2. Квадратные корни

Это не тест, не проверка Ваших знаний. Это приглашение к дискуссии. Выберите один из возможных вариантов и постарайтесь продолжить его, обосновывая Вашу точку зрения.

Верно ли, что \sqrt{9}=\pm3?

• Да, верно, так как . . .

• Нет, не верно, так как . . .

• Я считаю, что . . .

Комментариев: 32

  1. 1 абвгдежзик:

    Конечно, нет. Радикал всегда обозначает арифметический квадратный корень. И это есть в почти любом школьном учебнике математики.

    [Ответить]

  2. 2 Лейб:

    Вы пишете, что:
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Радикал всегда обозначает арифметический квадратный корень. И это есть в почти любом школьном учебнике математики.
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Это ПОЧТИ ВСЕГДА так.
    .
    Но при этом возникает два вопроса.
    ** 1. Почему принимается именно арифметический квадратный корень?
    .
    ** 2. А теперь причина, по которой я написал, что
    “Это почти всегда так”.
    .
    Почему при изучении комплексных чисел не вводят нечто подобное арифметическому квадратному корню?
    Там корень из (-1) равен i и -i.
    И записывается это при помощи обычного радикала.
    .
    Кстати, там же корень из числа 9, записанный при помощи радикала, равен и 3, и -3.
    И это правильно – в области комплексных чисел.
    А среди действительных чисел это не так..
    Вот в чем, по-моему, проблема.

    [Ответить]

  3. 3 Елизавета Александровна Калинина:

    Еще немного дополню то, что написал Лейб Александрович. Кроме корней из комплексных чисел, которые не во всех школах проходят, радикалом обозначаются и корни нечетной степени из отрицательных чисел, а уж это проходят все. Так, \sqrt[3]{-27}=-3. Так что то, что радикал ВСЕГДА обозначает арифметический корень, не соответствует действительности. Путаница идет от неоднозначности обозначения. И именно потому, что в школьных учебниках (любых) нигде не уточняется, о каком корне (арифметическом или нет) в данном месте говорится.

    [Ответить]

  4. 4 абвгдежзик:

    Лично я рассматриваю проблему исключительно с позиций удобства. Если под радикалом положительное выражение – имеется в виду положительный корень из этого выражения. Если отрицательное – то же самое, только домноженное на i. Таким образом всегда можно сказать о каком конкретно корне идет речь. Именно это, как мне кажется, и имеют в виду авторы школьных учебников. Что касается комплексных чисел – не помню, чтобы где-либо видел при помощи РАДИКАЛА, что корень из -1 равен i и -i, хотя все может быть. Но лично мне это кажется сомнительным нововведением, поскольку когда корень трактуется так, как я написал выше, то можно написать о двух корнях, используя ‘плюс-минус’. Если трактовать иначе, придется явно указывать длинно, долго и муторно, какой из корней имеется в виду, если вдруг захочется сказать о каком-то конкретном корне.

    [Ответить]

  5. 5 абвгдежзик:

    То, что выше – о квадратном корне. Кубический корень арифметический по определению (или мы используем разные определения?) Не вижу никакой путаницы. По-моему, наоборот, если не уточнять, что конкретно имелось в виду, то путаница возникнет. В школьном учебнике написано, что далее везде будем пользоваться арифметическим квадратным корнем.

    [Ответить]

  6. 6 Елизавета Александровна Калинина:

    Для арифметического корня то, что стоит под корнем, и то, что получается при извлечении корня, должно быть неотрицательно. Вот, например, посмотрите здесь: http://www.pm298.ru/reshenie/algebr4.php Меня в школе тоже именно так учили.

    Да, то, что Вы называете “сомнительным нововведением”, а именно обозначение \sqrt[n]{a+bi} (и тут не 2 корня, а n штук!), вообще говоря, является стандартным и общепринятым уже много-много лет (во всяком случае, больше 25 лет, это точно). ;)

    [Ответить]

  7. 7 абвгдежзик:

    По пункту 6:
    если исходить из того, как учили меня, то определение по ссылке верное, но неполное. Дополняется третьим предложением: корень из отрицательного числа при нечетных n – арифметический, т.е. …
    Из того, что обозначение где-то “стандартно и общепринято”, не значит, что лично для меня оно не является “сомнительным нововведением”. Все книги, которые я читал, придерживались вышеописанной идеологии. А путаницей, на мой взгляд, является все другое.

    [Ответить]

  8. 8 Елизавета Александровна Калинина:

    Меня очень интересуют ссылки на книги, о которых Вы пишете. Сначала об арифметическом квадратном корне. Я не видела ни одной книги, где арифметическим называется корень из отрицательного числа. Пожалуйста, пруфлинк. Приведу те книги, где арифметический квадратный корень определяется как неотрицательный корень из неотрицательного числа: С.И. Туманов “Элементарная алгебра”, Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. “Алгебра. 9 класс. Учебник”. Первый старый, второй современный. Ничего не изменилось.

    Теперь о корнях из комплексных чисел. Д.К. Фаддев “Лекции по алгебре”, задачник по алгебре и началам анализа (школьный) Башмакова, Беккера, Гольхового, Ионина. Опять же ни разу не видела книгу, где иначе. Может, Вы назовете те книги, которые Вы читали, и где все по-другому?

    Вдогонку :) Скажите, пожалуйста, какой из пяти корней \displaystyle\sqrt[5]{1+\frac{1}{2}i} согласно Вашему определению будет “арифметическим”? Ни один из них не является ни чисто мнимым, ни вещественным. По какому признаку Вы выделите этот корень?

    [Ответить]

  9. 9 абвгдежзик:

    По пункту 8:
    это что за негатив? Меня так учили. Почему Вы мне не верите и я должен перед Вами оправдываться? Принципиально не буду приводить ссылок на свой конспект и книги. Хотя, например, более авторитетная для меня (думаю, для многих), чем Ваши источники, Википедия совсем иначе определяет арифметический корень, чем Вы и я: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8C. Не сомневаюсь, что при небольшом желании можно найти много авторитетных источников, которые определяют арифметический квадратный корень как угодно. В том числе, как и меня учили. Ищите.
    А из тех 5 корней арифметическим, согласно моему определению, не является никакой. В арифметическом корне под корнем всегда вещественное число. Для четных степеней – неотрицательное. Читайте внимательно, что я написал раньше.

    [Ответить]

  10. 10 Елизавета Александровна Калинина:

    Уважаемый абвгдежзик! Вы меня удивляете. Прошу меня извинить, если написанное мною восприниматеся как негатив. Просто я такого в самом деле нигде не встречала. Я прошу не оправданий, а аргументов. Ну и, собственно, мне действительно просто интересно. О Википедии могу сказать только, что ошибок там полно. Так что для меня она (в отличие от Вас) сильно авторитетной не является, увы. Искать ничего не буду. Это, по моим понятиям, должен делать человек, который факты приводит.

    Более того, на страничке из Википедии, куда ведет Ваша ссылка, написано следующее: “Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 30 марта 2012; проверки требует 1 правка.” ;) Советую также почитать обсуждение, где явно указывается, что за определение арифметического корня выдается определение корня АЛГЕБРАИЧЕСКОГО.

    Я внимательно читаю то, что Вы пишете.

    “Радикал всегда обозначает арифметический квадратный корень.”

    “Если под радикалом положительное выражение – имеется в виду положительный корень из этого выражения. Если отрицательное – то же самое, только домноженное на i.”

    Это немного раньше.

    “В арифметическом корне под корнем всегда вещественное число. Для четных степеней – неотрицательное.”

    Это сейчас. Так что мы все-таки должны считать арифметическим корнем по Вашему определению?

    Вот тут: http://mathworld.wolfram.com/PrincipalSquareRoot.html (а это для меня несравненно более авторитетный источник, чем Википедия) написана Ваша последняя точка зрения. Да, то, что стоит под корнем, должно быть неотрицательно.

    Вот еще: http://en.wikipedia.org/wiki/Nth_root И опять principal root неотрицательный по определению. Так что кубические корни из отрицательных чисел арифметическими не являются.

    Проблема в том, на что обращал внимание Лейб Александрович. Если все пользуются одним определением, а Вы – другим, то может оказаться, что Вас неправильно поймут или Вы неправильно кого-то поймете. Главное, чтобы так не вышло где-то, где это скажется на чем-то важном. А так для себя вполне можно вводить любые определения, никто не против.

    Ну вот, именно поэтому, мне кажется, важно разобраться. Удачи Вам! :)

    [Ответить]

  11. 11 абвгдежзик:

    Меня немного недопоняли. Или я немного неточно выразился. Предложение “Если отрицательное – то же самое, только домноженное на i” следует воспринимать как то, что под корнем (под знаком радикала) всегда неотрицательное число для четных степеней. Вашей записи с использованием отрицательных чисел под корнем в этом предложении предлагается замена с использованием арифметического корня – использование домножения на мнимую единицу вне корня. Это не у меня под знаком радикала отрицательные числа, а у Вас. И, кстати говоря, если бы Вы прочитали бы следующее предложение “Что касается комплексных чисел – не помню, чтобы где-либо видел при помощи РАДИКАЛА, что корень из -1 равен i и -i, хотя все может быть”, то Вы наверно, не делали бы подобных заявлений. Внимательно надо читать.

    А вообще автору мог бы посоветовать вместо буквоедства и поиска несущественных неувязок заняться делом. Например, сделать комментарии в виде дерева, чтобы было удобно отвечать и все было понятно и наглядно, а не всякие “по пункту 20″, “по пункту 12″. Не очень хорошо получается без иерархических комментариев.

    Ну вот, именно поэтому, мне кажется, важно разобраться. Удачи Вам! :)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Ну вот, кажется, получилось: есть древовидные комментарии! :)

    [Ответить]

  12. 12 Елизавета Александровна Калинина:

    За предложение о комментариях спасибо, попробую сделать, вроде как оно и так должно быть, а вот чего-то не работает.

    А буквоедство в натуре у математиков :) . И я все равно не понимаю, зачем такие сложности для избегания отрицательных чисел под корнем, если можно просто считать, что они там стоять могут ;)

    Для полноты (опять очень формально, занудно и буквоедски :) ). Пока искала ссылки (русские и английские), нигде не видела Вашего определения арифметического корня. Вы же писали, что так корни понимаются во многих местах. Можете опять сказать, что придираюсь, но Вы писали именно обо ВСЕХ книгах, которые читали, и об авторитетных источниках. Ну интересно же ! :)

    [Ответить]

  13. 13 Вячеслав:

    Не вижу предмета спора. Бесспорно корень квадратный из 9 = +-3, т.к. +3 и -3 в квадрате равно 9 (минус умноженный на минус дает плюс) и нет необходимости прибегать к понятию мнимого числа i.

    [Ответить]

  14. 14 Лейб:

    Если, как в пункте 13,
    ///бесспорно корень квадратный из 9 = + -3 ///,
    то – что должен писать ученик в ответе к такому примеру ?
    .
    \sqrt{4}+\sqrt{9}+\sqrt{16}
    .

    [Ответить]

  15. 15 Вячеслав:

    На пункт 14. Ученик в ответе к примеру должен привести все сочетания квадратных корней из трёх слагаемых: +-2, +- 3, +-4, т.е. 2+3+4 = 9, 2+3-4=1, 2-3+4=3, 2-3-4=-5, -2+3+4=5, -2+3-4=-3, -2-3+4=-1 -2-3-4=-9.

    [Ответить]

  16. 16 Лейб:

    А если таких корней в примере будет, допустим, 10 ?
    Тогда ответов, по Вашему мнению, должно быть (проверьте!) 1024.
    .
    То есть, Вы предлагаете на пример, который умещается в ОДНУ СТРОЧКУ, писать в ответе НЕСКОЛЬКО СТРАНИЦ.
    .
    И еще необходимо несколько раз проверить, что ничего не пропущено, и что ни одно число в ответе не написано дважды.
    А если таких примеров ученику задано на дом решить не один, а много ?
    .
    Не странно ли все это ?

    [Ответить]

  17. 17 Вячеслав:

    На пункт 16. Если требуется написать все численные значения корней, то придется писать все, сколько бы страниц они не заняли. Но задания должны быть разумными. Известно, что на один глупый вопрос не могут ответить все мудрецы мира.

    [Ответить]

  18. 18 Лейб:

    Укажите хотя бы одну книгу, в которой на пример из пункта 14 (или на какой-нибудь похожий пример) дается 8 ответов.
    .
    А насчет глупого вопроса – я не понял.
    В чем заключается глупость ?
    .
    В популярных задачниках Антонова или Сканави (или многих других), например, имеется много примеров с большим количеством корней.
    Давать, как Вы советуете, к каждому такому примеру уйму ответов.
    .
    Или считать, как Вы утверждаете, все эти примеры – ГЛУПЫМИ ?

    [Ответить]

  19. 19 Вячеслав:

    К пункту 18. К сожалению не могу указать книгу на аналогичные задачи. Вы считаете мой ответ на вашу задачу слишком длинным. А каким должен быть ответ по-вашему. Задачник Антонова я не видел, но надеюсь там не требуется привести численные значения очень большого количества корней.

    [Ответить]

  20. 20 Лейб:

    По определению, которое принято в математике, в том числе и в школьной, \sqrt{x} – это такое НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число, квадрат которого равен числу x.
    Поэтому ученики ДОЛЖНЫ писать так:
    .
    \sqrt{4}+\sqrt{9}+\sqrt{16}=2+3+4=9.
    .
    И всё!
    То есть, в ответе должно быть (как и есть во всех учебниках) ОДНО-ЕДИНСТВЕННОЕ число.

    [Ответить]

  21. 21 Вячеслав:

    На пункт 20. В Википедии написано, что корень квадратный может быть как неотрицательным так и отрицательным числом. Неотрицательное число рассматривается как частный случай и называется арифметическим квадратным корнем. Не может быть, чтобы во всех учебниках рассматривался только один частный случай.

    [Ответить]

  22. 22 Лейб:

    Во первых, это НИКАКОЙ не частный случай. Это ЕДИНСТВЕННЫЙ случай – по определению.
    .
    Во-вторых, когда пишут знак квадратного корня, иногда оговаривают, что так обозначают именно арифметический квадратный корень.
    Но, в любом случае, на поставленный вопрос ученики должны отвечать ТОЛЬКО так:
    .
    \sqrt{9}=3.
    .

    [Ответить]

  23. 23 Вячеслав:

    На пункт 22. Во-первых, сформулируйте это определение. Во-вторых, если “иногда оговаривают, что так обозначают именно арифметический квадратный корень”, то значит, что бывает и другой, не арифметический.

    [Ответить]

  24. 24 Лейб:

    Определение уже было дано в пункте 20.

    [Ответить]

  25. 25 Вячеслав:

    На пункт 24. В некоторых учебниках действительно корень квадратный по определению – неотрицательное число, но при этом добавляется, что решение квадратного уравнения дает два результата (положительный и отрицательный). Отрицательный результат отбрасывается, как не отвечающий условию задачи – нахождение длины диагонали квадрата по длине его стороны, которая не может быть отрицательной. При этом положительный корень называется арифметическим корнем, подчеркивая тем самым, что имеется ещё и отрицательный корень. При решении квадратных уравнений перед корнем из дискриминанта всегда ставятся знаки + и -. В пункте 3 Елизавета Александровна тоже написала – “то, что радикал ВСЕГДА обозначает арифметический корень, не соответствует действительности”.

    [Ответить]

  26. 26 Лейб:

    В пункте 25 написано:
    .
    ///При решении квадратных уравнений перед корнем из дискриминанта всегда ставятся знаки + и -///.
    .
    Правильно. Потому и ставится дополнительно +, -, так сам корень получается неотрицательным.
    Если бы это было не так. не было бы никакой необходимости еще что-то добавлять.
    Брали бы один раз с ПЛЮСОМ, а другой раз – с МИНУСОМ.

    [Ответить]

  27. 27 Вячеслав:

    На пункт 26. Необходимость ставить дополнительно +,- в том, чтобы найти оба значения корня (неотрицательное и отрицательное) и затем использовать оба, или то или иное, в зависимости от условия задачи.

    [Ответить]

  28. 28 Лейб:

    Чтобы завершить нашу дискуссию, посмотрите на график функции
    .
    y=\sqrt{x}
    .
    в любом учебнике, в любом соответствующем сайте а Интернете, в любом математическом справочнике.
    .
    И постарайтесь дать объяснение тому, почему график полностью расположен выше оси x.

    [Ответить]

  29. 29 Вячеслав:

    На пункт 28. Посмотрите на сайте “Извлечение квадратного корня из чисел”, пункт 181. “График функции… функция получает два различных значения с одинаковой абсолютной величиной, но с противоположными знаками.” Там же показан красным цветом график с двумя ветвями, симметричными относительно оси Х.

    [Ответить]

  30. 30 Лейб:

    К сожалению, автор статьи на предложенном Вами сайте, называет функцией то, что функцией НЕ ЯВЛЯЕТСЯ.
    И, соответственно, приводит НЕПРАВИЛЬНЫЙ график.
    .
    Я думаю, что вряд ли нам с Вами удастся придти к общему мнению.
    Слишком на разных позициях мы находимся.
    И трудно, в данном случае, вести спор заочно.

    [Ответить]

  31. 31 zbl:

    Верно или не верно в зависимости от контекста.
    Какой смысл вкладывается в знак радикала оговаривается всегда, а не иногда.
    Это дурной тон не оговорить, арифметический ли корень имеется в виду.
    Кроме однозначных функций существует понятие функции многозначной.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение