о бесконечно большом числе слагаемых имеет чёткий практический смысл. Но тут учащемуся говорят, что суммы бесконечно большого числа слагаемых не может быть, потому что не может быть никогда (соответствующая аксиома эквивалентна именно такому утверждению). И именно по этой причине учащийся должен под суммой ряда понимать предел частичных сумм. Если учащийся вопрошает: а с какого бодуна я вдруг должен понимать под суммой ряда предел а не сумму? то единственный вразумительный ответ, который могут на это дать учителя: потому что так надо (глупая аксиома утверждает именно это). Такое обучение — это обман в прямом смысле слова, потому что пришедшее в математику из непосредственной практики понятие о сумме бесконечно большого числа слагаемых известно по крайней мере с 4-го века до н. э., и учить ему перестали сравнительно недавно по осознанному недоразумению (вредительству?). С развитием средств коммуникации дурить людей становится всё сложнее, и я предрекаю весьма плачевные последствия такой вот манеры обучения матанализу.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вы выше написали: “Если же не принимать глупой аксиомы, то придётся разобраться в тонких (и безумно красивых и интересных!) вещах, как например то, чему же равна тогда та разность-то? Нетрудно вывести, что ни одному конечному числу она равна быть не может…”

    Собственно, ту самую разность между пределом и частичными суммами вполне себе рассматривают, определяя сумму ряда как предел последовательности частичных сумм. Это (при условии, что ряд сходится) бесконечно малая величина. Не вижу тут проблемы.

    А вот проблема есть в определении бесконечно большого числа (слагаемых в данном случае). Что это такое? Это не число, это последовательность, стремящаяся к бесконечности. Где тут интуитивная ясность? Опять приходим к пределу.

    Получается, что и равенство \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0 тоже приближенное. Ведь мы не можем рассматривать бесконечный член последовательности, а для любого члена с конечным номером равенство приближенное. Так? А еще бывают интегралы, которые по сути тоже суммы бесконечного числа слагаемых. Тогда можно вычислить площадь, скажем, треугольника, двумя способами: через интеграл и как произведение основания на высоту. Получим, что одно и то же число равно себе всего лишь приближенно?

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Меня учили так же, как и Вас, и я Ваши затруднения понимаю прекрасно. Вас заставили запомнить, что бесконечно малых констант не бывает, а только бесконечно малые переменные. Кстати говоря, теперь даже так не учат: понятие величины не имеет смысла, переменная — это только последовательность. Нас с Вами обманули, потому что бесконечно малые константы известны по крайней мере с 4-го века до н. э., давно сформулировано и объяснено что они такое есть и как с ними работать. От нас это всё скрыли, заставив запомнить, что их не бывает, потому что не может быть никогда. Старательно скрыли то, откуда они в столь ранней древности в математику попали. Литературы, в которой бы о них на пальцах объяснялось на современном уровне, просто нет. Вы меня по сути просите сейчас коротенько изложить основы анализа бесконечно малых и так, чтобы был ясно виден смысл понятия бесконечно малой константы и его естественность (бесконечно большое число — это обратное к бесконечно малому). Я умею это сделать. Уверяю, бесконечно малая константа — вещь предельно естественная, легко понятная и непосредственно из практики взятая. Но в пару страничек это всё сжать (а начать придётся с того, что такое число) так, чтобы было понятно студентам — довольно нетривиальная задача. Давайте ка, я это потихоньку напишу, Вам вышлю, мы обсудим, и… сюда выкладывать не станем. Deadline, скажем, где-нибудь до зимы установим, а то мне всегда патологически есть чем заняться.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Ваше предложение с удовольствием принимаю. У меня со временем тоже все очень непросто.

    [Ответить]

    Вячеслав Reply:

    Изложение темы в пару страничек, так чтобы было понятно студентам, будет очень интересно и полезно и студентам и преподавателям и всем интересующимся математикой, поэтому хотелось бы, чтобы оно было изложено для всех интересующихся.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Уже практически набил, что хотел, но это 13 страниц A4 только самого необходимого и только слов почти совсем без формул, а не две странички. Сложность ещё в том, что, делая доступным это знание, могу ненароком приблизить то, о чём пророчу. И не хочется, чтобы потом называли идеологом революции, когда как на самом деле контрреволюционер, ибо как раз хотел бы вооружить учителей, которые на передовой, и в случае чего именно по ним придётся первый удар.

    [Ответить]

    Вячеслав Reply:

    Полагаю, Вам не следует упрекать себя и волноваться за судьбы читателей сайта, которые ознакомятся с вашей трактовкой обсуждаемой темы, они не обязаны стать вашими единомышленниками.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Так и не придётся ни за что волноваться, если в принципе исключить опасную возможность. А вековая практика показывает, что больше всего достаётся тем, кто просто хотел сказать правду, ни на что не претендуя.

    [Ответить]

    Вячеслав Reply:

    Так всё же, Вы опубликуете ваше понимание темы для всех посетителей сайта?

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Это не ко мне, я не владелец сайта. Обещанный текст выслал на e.kalinina1969 у ехо ком. В тексте указано, что внимательно прочитавший может делать с ним, что сочтёт нужным. Сам я ничего выкладывать в Сеть на эту тему не буду, ибо пользы в том не вижу — один вред.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо! Текст все-таки выложила здесь: http://hijos.ru/diskussionnyj-klub/analiz-myortv-da-zdravstvuet-analiz/

    Аннотацию убрала (в связи с Вашей просьбой). Если скажете, что она нужна, верну.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Нормально. Только, русские кавычки на HTML так: « »

    [Ответить]

    zbl Reply:

    &laquo; &raquo;

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, исправила.

  22. 22 Лейб:

    Равенство
    .
    1+1/2+1/4+1/8+… = 2
    .
    означает, ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ бесконечной суммы, что предел
    соответствующих частичных сумм равен 2.
    .
    Так как это утверждение истинное, то данное равенство является ТОЧНЫМ.
    .

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Из какой системы аксиом следует это утверждение? Одна из используемых Вами аксиом звучит в эквивалентной формулировке так: это равенство точное потому мы так хотим. То, что бесконечная сумма равна пределу частичных сумм, как я писал выше, не противоречит тому, что равенство приближённое.

    [Ответить]

  23. 23 Лейб:

    Это – не аксиома, а ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
    Например, на сайте
    .
    http://ru.wikipedia.org/wiki/Сумма_ряда
    .
    и во многих авторитетных учебниках)это определение формулируется так:
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Так что согласиться с Вами не могу –
    равенство абсолютно ТОЧНОЕ (по общепринятому определению).

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Ещё раз. Мы говорим о символах, обозначающих числа. Вы используете аксиому, которая в эквивалентной формулировке звучит так: не существует суммы бесконечного числа слагаемых, поэтому символ, стоящий в левой части равенства может обозначать только предел частичных сумм. Что эта аксиома глупая и не нужная, знал уже Евдокс, и он умел без неё обходиться. Без этой глупой аксиомы в левой части равенства стоит сумма бесконечно большого числа слагаемых, конечная часть значения которой равна числу в правой части, которому равен и конечный предел частичных сумм. Но тогда и разность левой и правой частей не равна тождественно нулю. Поэтому равенство действительно приближённое.

    Сергей К. говорит практически то же самое, за исключением того, что он говорит так, как будто приравнивает постоянные величины переменным.

    Что написано в учебниках я знаю, потому, наблюдая, что люди уже начинают произносить вслух слово “обман” и говорю то, что говорю. Потому что люди правы: обман и есть чистой воды в прямом смысле слова, то есть, когда, зная правду, осознанно говорят неправду. Так получилось, что нам вместо естественных (то есть непосредственно понятных из практики) определений дают урезанные и вывернутые наизнанку задом-наперёд-совсем-наоборот, которые психически здоровый человек понять не может, а вынужден просто запоминать.

    Как так получилось и почему получилось могу рассказать, да лень. И не важно это, а важно, что с развитием средств коммуникации пудрить мозги становится всё сложнее, и голоса “перестаньте впаривать нам вместо математики какую-то фигню” будут со временем звучать всё громче, а потом сольются в бунт бессмысленный и беспощадный. Вот что важно.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение