12. Корень из двух – точное число?

Это не тест, не проверка Ваших знаний. Это приглашение к дискуссии. Выберите один из возможных вариантов и постарайтесь продолжить его, обосновывая Вашу точку зрения.

Число \sqrt{2} точное или приближенное?

• Приближенное, так как . . .

• Точное, так как . . .

• Я считаю, что . . .

Комментариев: 28

  1. 1 Alex:

    Точное, так как “корень из двух” – это просто сокращенная запись для “положительный корень уравнения x^2=2″.

    [Ответить]

  2. 2 Лейб:

    А как быть тогда с числом Пи ?
    Оно – точное ?
    .
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
    Пи = 3.14 . . .
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

    [Ответить]

  3. 3 Алексей:

    Нужно договориться о понятиях.
    Видимо, можно говорить о точной записи числа “корень квадратный из двух” и о приближённой. Мне непонятен термин “точное число”. Есть “точное значение” какой-либо величины.

    [Ответить]

  4. 4 Корнеев В.Ф.:

    Число Пи тоже точное. Есть отношение окружности к её диаметру.

    [Ответить]

  5. 5 Лейб:

    Если ученик спросит в классе:
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~`
    А отношение периметра прямоугольника к длине
    его диагонали – это число также точное ?
    ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~`
    Что, как Вам кажется, должен ответить учитель ?

    [Ответить]

  6. 6 Корнеев В.Ф.:

    Нет, не точное. Всё зависит от формы прямоугольника.

    [Ответить]

  7. 7 Вячеслав:

    Я согласен с Алексеем в том, что надо определиться с терминологией. Корень квадратный, и любой другой степени, из 2, или из любого другого числа, неправильно считать числом – это условный математический символ для некого числа “х”, квадрат которого равен 2 (х^2 = 2). Имеет ли это уравнение точное решение? Функция Y = x^2 непрерывна и следовательно уравнение имеет точное решение, но его значение нельзя точно записать ни в одной системе исчисления и в практике довольствуются приближенными значениями с различной точностью, например, 1,41 или 1,4142 и т. д. Но есть очень простой способ вычисления с любой точностью, хотя достаточно трудоёмкий. Использование мощных вычислительных машин и комплексов значительно упрощают задачу. Суть метода (я называю его методом последовательных приближений – МПП) очень проста. Для корня из 2 очевидно Х больше 1 и меньше 2. Принимаем х = 1,5, вычисляем 1,5^2 = 2,25 больше 2. Принимаем х=1,4, тогда 1,4^2 = 1,96 меньше 2 и т.д.

    [Ответить]

  8. 8 Лейб:

    К пункту 7.
    Там написано:
    /// Корень квадратный, и любой другой степени, из 2, или из любого другого числа, неправильно считать числом – это условный математический символ ///
    .
    Тогда выходит, что ниже – это тоже не числа:
    .
    sin2, cos3, lg7 и многие другие.
    .
    Слишком обедняется понятие числа.

    [Ответить]

  9. 9 Вячеслав:

    Уважаемый Лейб, если считать, что lg7 – это число, тогда почему оно абсолютно не похоже на 0,84…или на 0,845…и ещё на бесчисленное множество других чисел? Согласитесь, что 0,845… – это безусловно число, примерно соответствующее условному символу lg7, значение которого не может быть точно представлено в виде безусловного числа. Также и “пи” – условный символ, значение или величина которого, может выражаться разными числами, в зависимости от достигнутой точности, но никогда не может быть записана в виде числа с абсолютной точностью. Можно бесконечно расширить понятие числа, необходимо лишь определиться с терминологией. Но я не вижу в этом целесообразности.

    [Ответить]

  10. 10 Лейб:

    К пункту 9.
    Там написано:
    ///если считать, что lg7 – это число, тогда почему оно абсолютно не похоже на 0,84…или на 0,845…и ещё на бесчисленное множество других чисел? Согласитесь, что 0,845… – это безусловно число, примерно соответствующее условному символу lg7, значение которого не может быть точно представлено в виде безусловного числа.///
    .
    Оно не похоже, так как это ОСОБОЕ число – иррациональное. И таких чисел – несчетное множество.
    Но при этом lg7 – полноценное ЧИСЛО, а не только символ.
    Существуют даже такие числа, для которых еще не придумано никаких символов.
    Но от этого они не перестают быть НАСТОЯЩИМИ числами.
    Так же, как и lg7 – БЕЗУСЛОВНОЕ ЧИСЛО.

    [Ответить]

  11. 11 Вячеслав:

    К пункту 10. Уважаемый Лейб, Вы признаёте, что lg7 – “ОСОБОЕ” число. Эта особенность заключается в том, что оно не может быть точно представлено в виде обычного числа, т.е. не является обычным числом.

    [Ответить]

  12. 12 Лейб:

    От того, что кто-то не является ОБЫЧНЫМ человеком (например, Пушкин, или любой другой гений) не означает, что он не является человеком.
    .
    Кроме того, каждое число (как, кстати, и каждый человек) является, в некотором смысле, ОСОБЫМ, что показывают начальные материалы САЛОНА КРАСОТЫ (для чисел).
    .
    Для этого и был создан этот раздел.

    [Ответить]

  13. 13 Вячеслав:

    К пункту 12. Уважаемый Лейб, каждый человек и всякий конкретный объект обладает особенными свойствами, но чтобы его классифицировать как человека, важны не особенности, а наиболее характерные человеческие свойства. Соответственно, чтобы некий символ признать числом, он должен обладать свойством обычных чисел – представлять конечное множество цифр в определенном порядке. lg7 этому требованию не отвечает.

    [Ответить]

  14. 14 Лейб:

    Очень советую посмотреть, например, в ВИКИПЕДИИ раздел “Действительные числа”.

    [Ответить]

  15. 15 Вячеслав:

    На 14, посмотрел Википедию. Первая фраза полностью совпадает с моим пониманием действительного числа. “Вещественное, или действительное число – математическая абстракция, возникшая из потребности… проведения таких операций как извлечения корня, вычисления логарифмов, решение алгебраических уравнений.” Корень из двух – это математическая абстракция, возникающая при извлечении корня и решения уравнения х^2 = 2. Именно это х можно условно назвать особым, иррациональным числом. Знак корня является математической абстракцией, условным символом, но не числом.

    [Ответить]

  16. 16 Лейб:

    Посмотрите внимательно на сайте:
    http://ru.wikipedia.org/wiki/Число
    .
    Внизу есть таблица.
    На строчке, где написано ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА, расположены некоторые числа, которые Вы числами не считаете.
    С Вами были бы солидарны многие математики 17 века.
    Но – не современные математики.

    [Ответить]

  17. 17 Вячеслав:

    На пункт 16, посмотрел на сайте “число”. На строке “действительные (вещественные) числа” нет конкретных чисел, а есть только символ в виде буквы R, означающий множество чисел, включающее множество иррациональных чисел, обозначенное тоже символом в виде римской цифры I. Все эти определения говорят о математической абстракции, условной символике, договоренности современных математиков считать некоторые математические соотношения особыми числами. Ещё раз повторяю, что корень, как и многие другие математические понятия, можно, и даже целесообразно для решения определенных задач, классифицировать как особые числа. Вопрос лишь в терминологии.

    [Ответить]

  18. 18 Павел:

    Не найдется конечного рационального числа, коим можно представить иррациональное число, используя рациональные – лишь можно выразить с какой угодно точностью.

    Корень из двух символ точного иррационального числа, которое не может быть точным выражаясь через рациональные,
    Разделите корень из двух на себя, получите 1 – число точное.
    А вот через рациональные эта дробь будет бесконечной.

    [Ответить]

  19. 19 zbl:

    Символами \sqrt 2 и \pi обозначают иррациональные числа, поэтому погрешность такого представления равна нулю.
    А существуют такие иррациональные числа, которые нельзя записать и с помощью символов…

    [Ответить]

  20. 20 Вячеслав:

    На пункт 19. Иррациональные числа, которые нельзя записать с помощью уже существующих символов, безусловно существуют. Но поскольку символов можно придумать бесчисленное количество, то не может быть иррациональных и иных чисел, для которых невозможно придумать новых символов.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Даже, если взять все символы, которые когда-либо можно было бы придумать, то всё равно не хватит, чтобы обозначить все вещественные числа. Даже, если взять чего-то в два раза больше или в миллион раз больше, чем все возможные символы, то всё равно не хватит. Вещественных чисел очень много. Ну, ооочень много.

    [Ответить]

    Вячеслав Reply:

    Вновь придуманных символов тоже может быть “ну очень много” и даже ещё больше в бесконечное количество раз.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Тем не менее. Символы, сколько бы их ни было, можно перечислить, а вещественные числа — нельзя. Их много больше, чем можно перечислить. Поэтому всегда останутся вещественные числа, которые нельзя изобразить символами.

    [Ответить]

  21. 21 Вячеслав:

    Перечислить символы, которые могут придуманы вновь невозможно, их можно придумать бесчисленное множество, как и бесконечно множество вещественных чисел. Сравнение этих бесконечных множеств не имеет смысла, результатом их сравнения является неопределенность.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Перечислить символы можно, выписывая их друг за другом. Сравнивать бесконечные множества научился Георг Кантор в конце 19-го века.

    [Ответить]

  22. 22 Вячеслав:

    Сравнивать бесконечные множества можно, если они имеют предел. Сравнение бесконечно больших множеств дает неопределенность.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Сравнивать бесконечные множества научился Георг Кантор в конце 19-го века.

    [Ответить]

  23. 23 Михаэль:

    Попытаемся понять логику развития числа и тогда поймем смысл корня из 2.
    Натуральное число – выражает величину конечного количества; рациональное число – выражает размерность связи величин конечных количеств; действительное число – выражает меру движения величины конечного количества: комплексное число – выражает меру организации величины конечного количества: трансцендентное число – выражает меру конструктивности величины конечного количества: системное число – представленная здесь логика развития числа и выражает логику развития меры величины конечного количества. Поэтому корень из двух не являеттся мерой связи, а является мерой движения и отсюда НЕСОИЗМЕРИМОСТЬ ибо меры разные.
    Тупость нашего математического образования в том, что нас учили ФОРМАЛЬНОЙ математике, а не СОДЕРЖАТЕЛЬНОЙ
    С уважением! Михаэль Арест arest.michael@gmail.com skype arest.michael

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение