Проблема Ферма

Уважаемые посетители!

Предлагаю вам доказательство первого случая теоремы Ферма, предложенное В.Ф. Корнеевым. Пожалуйста, те, кому это интересно, выскажите свое мнение.

Считается, что постановка задачи известна. Будем искать решение уравнения

x^n+y^n=z^n

в предположении, что n — простое число.

Перенесём y в правую часть и разложим её на множители:

x^n = z^n – y^n =(z-y)\left( z^{n-1}+yz^{n-2}+\ldots+y^{n-2}z+y^{n-1}\right) =

= (z-y)\left( \left( z^{n-1}-y^{n-1}\right)+\left( yz^{n-2}-y^{n-1}\right)+\ldots+\left( y^{n-2}z-y^{n-1}\right)+ny^{n-1}\right).

Это разложение на взаимно простые сомножители? Каждый член многочлена в квадратных скобках, за исключением последнего, делится на z-y. А последний? Он имеет общий множитель с z-y? y взаимно просто с z-y. Поэтому под вопросом остаётся взаимоотношение простого n и z-y, или, что (почти) то же, n и x.

В математике рассматриваются 2 случая: 1) xyz не делится на n и 2) одно из этих чисел делится. В первом случае круглая и квадратная скобки взаимно просты, а значит являются точными n-ми степенями.

Аналогично рассматриваются  y и z . Для случая 1) можно записать

z-y=a^n ,   z-x = b^n ,   x+y = c^n ,

x=ax_1,   y=by_1,   z=cz_1,

x_1^n  = z^{n-1} + yz^{n-2} +\ldots+y^{n-1} ,    y_1^n  = z^{n-1} + xz^{n-2} +\ldots+x^{n-1} ,

z_1^n  = x^{n-1} – yx^{n-2} +\ldots+y^{n-1} .

Эти формулы известны как формулы Абеля, хотя их знала ещё Жермен, а опубликованы они были впервые Лежандром (см М.М. Постников, Введение в теорию алгебраических чисел, 1982, стр. 24). Все числа x, y и z составные.

Числа x, y и z мы можем упорядочить:

x< y < z.

К этим неравенствам можно ещё добавить три:

abcn < x + y – z < x < y < z < x + y.

1) Докажем сначала последнее. Предположим, что z\ge   x + y. Тогда z^n = zz^{n-1}\ge    xz^{n-1}  + yz^{n-1} > xx^{n-1} + yy^{n-1} = x^n + y^n = z^n, что и требовалось доказать.

2) Для доказательства первого неравенства воспользуемся малой теоремой Ферма. Из x^n+y^n = z^n\Rightarrow    x + y\equiv   z \pmod{n}, откуда и вытекает требуемое неравенство:

x + y – z = x – a^n = y – b^n = c^n – z  \vdots abcn\mbox{\hskip2cm}                                     (1)

\displaystyle \frac{x_1-a^{n-1}}{bcn}=\frac{y_1-b^{n-1}}{acn}=\frac{c^{n-1}-z_1}{nab}.

Неравенство abcn < x говорит о том, на сколько большими должны быть числа, удовлетворяющие теореме Ферма. Ещё в 1856 г. Грюнерт показал более слабое неравенство n< x (М.М. Постников, там же, стр. 13)

x_1\equiv y_1\equiv z_1\equiv 1\pmod{n}.

Действительно, например из  x_1-a^{n-1}\vdots n \Rightarrow x_1\equiv a^{n-1}\equiv 1\pmod{n}.

Поэтому  x\equiv    a,  y\equiv   b,  z\equiv   c \pmod{n}.

Докажем теперь, что

a^n                                                        + b^n\equiv                 c^n \pmod{n^2},

а не только по \pmod{n}.

x = a + nt_1                                                       ,   y = b + nt_2        ,   z = c + nt_3,

x^n         + y^n        – z^n\vdots n^2,

(a+nt_1)^n+(b+nt_2)^n-(c+nt_3)^n\vdots n^2.

Раскрывая скобки и отбрасывая все члены, содержащие n^2, получим

a^n         + b^n        – c^n\vdots n^2                ,

что и требовалось доказать.

Соотношение (1) можно усилить, заменив n на n^2. Но и n^2 можно аналогичными рассуждениями заменить на n^3  и т.д., что и докажет теорему Ферма. Случай 1) доказан?

Комментариев: 78

  1. 1 Корнеев В.Ф.:

    В строке (1) в начале пропущен “-” между у и z. После “Случай 1) доказан?” дальше ничего не надо. Я собирался дальше переписывать из тетрадки, но стукнула мысль, и я переписанное отодвинул. Оно не нужно. Не нужны и неравенства. Если их откинуть, то всё уместится на страничку! Но пусть будет.
    Целую.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Исправила :-)

    [Ответить]

  2. 2 Корнеев В.Ф.:

    Елки-палки, насколько это ж его Величество Случай сделал меня неудачником.
    1)Когда я был директором шахматного клуба, собралось правление и постановило 3 месяца мне работать бесплатно. Как будто у меня нет сына. Естественно, что я уволился.
    2) Решил написать книгу по шахматам. Сделал объявление в своем блоге. Но… никто не клюёт.
    3) И вот оказывается мог 40 лет назад доказать теорему Ферма. Не хватало одного предложения.
    Сейчас я инвалид, и пенсии не хватает даже на лекарства.

    [Ответить]

  3. 3 Корнеев В.Ф.:

    У Сорокина математика отражается не адекватно, не понятно. Что это за s-теорема и проч?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Честно говоря, я не разбиралась. Сорокин пишет на многих математических форумах. У него находят ошибки, он их исправляет, это продолжается долго, в конце концов ему перестают отвечать, и он пишет сам. Сам находит ошибки, потом сам их исправляет. Вникать во все это у меня нет никакого желания…

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    У меня тоже.

    [Ответить]

  4. 4 Корнеев В.Ф.:

    Перед (1) меня в Дрогобыче спросили (ясно что). Мой ответ в файлике

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    Нет, здесь t_Ferma.doc

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    О, Господи, вот здесь http://korneev.blox.ua/resource/t_Ferma.doc

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Сдается мне, на их профессионализм Вам не стоит рассчитывать…

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    Они мне говорили, что доказывать надо каждый очевидный шаг. Но у меня всё так понятно Вот тогда я и обратился к декану мехмата киевского университета Городному. Его контактный адрес был в Гугле. Но…
    Есть ещё идея, куда обратиться. Наконец-то.

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    Нет, его величество Случай продолжает издеваться надо мной,продолжает избирать меня фатальным неудачником: Послал материал на сайт, где принимают задачи на решение (я о нём уже писал, когда речь шла о доминошках), письмо отправилось, но по несуществующему адресу. Оказывается, сайт перестал существовать!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Жизнь вообще штука несправедливая… хотя… все зависит от системы отсчета…

    [Ответить]

  5. 5 Корнеев В.Ф.:

    Сегодня наконец признали в дрогобычском пед университете моё доказательство. Вообще-то этим занимался только один человек. Остальные не ловили мышей. И сейчас не обошлось без конфуза. Накануне получил от него следующее письмо:

    Дорогий Друже!

    Дякую за вказівку. Читання вашого доведення приносить насолоду. Далі я не зрозумів 1)чому x^n+y^n-z^n ділиться на n^2;2) припустимо, що доведено подільність a^n+b^n-c^n на n^k для кожного натурального k тоді чому звідси випливає теорема Ферма.
    З повагою Богдан Винницький

    Вот только здесь математика не отражается адекватно.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Теперь отражается? :-)

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    О да, как Вы это сделали?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вот тут посмотрите: http://hijos.ru/nabor-formul-v-latex/

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    2)Я этим обязательно буду пользоваться. Это просто замечательно. Но. 1)Вы правильно пришли к адекватному не своему, а чужому. Как?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Так я же все-таки немного разбираюсь в математике :-) Ну или мне так кажется ;-) И я просматривала Ваше доказательство, не очень внимательно, но все-таки…

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    Значит это (гениальная) догадка, а не гарантия.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вообще-то гарантия, поскольку и текст по-украински я поняла тоже :-)

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    А где на клавиатуре знак степени? Хотел сделать замечание по поводу 25-й строки, но знака степени не нашёл. Эта строка должна заканчиваться так:
    = z в степени n, что и требовалось доказать.
    Есть без степени.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Степень: shift+6 в латинской раскладке.

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    ^ У меня клавиатура очень грязная сейчас. Не мудрено, что не нашёл.
    Так почему Вы не исправили?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Исправила теперь.

    [Ответить]

  6. 6 Корнеев В.Ф.:

    Отправил доказательство в “Квант”. Куда ещё послать?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Можете попробовать в журналы “Математика в школе”, “Потенциал”.

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    О “Потенциале” я впервые слышу.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Посмотрите здесь: http://potential.org.ru
    Журнал довольно новый, тесно связан с МФТИ.

    [Ответить]

  7. 7 Корнеев В.Ф.:

    Послал доказательство и в “Потенциал”. Тоже нет ответа.Там, наверное, удивлены, что до такого простого доказательства не додумались ни Эйлер, ни Гаусс, ни…всё человечество после Ферма.

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    Наконец получил из “Потенциала”:
    Здравствуйте, Владимир.
    Материал передала редакторам на рассмотрение.
    Доказал первый случай теоремы Ферма. Доказательство очень простое. Удивительно, что его не нашли ни Эйлер ни Гаусс…Доказательство прошло проверку в Дрогобычском пед университете и на сайте “Математика, которая мне нравится”. Кроме того посылал доказательство декану мехмата Киевского университета проф. Городному и редакции журнала “Квант”, но ответа не было.. Откройте файл и посмотрите.
    С уважением, Корнеев.

    С уважением,
    ответственный секретарь
    Наталия Шалару

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Боюсь, Вы несколько преувеличили. Вряд ли кто-то здесь досконально проверял Ваше доказательство… Повторяюсь, но именно потому, что это теорема Ферма…

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    Вы может и не проверяли, но Дрогобыч проверил.

    [Ответить]

  8. 8 Корнеев В.Ф.:

    Опять вступил в контакт с “Потенциалом”:

    Уважаемая Наталия Шалару
    Так каков же Ваш вывод по поводу моего доказательства первого случая теоремы Ферма?
    С уважением, Корнеев.

    Здравствуйте, Владимир.
    К сожалению, Ваша статья не принята к публикации.

    И прекрасно. Зато нет ошибки!


    С уважением,
    ответственный секретарь
    Наталия Шалару

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    “И прекрасно. Зато нет ошибки!” это мои слова. Они влезли преждевременно

    [Ответить]

  9. 9 Корнеев В.Ф.:

    Есть ещё ошибка. Когда раскладывали z^n – y^n, то во второй скобке первое и последнее слагаемые одинаковы. Это не правильно.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, Вы правы. Исправила.

    [Ответить]

  10. 10 Корнеев В.Ф.:

    Следствие надо удалить. Тр-к не тупоугольный. Это моя ошибка.

    [Ответить]

  11. 11 Корнеев В.Ф.:

    Второй случай почти то же, что и первый. Ну, делится одно из слагаемых.Ну и что? Малая теорема Ферма верна и здесь. Да пусть доказывают. Легче и меня зацепят.

    [Ответить]

  12. 12 Корнеев В.Ф.:

    В четверг отправил письма по эл почте в АНУ и НАН. Ответа тоже нет.

    [Ответить]

  13. 13 Корнеев В.Ф.:

    Ура, ура! Сегодня пришло известие от “Потенциала”, что собираются статью печатать. А вот от АНУ и НАН ответа нет. Есть на чем задуматься (прав ли Табаков).

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Искренне за Вас рада! :-)

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    Почему следствие не ликвидируете? Я уже думал, а не случилось ли с Вами чего.Искренне за Вас рад!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Ликвидировала :-) Работы очень много…

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    Сэнк ю.

    [Ответить]

  14. 14 Корнеев В.Ф.:

    Ещё ошибка. Сразу после (1) есть равенства, в которых а, в и с не в степени п, а в степени п-1.
    Ну почему Вы такая невнимательная?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Исправила. Не знаю, почему, от этого сильно страдаю :-)

    [Ответить]

  15. 15 Корнеев В.Ф.:

    Ура-а-а-а!!! Сегодня мне выслали бандероль. За неделю дойдёт. Лизочка, целую за доверие.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    “Грузите апельсины бочках братья Карамазовы” :-) Ничего не поняла…

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    Из “Потенциала” сообщили, что выслали мне бандеролью ж-л с моей статьей “Теорема Ферма”. Итак, первый случай доказан правильно. Смотрю в Гугл, а там и Рамануджан пытался доказать. Нет, 40 лет назад я чего-то стоил.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Я за Вас очень рада! :-)

    [Ответить]

  16. 16 Корнеев В.Ф.:

    А кто мне порекомендовал “Потенционал”? Целую, целую и ещё раз целую того, кто порекомендовал. И не только в щёчку, а и в шею, и … В общем, везде. Пусть Галкин говорит, что ему очень хочется срифмовать слово “везде”. Но бандероли пока нет.
    ЕА, ну как же Вы столько ошибок наделали? Нельзя было просто скопировать?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Гыыы ;-) Галкина уже давно не смотрю, да и не только его :-) Просто скопировать нельзя было, к сожалению. У Вас файл был Word’овский, а у меня тут TeX…

    [Ответить]

  17. 17 Геннадий:

    Понравилось оригинальное доказательство ВТФ. Прекрасно, свежо и блестяще. Выполнено с неким шармом, скажем так, – с философским налетом.

    Буриданов осел умер с голоду, поскольку не смог выбрать ни одну из равноудаленных охапок сена. Аналогично, когда смотришь на подобное доказательство, не знаешь с какой стороны подступиться и за какую ниточку клубка потянуть, поскольку этих ниточек и не сосчитать. Находишь явный прокол, нестыковку, только приступишь к анализу – ан нет, этот прокол следствие другого не менее удивительного, далее та же картина. И спустя какое-то время, вытерев пот со лба, убеждаешься в своей несостоятельности, и к стыду приходится отступать, признавая тем самым правоту автора-ферматиста.

    Поражает юношеский задор, несмотря на преклонный возраст автора. Помню, был студентом очником, а друг работал и учился на заочном. Дали ему домашнее задание по математике найти квадратный корень, и он с таким же задором и упорством перекопал свой огород. Потом жаловался, разные корни попадались, но не квадратные. Друг не выполнил тогда домашнее задание, но что интересно, сделал полезное дело – вскопал огород.

    Как тут не вспомнить великого Гильберта, когда его спросили студенты, какая на его взгляд сейчас самая насущная проблема в математике. Он ответил: «Поймать муху на обратной стороне Луны». И взирая на недоуменных учеников, добавил: пока будем искать муху, много сделаем полезного, многое откроем попутно. Собственно этим и известна многовековая история доказательства загадочной теоремы Ферма, одна теория вычетов чего стоит.

    В этом доказательстве муху не нашел, посему крепко жму руку автору, желаю дальнейших успехов, а ЕА осмелюсь поцеловать ручку за удивительный блог.

    PS. В прошлом году журнал Физ-мат
    опубликовал статью Соловьева “О показателе степени некоторых числовых равенств”, где автор полагает, что теорема Ферма лишь следствие его теоремы. Посмотреть бы тамошних мух, но редакция хочет приличные наличные.

    [Ответить]

    Владимир Reply:

    Вы знаете, уже больше года существует это доказательство. Но признано, и то под грифом “найти ошибку в доказательстве”, только здесь. Я ужасный невезун. Олубликовал это в своём блоге, откуда и перепечатала Елизавета Александровна, но он временно закрыт. Посылал его декану киевского мехмата университета Городному, в АНУ и НАН, но ни откуда не получил сообщения. Посылал в “Потенциал”, но там допустили путаницу и опубликовали под моим именем совсем другое. Публиковал сообщение в википедии о данной странице, но там администрация ликвидировала его. Даже Ел. Ал. под давлением моего невезения, если просмотрите все находящиеся здесь сообщения, наделала кучу просто детских ошибок.
    Только не предлагайте ещё куда-нибудь послать. Всё ужасно надоело. Это ведь не все адреса, куда я посылал.
    Ну и что что Эндрю Уайлс всё доказал, а не половину теоремы, как я. Его доказательство понимают только несколько человек. Оно огромное, занимает более 200 страниц, да ещё со ссылкой на японскую теорему. А моё? Вот это то и интересно. Даже Вы его поняли. А его не смогли отыскать все великие математики. Ни Абель, ни Гаусс, ни Эйлер, ни Рамануджан… Это меня волнует. Может всё таки есть какая-то ошибка в нём? Какая?

    [Ответить]

  18. 18 Корнеев В.Ф.:

    Наконец получил “Потенциал”. Увыыыыы…. Там можно увидеть только мою фотку. А под моим именем напечатана чья-то другая статья.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да уж :-( Что же они так… Неожиданно (

    [Ответить]

  19. 19 Владимир:

    Ещё одна ошибка. В строке через одну после упоминания Грюнерта. Трудно читать такие статьи. Тем более…

    [Ответить]

  20. 20 Владимир:

    Должно быть в первом случае а в степени п-1. Дальше уже правильно.

    [Ответить]

  21. 21 Владимир:

    Спасибо. Интересно, а вот за эту ниточку Геннадий не тянул. Или у него тоже не “повернулся язык сказать”, что здесь…

    [Ответить]

  22. 22 Владимир:

    Елизавета Александровна, вот теперь желательно скопировать всё это и опять напечатать под другим названием: “Теорема Ферма”. Я вот ищу в поисковиках, и всё “ТФ”. А под “ПФ” мало, причём начинается с нас. Нет, старая публикация тоже хороша, пусть будет. Но не помешала бы новая.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Попробую сделать быстрее. Времени совсем нет, извините :(

    [Ответить]

  23. 23 Владимир:

    А мой блог МАТЕМАТИКА, как и весь сайт давно уже временно заблокирован.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Почему?

    [Ответить]

    Владимир Reply:

    Года полтора назад объявили, что сайт будет совсем закрыт. Но потом нашлись новые хозяева. А сейчас это новые хозяева. При них я не мог вспомнить свой старый логин “Королевского гамбита”. Они говорили, что нужно подождать, передача сайта не простая процедура. А вот теперь… Теперь и Вы не сможете посмотреть там ничего. Пишут, что это временно.

    [Ответить]

  24. 24 Владимир:

    Сегодня год, как я доказал первый случай ТФ. А ПФ это проблема ферм.

    [Ответить]

  25. 25 Владимир:

    Елизавета Александровна. А первая строка тоже не верна. Я ведь доказал не всю теорему Ферма, а только её первый случай. Т. е. половину теоремы.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, исправила!

    [Ответить]

  26. 26 Владимир:

    Ну Ел Ал. Когда же будет ТФ? Я сегодня могу в тюрму подзалететь. Хочу убить сволоту газовщика, который будет отрезать мне газ.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Не убивайте, не нужно. ТФ по возможности сделаю, сейчас у меня очень мало свободного времени (

    [Ответить]

    Владимир Reply:

    Позволить отрезать мне газ? Да у нас тысячи в начале девяностых из-за этого наложили на себя руки. И ни один не забрал за собой сволоту. Но здесь не место об этом говорить. Пишите мне на мой эмейл korneev_v@ukr.net Там поговорим.

    [Ответить]

  27. 27 Владимир:

    Только что сделал запись об этой странице в википедии. Елизавета Александровна, Ваш авторитет ещё подрос. Но поймите, что я невезун. Вот Вы сделали эту запись с моего блога и хорошо сделали, потому что он сейчас временно закрыт.

    [Ответить]

  28. 28 Владимир:

    Про Грюнерта желательно добавить ещё: “Но он показал это сразу для обоих случаев”

    [Ответить]

  29. 29 Сергей Дениченко:

    “Соотношение (1) можно усилить, заменив n на n^2. Но и n^2 можно аналогичными рассуждениями заменить на n^3 и т.д., что и докажет теорему Ферма. Случай 1) доказан?” – автор.
    Увидел набор формул, доказательства не увидел.
    Покажите доказательство на пальцах. Почему мы любим жонглировать алгебраическими символами, но не любим употреблять числа?

    [Ответить]

    Владимир Reply:

    Жонглирование формулами тоже доказательство. Но у меня не всё обоснованно. Я это написал в своём блоге для себя. Но потом подумал, что это подойдёт и для хорошо подготовленного математика (например, Геннадия) и предложил Елизавете Александровне. Да, это не для школьников. Нужно знать ещё малую теорему Ферма, которая изучается в вузе. Но она довольно простая. Есть ещё много моментов, которые я опустил. Например, формулы Абеля для z. Здесь при аналогичном разложении на множители нужно х+у заменить, например, на х-(-у). Можно всё сделать и на пальцах, но тогда объём значительно увеличится. Хороший математик поймёт как аналогично в доказательстве перейти от n к n^2, от n^2 к n^3 и тд,и почему отсюда последует первый случай.

    [Ответить]

  30. 30 Владимир:

    Сегодня получил доказательство и для второго случая. Оно такое же. Раньше думал, что не осилю, потому что мозги стали деревянными.

    [Ответить]

  31. 31 Владимир:

    Нашёл ошибку в доказательстве. Не получается аналогичного перехода от $n^2$ к $n^3$ . Но Вы не уничтожайте страницу. Старые мозги.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение