7. Один или два корня

Это не тест, не проверка Ваших знаний. Это приглашение к дискуссии. Выберите один из возможных вариантов и постарайтесь продолжить его, обосновывая Вашу точку зрения.

Сколько корней имеет уравнение x^x=x?

• Один, так как . . .

• Два, так как . . .

• Я считаю, что . . .

Комментариев: 16

  1. 1 Игорь:

    Я считаю, что один, т.к. \ln(x^x)=\ln(x), x\ln x=\ln x, \ln x(x-1)=0 => x=1. Конечно, можно и графически.

    [Ответить]

  2. 2 Лейб:

    Уважаемый Игорь !

    А как относиться к следующей проверке для х = -1 ?

    (-1)^(-1) = 1/(-1)^1 = 1/(-1) = -1

    [Ответить]

  3. 3 Сергей:

    Уважаемый Лейб Александрович!
    Решение уравнения тривиальное: x^x=x^1,откуда x=1.
    Но умные ученики не обойдут вопрос:нет ли других корней? А поскольку они(ученики)умные,то исследуют и построят графики функций: y=x и y=x^x=e^(xlnx)(продуктивнее).И убедятся,что корень один,x=1.Ученики и проверку самостоятельно не сделают для x=-1,потому как,x>0,по определению. А им и задание(для любителей):сколько корней имеет уравнение a^x=x?

    [Ответить]

    Сергей К Reply:

    [Ответить]

  4. 4 Сергей К:

    Это нестандартная задача.
    Особенность ее в том, что здесь действительно два корня, но второй корень алгебраически вывести невозможно.

    Функции, которые подробно изучают — это a^x,x^a, но только вот не такие, как x^x.

    Можно привести еще парадоксальный пример:
    x^x=x\cdot0.2^6
    Решение: –5

    Всё дело в областях определения функций, с непрерывными и целочисленными значениями.
    Для таких функций, как a^x и x^a, все целочисленные значения входят в непрерывную область определения той же самой функции. Поэтому найдя решение для непрерывной области, вы найдете все решения и для целочисленной (всё что есть).

    А вот для таких функций, как x^x, всё совсем не так.
    Целочисленная ООФ гораздо шире непрерывной области определения этой же функции.
    Алгебраический поиск решения ограничен — непрерывной функцией с непрерывной областью ее определения, т.е. только для положительных значений x. Поэтому отрицательные целочисленные корни таким методом решения — недоступны.

    [Ответить]

  5. 5 zbl:

    x=re^{i(\phi+2\pi n)}, {\rm Ln}\, x=\ln x + i2\pi n x(\ln x + i2\pi n)=\ln x + i2\pi m, (x-1)\ln x = 2\pi i(xn + m), x=-1=e^{i\pi}, n=0, m=-1: -2 i\pi=-2\pi i.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    * Ln(x)=\ln x + i2\pi n

    [Ответить]

  6. 6 Сергей К:

    В принципе, хорошая идея использовать комплексные числа.
    Полагаю, в этом случае шансы есть — вычислить отрицательные значения корней, но…

    То есть результат, например, может быть через вычисление угловой величины, типа «\phi =…». А во-вторых, должен появиться дополнительный корень (т.е. количество корней увеличивается), что обеспечивается делением угловой величины. Например, была единица, и было «2\pi n », разделили напополам: стало «\pi n », т.е. добавилось второе значение минус один. Ничего подобного в представленном примере нет.

    Я попробовал представленный подход, чтобы вычислить угол, а в итоге получилось, что
    \phi =-2\pi n . В общем, оно того не стоило, поскольку это та же самая единица, получаемая и без использования комплексных чисел.

    Кроме того, есть правило, что одна и та же величина в уравнении (т.е. переменная x) выражает одно и то же значение. И если для него задано «2\pi n », то никакого «m » в нем быть уже не может. Везде должно стоять «2\pi n », и только оно. Так что в примере допущена ошибка в манипуляциях с «m»и «n».

    —————

    Проблема в том, что корень ищут в области положительных значений, а он отрицательный.
    Например, если уж логарифм задан только на множестве положительных значений, то естественно, что попытки вычислить что-то из его корней дает только положительные значения.
    То есть, решая логарифмированием, получается такая ситуация:
    \ln x^x при  x^x < 0

    Вот и всё, отрицательные логарифмы невычисляемы, поскольку для них нет значений.

    =================

    Думаю, что хотя использование комплексных чисел дает шансы найти отрицательные корни, но вот применение формулы  e^{i\phi} , вообще не дает никаких шансов.
    Она ничего не меняет ни в структуре решения, ни в вычислении угловой величины (в смысле расширения области действия формул и получаемых результатов). Потому что хотя она выглядит как возведение в степень, но по сути никакого возведения здесь нет — это пустышка. Для решения нужно реальное возведение в степень, а не альтернативная запись синусов и косинусов комплексных чисел, что она собственно и выражает.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    e^i(\phi + 2\pi n) и e^i(\phi + 2\pi m) — это разные x? Комплексный логарифм — это многозначная функция. Дело только в этом: Ln(x)=\ln x + 2\pi n i.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    * e^{i(\phi + 2\pi n)} и e^{i(\phi + 2\pi m)}

    [Ответить]

  7. 7 Сергей К:

    Пожалуй, тяжелый случай, чтобы что-то объяснять.
    Всё-таки ожидаешь некой логики действий в решении. А логика здесь такова.
    Вот что дает этот метод логарифмирования? — через него проходят даже те значения, которые иным способом невычисляемы, потому что логарифмы от отрицательных значений невычисляемы. И если здесь решение есть, то оно происходит именно от операции логарифмирования, независимо от расстановки индексов угловой величины комплексных чисел. Т.е. этот метод (если он действительно срабатывает) должен сработать даже тогда когда искомая величина x в одном экземпляре, и для манипуляций с индексами «m» и «n» нет места.
    .
    ——

    В принципе, можно сказать и так.
    Одна и та же точка в пространстве, одно и то же значение, а вот иксы разные.
    .
    Кстати, за примером даже «далеко ходить не надо». Возьмем название темы дискуссии, и получим похожее на анекдот:
    — Сколько корней? Один или два?
    — Да не-ет. Здесь не два корня…
    … Здесь три корня. Потому что здесь двое из корней имеют одно и то же значение единица. Т.е. значение одно, а иксы разные.
    .
    Попробуйте сами догадаться, почему так. И что делают, чтобы их различать (разные x).

    [Ответить]

    zbl Reply:

    \ln -1 = i\pi, Ln(-1)= i(\pi + 2\pi n).

    [Ответить]

    Сергей К Reply:

    В том-то и дело, что если подставить конкретное число, то отрицательный логарифм проходит, а нужно, чтобы всё это проходило при подстановке переменной величины.
    А для переменной — корень уже есть, и он положительный (именно через логарифм корень уже есть). Попросту — место уже занято; необходимо дополнительное место для отрицательного значения, то есть дополнительный корень. Их количество должно увеличиться.
    Иначе, если отрицательное значение проходит, а количество корней не увеличивается, то возникает коллизия типа «1 = –1», отрицательное равно положительному. Это неправильно; это означает, что в операциях с комплексными числами где-то возникла ошибка.

    [Ответить]

  8. 8 Сергей К:

    Здесь есть решение, если брать \ln u, при u = x^2.
    Чтобы не возникло путаницы со знаками, которая может быть при взаимных операциях возведения в квадрат и квадратного корня, используем такое равенство:
    x = \frac{x}{|x|} |\sqrt{x^2}|
    А поскольку логарифм, фактически, вычисляет как раз то, что по модулю, то соответствующий знак модуля можно опустить.
    Исходно возьмем такую форму выражения:
    x^{x-1}=1
    В принципе, суть решения такова:
    \ln u^{\frac{1}{2}{(x-1)}}= \ln 1
    \frac{1}{2}(x-1) \ln u = 0
    Отсюда выводим выражения для отдельных корней
    x_1-1 = 0
     \ln u = 0
    И в итоге получаем три корня
    x_1 = 1
     x_{2,3} = \pm 1
    .
    .
    Для полноты нужно еще учитывать операции со знаками (типа икс, деленное на его модуль). Это создает ограничивающее условие.
    В целом решение таково.
    Для уравнения x^{x-1} = a
    Решение через логарифмирование:
    (x-1)\cdot \ln {x^2}= \ln {a^2} при (x/|x|)^{x-1} = a/|a|)
    .

    [Ответить]

    Сергей К Reply:

    (x-1)\cdot \ln {x^2}= \ln {a^2} при (x/|x|)^{x-1} = a/|a|)

    [Ответить]

  9. 9 Сергей К:

    Для уравнения x^{x-1} = a
    Решение:

    (x-1)\cdot \ln {x^2}= \ln {a^2} при (x/|x|)^{x-1} = a/|a|
    .
    Оно дает решение даже для отрицательных значений x.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение