Анализ мёртв. Да здравствует анализ!

Автор zbl

«Ты всю жизнь ощущал, что мир не в порядке — странная мысль, но ее не отогнать»

Это чей же там стон раздаётся? Это школьники и студенты учат алгебру и начала матанализа. В хороших учебниках, дав определение предела, авторы говорят нечто вроде: «а теперь для лучшего понимания дадим нестрогое изложение этого понятия» и излагают понятие предела в правильном ходе мысли. Авторы хороших учебников осознают, что психически здоровый человек не может думать задом наперёд и данное только что определение понять не сможет. По сути, это означает, что учащемуся даётся нормальное определение, а потом говориться, что оно неправильное и нужно просто запомнить правильный тарабарский вариант. Так учащийся начинает приобретать очень важный навык понимать одно, а запоминать другое. Этот навык ему будет незаменим в изучении матанализа.

Будучи ещё студентом, я почувствовал, что что-то не так. Сейчас понимаю, что смог почувствовать только потому, что мне тогда были доступны хорошие учебники. А теперь я знаю, что именно не так. Рассказать, что не так и почему оно стало не так, есть основная цель этого текста.

«Знаете, ведь первая Матрица создавалась как идеальный мир, где нет страданий, где все люди будут счастливы. И полный провал»

Придётся вспомнить историю матанализа. Это необходимо, чтобы понять, какие пружины определяли его развитие и почему он таков, каков он есть.

Самое раннее известное применение средств анализа относится к началу четвёртого века до нашей эры. Древнегреческий математик Евдокс решал ряд задач методом, который сейчас соответствует интегральному исчислению. Евдокс по сути знал понятие бесконечно малой константы и суммы бесконечно большого числа бесконечно малых. Он сформулировал аксиому, которая управляет наличием или отсутствием бесконечно малых констант на числовой прямой (аксиома Евдокса, которую так же называют аксиомой Архимеда).

Аксиома Евдокса говорит, что для любых двух отрезков конечной длины можно конечное число раз отложить меньший вдоль большего так, что он перейдёт больший (для любой пары конечных чисел, вычислив сумму некоторого конечного числа слагаемых, равных меньшему, мы получим число, большее большего). А отрезок бесконечно малой длины, чтобы он перешёл отрезок конечной длины придётся откладывать бесконечно большое число раз.

В те времена не существовало математики в современном смысле слова. Поэтому нам не дано судить, какой именно смысл вкладывали люди даже в понятие числа, не говоря уже о бесконечно малых и бесконечно больших константах. В книгах по истории математики принято писать, что, дескать, о том, что такое число в те времена просто не задумывались. Я считаю, что правильно говорить в данном случае: мы об том ничего не знаем. Антикитерский механизм (найденная на затонувшей римской галере чрезвычайно сложная астролябия) учит нас, что о древней науке и технике мы, положа руку на сердце, не знаем решительно ничего.

Современный матанализ был создан в конце семнадцатого столетия И. Ньютоном и Г. В. Лейбницем, а систематизирован Л. Эйлером в восемнадцатом веке. В книгах Эйлера подробно объясняется, что такое бесконечно большое и бесконечно малое число и обсуждаются распространённые ошибки в понимании этих терминов. Это требовалось подробно разъяснять, потому что в то время на науку со стороны церкви обрушилась серьёзная критика. Наука вошла в моду, отнимая паству. Видный богослов Дж. Беркли выступил в печати, пытаясь показать, что методы матанализа не более достоверны, чем мифы церкви. Ничто так не подходило для этого, разумеется, как понятие бесконечно малой константы.

К началу девятнадцатого столетия положение вещей существенно изменилось. На мой взгляд, чрезвычайно важно иметь в виду, что математики восемнадцатого века работали совсем не так, как это стали делать их потомки. Философией восемнадцатого века был стихийный материализм. Эйлер свободно выполнял операции с расходящимися рядами на том основании, что они часто дают правильный результат. Для него вопрос, можно ли обращаться с расходящимися рядами, не стоял: если это работает, значит — можно. Для философии девятнадцатого века одной практической пользы было уже не достаточно: операции с расходящимися рядами не всегда дают верный результат.

Математики девятнадцатого века не сумели найти дополнительное обоснование для понятия бесконечно малой константы, необходимость в котором они сами себе придумали. Это было и невозможно, потому что понимание роли аксиомы Евдокса, имевшееся у древних, в период тёмного средневековья было просто утрачено и математики девятнадцатого столетия им не обладали.

В таких условиях в начале девятнадцатого века был придуман способ решения проблем, который с тех пор стал классическим: если я чего-то не понимаю, то это неправильно. В данном случае Ж. Л. д’Аламбер, видимо, первым из крупных математиков заявил, что бесконечно малые константы не имеют смысла и нужно иметь в виду только бесконечно малые переменные. В те же времена этот приём применил и О. Л. Коши, открывший ряд условий, которым должны удовлетворять ряды, чтобы операции с ними всегда давали верный результат. Коши просто объявил расходящиеся ряды
не имеющими никакого смысла и пользы.

С этих же времён повелась манера утверждать, что изложение Эйлера логически несовершенно, а вводимые им понятия (подробнейшим образом разъяснённые в его книгах!) бессмысленны. Лишь в наше время удалось последовательно сформулировать на современном языке всё, что описал Эйлер, подтвердив его безупречное знание математики. Сейчас имеет смысл говорить, что не Эйлер был небрежен, а современные математики только теперь доросли до понимания его идей.

Нельзя сказать, что в девятнадцатом столетии не нашлось никого, кто бы не принял новый способ решения проблем и не выступил в защиту бесконечно малых констант. Такой фигурой, например, был Ф. Клейн. Нельзя и сказать, что необходимость теории иррациональных чисел, удовлетворяющей новой системе ценностей, была очевидна всем и каждому. Теория иррациональных чисел К. Вейерштрасса, вошедшая сейчас в школьные учебники, была изложена им в семидесятых годах девятнадцатого века лишь в виде устных лекций для студентов.

Но можно с уверенностью сказать, что в современных книгах по истории математики дело выставляется так, как будто, игнорируя непонятное, математики подняли свою науку на новый уровень совершенства. Произносятся слова о «логической обоснованности» и «строгости», как будто это означает нечто большее, чем применимость для точного описания и моделирования реальности. По-видимому, это отзвук того положения, в котором оказалась математика в начале двадцатого века.

К началу двадцатого века в математике основным стал выступать метод аксиоматизации. В это же время появляется математическая логика. В целом, именно в это время люди науки начинают серьёзно задумываться о первоосновах. Не мудрено. Именно тогда физика начала все основания сотрясать.

Многие ведущие математики начала двадцатого века и в первую очередь — школа Д. Гильберта — считают необходимым сформулировать всю математику на основе минимального набора аксиом. Минимальность аксиоматики считается совершенством теории. Для такой первоосновы им очень подходит и нравится, изобретённая в конце девятнадцатого века Г. Кантором теория бесконечных множеств.

Но в тридцатых годах по программе Гильберта аксиоматизации всей математики (а заодно и остального естествознания) был нанесён страшный удар. К. Гёдель доказал, что это невозможно проделать. Теоремы Гёделя утверждают, что в любой теории, достаточно сложной для того, чтобы она содержала в себе хотябы арифметику натуральных чисел, найдутся утверждения, которые не удастся ни доказать, ни опровергнуть с помощью аксиом.

Удар действительно страшный: зачем тогда нам аксиомы? С тех пор была доказана недоказуемость многих утверждений в разных теориях, как, например, известной гипотезы континуума, сформулированной ещё Кантором.

Не смотря на то, что в теории множеств с начала века обнаруживается много парадоксов, которые приходится обходить, лишая её ореола совершенства и красоты, в тридцатых годах двадцатого века группа ведущих французских математиков решила сформулировать всю существующую математику на языке теории множеств. До семидесятых годов вышло около сорока томов их трудов. Книги выходили под псевдонимом Николя Бурбаки. Понятие числа и весь матанализ, разумеется, Бурбаки тоже формулируют на языке теории множеств.

Видимо, уже сами Бурбаки осознавали невозможность сформулировать даже матанализ на костном языке теории множеств. Пожалуй, иначе бы они не выступили с той доктриной, которую они провозгласили: математика — это то, что изложено в книгах Бурбаки, а всё остальное — это не математика. Они не предложили ещё одной формулировки математики в чём-то по их мнению совершенной. Нет. Они заявили, что их формулировка правильная, а другие формулировки — неправильные. Нетрудно сейчас уличать Бурбаки в том, что они искажали смысл классических понятий, называя старым термином совершенно иную вещь, лишь бы в результате матанализ втиснулся в убогий язык теории множеств.

Язык теории множеств оказал на математику двадцатого века неизгладимое влияние. Это так при том, что у самой теории множеств во все времена было огромное число противников. Приходится признать, что теория множеств — это чрезвычайно удобный инструмент. У меня лишь такой вопрос возникает в связи с этим: в какой именно деятельности она служит столь полезным инструментом? В том, чтобы работать она так нужна, или же она очень полезна тем, кто вместо этого желает бить баклуши, переливая из пустого в порожнее?…

В 1961-м году А. Робинсон, основываясь на одной из теорем математической логики, доказанной А. И. Мальцевым в тридцатых годах, опубликовал труд, содержавший формулировку на современном формальном языке понятия о бесконечно малых константах и матанализа на их основе. Робинсон назвал свою формулировку нестандартный анализ. Сейчас предпочитают использовать термин инфинитезимальный анализ. По сути, Робинсон не внёс чего-то такого, чего не знал бы ещё Эйлер, но из его работы ясно видна принципиальная невозможность сформулировать анализ бесконечно малых на языке теории множеств. Анализ бесконечно малых много богаче языка теории множеств.

Во второй половине двадцатого века окрепла, возникшая в тридцатых годах, теория категорий, которая вместо принадлежности элементов множествам рассматривает отношения между объектами категории, каковые могут и не быть множествами. На языке теории категорий можно выразить теоретикомножественные отношения, и потому она тоже, и даже в ещё большей степени, чем теория множеств, подходит на роль первоосновы математики, что и отмечается в любой книге по теории категорий. Видимо, математики ещё долго будут искать какую-то первооснову, пока победят лень поинтересоваться у философов, почему они давно уже пришли к выводу, что такой единой первоосновы не существует в принципе…

В послевоенное время во всём мире возникла идея о реформе школьного образования. В СССР это вылилось в так называемую попытку колмогоровской реформы, которая усилиями в первую очередь Л. С. Понтрягина была остановлена в конце семидесятых годов. В остальном мире подобные реформы были проведены более последовательно. Мотивация преобразований была в том, что школьное преподавание математики сильно отстало от её современности и топчется где-то в восемнадцатом веке. В качестве осовременивания школьных программ предлагалось излагать детям язык теории множеств по Бурбаки.

Меня часто спрашивают: почему математики во всём мире, получив в шестидесятых годах результат Робинсона и зная уже, что изложенный Эйлером анализ бесконечно малых выходит за рамки теории множеств, не бросились переписывать учебники? Более того, они восприняли результат Робинсона как забавную логическую игру ума, и потребовалось много времени, чтобы реальными применениями убедить в большой ценности для науки этой новой-старой формулировки. Даже математики начала двадцатого века уже осознавали роль аксиомы Евдокса и имели понятие о неархимедовых структурах. Тем не менее, они прямо заявляли, что бесконечно малые константы не имеют никакого смысла и роли в анализе. Но у меня нет ответа на этот вопрос, соответствующего моей высочайшей природной скромности…

Формулировка матанализа на не соответствующем его объёму языке лишь вызывает убогость, вычурность, неудобство приложения к практике и не позволяет видеть лежащих под носом новых результатов. Адекватная же формулировка сверкает ясностью ума и чистотой мысли, шурша под ногами новыми открытиями чудесной глубины и значимости.

«Не пытайся согнуть ложку; это невозможно. Вместо этого, попытайся понять истину»

Итак, история учит нас, что язык теории множеств нам не подходит для построения анализа бесконечно малых. Поэтому необходимо заново формулировать понятие числа и всего остального, что необходимо хотябы в самых основах.

Число абстрагирует результат счёта. Счёт — это общий процесс измерения, в котором мы устанавливаем однозначное соответствие между считаемой совокупностью и некоторой эталонной совокупностью (например — некоторой конфигурацией пальцев рук).

Абстрагирование — это один из основных приёмом математики, который даёт общность её результатам. В простейшем случае абстракция означает игнорирование некоторых несущественных свойств предметов до полной их неразличимости в рамках данной абстракции. То есть простейшая абстракция соответствует просто некоторой совокупности в чём-то похожих предметов или любому предмету из этой совокупности, когда имеет целью подчеркнуть их неразличимость. Так кошки или кошка есть абстракция всех или любого из домашних любимцев породы кошачьих. Именно в этом смысле число абстрагирует результат любого счёта.

Счёт — это не только результат установления однозначного соответствия между совокупностями, но и процесс установления такого соответствия. Как процесс он имеет направленность. Это вынуждает два сорта чисел: количественные и порядковые. Порядковое число (номер по порядку) — это количество предметов, предшествующих по счёту данному. Только для конечных совокупностей количественные и порядковые числа совпадают по смыслу. Но трансфинитные числа я обсуждать тут не намерен.

Число как результат счёта вводится во всех хороших курсах теоретической арифметики (для взрослых). Но я не встречал книг, в которых бы авторы не пытались рассказать в каком-то виде классическую басню о четырёх овцах и четырёх берёзах.

На лугу пасутся четыре овцы и растут четыре берёзы. «Не прибегая к пересчёту овец или деревьев, их можно попарно сопоставить друг другу например, привязав овец к деревьям так, что каждая овца и каждое дерево будут принадлежать в точности к одной паре».

То есть, дело выставляется так, что будто бы мощность конечного множества — это нечто более фундаментальное, чем счёт. Но счёт — это измерение, и, как в любом измерении, не имеет значения, какой именно эталон применяется. Сосчитав на самом деле берёзы овцами глупо утверждать, что мощность конечного множества чем-то более фундаментальна, чем счёт, не правда ли? Иллюзия отсутствия счёта тут возникает лишь от того, что здесь фигурирует одно-единственное число. Имеет смысл говорить только, что мощности конечных множеств, перечтя элементы, можно обозначать натуральными числами, а не натуральные числа и есть мощности конечных множеств.

Соответствие между отдельными элементами — основное понятие теории множеств — является основой и для счёта тоже, но счёт есть нечто существенно иное: это реальный процесс, а не теоретическая концепция, которую, чтобы она имела смысл, ещё нужно связать с реальностью. Большая часть парадоксов теории множеств возникает именно от того, что наивное канторовское понятие множества оказывается слишком оторванным от реальности, что и вызывает противоречия. Механизм возникновения таких противоречий чистого разума был указан ещё И. Кантом в восемнадцатом столетии. Обходя парадоксы явным построением универсума множеств, приходится говорить, что множества — это не реальные совокупности столов или стульев, а лишь абстрактные модели, которыми мы описываем отдельные искусственно выделенные свойства таких совокупностей. Так, ясно становится видна вторичность понятия множества по сравнению с понятием числа, напрямую абстрагирующего результат реального процесса счёта.

Потуги строить математику на основе теории множеств в основном обязаны желанию (осознанному или безотчётному) оторвать базовые понятия математики от реальности. Для Ньютона и Эйлера числа были тесно связаны с измерением физических величин и именно через него определялись. В современных терминах это в точности означает абстрагирование результатов счёта. Именно по-этому до конца девятнадцатого века математики не видели нужды в каком-то ином определении числа, даже иррационального. Дело просто в том, что оно и не нужно. Все разновидности чисел легко строятся с помощью абстрагирования.

Счёт, будучи процессом измерения, требует наличия определённой иерархии эталонов, которая устанавливается с помощью меры (единицы) и её аддитивности. Любой эталон можно породить повторением меры. Счёт как измерение состоит в изготовлении подходящего эталонного количества повторением меры, а затем сравнении с ним считаемой совокупности. Уже отсюда можно получить в качестве следствий многие факты о числах, но мне нет нужды погружаться в формальную теорию измерений.

Единица, которой служит мера счёта, не может существовать сама по себе, ибо предметы мы познаём лишь в отношениях между ними. Тем, по отношению к чему единица будет самой собой, может служить отсутствие чего бы то ни было, то есть — нуль. Так для любого измерения необходимо наличие начала отсчёта и меры, которыми в случае общего счёта служат нуль и единица.

Теория множеств же как раз вводит понятие множества самого по себе: элементы множества определены принадлежностью к нему, а, что такое само множество, не говориться. Именно от того и возникает парадокс множества всех множеств, которое множеством не является. Вводя понятие множества, нужно указывать, по отношению к чему множества суть множества (этой цели и служит универсум множеств). Теория категорий же действует разумнее, определяя объекты через отношения между ними. На вопрос, почему математики в понимании этих простых вещей отстали от философов на пару столетий? я снова не смогу дать ответ…

Повторяя единицу, мы можем получить бесконечный ряд натуральных чисел или бесконечный в обе стороны ряд целых чисел. Г. Г. Грассман указал, что для того, чтобы ввести обычное сложение натуральных чисел нам нужно лишь уметь прибавить единицу к единице и суметь прибавить так полученное два к единице: остальное выводится по аналогии. В сущности, именно так люди и изобрели сложение.

Бесконечный числовой ряд — это абстракция всех результатов счёта, какие могут быть когда-либо получены. Так бесконечность не является чем-то вне реальности, присущим лишь нашему сознанию. Наше сознание есть часть реальности, способная отражать реальность в себе. Бесконечные совокупности логически определяются просто как не являющиеся конечными, которые в свою очередь как такие, что получаются из какой-то одной определённой заданным способом. Например, конечные натуральные числа — это единица и все, что могут быть получены из некоторого конечного прибавлением единицы. Такой индуктивный способ определения конечных совокупностей, часто используемый в хороших курсах арифметики, лучше принятого обычно в теории множеств определения именно потому, что он применим и вне теории множеств.

Вычитание единицы и отрицательные числа можно получить уже из свойств счёта как измерения. Сложение — это повторение прибавления единицы. Тут счёт применяется к количеству шагов, прибавляющих единицу. Аналогичным образом умножение целых чисел — повторение сложения. Деление можно определить как обратную операцию. Разумеется, обычные свойства арифметических действий не трудно тут установить.

Дроби и рациональные числа как правильные дроби вводятся обычным образом. Рациональных чисел оказывается вполне достаточно для выражения результатов большинства измерений в естествознании.

Но измерения диагонали квадрата и длины окружности говорят нам о необходимости введения иррациональных чисел: измеряя диагональ квадрата в единицах его стороны и длину окружности в единицах её диаметра, мы, повышая точность измерения, получаем всё новые и новые значения. Абстракцию всех этих рациональных приближений и называют иррациональным числом.

Такое определение вещественного числа знал уже Ньютон, вводивший вещественные числа как абстракции значений физических величин. Никакого «более абстрактного» определения вещественного числа и не требуется, потому что можно нумеровать вещественными числами любые предметы способом, которым вводятся координаты.

Иной раз, мотивируя теорию множеств, начинают говорить о какой-то субъективности счёта или же напрямую, как Гильберт, утверждают, что математика не должна основываться на понятиях, почерпнутых непосредственно из реальности, потому что, дескать, например понятие бесконечности есть чистая игра ума, не соответствующая ничему реально существующему. Тем не менее, от субъективности есть обычное средство — стандартизация, чем касательно измерений занимается специальная наука — метрология. А бесконечность столь же реальна или нереальна, сколь реальна или нереальна и кошка.

Величина — это свойство, которое можно выделить качественно и описать количественно. Числовое значение величины — это отвлечённое от рода величины число, выражающее её количественную определённость (называемую размером). В математике преимущественно используются числовые величины. Понятия размер и размерность путать не стоит.

Движение, понимаемое как любое изменение, вынуждает два сорта величин: постоянные и переменные. Значение постоянной величины в некотором процессе остаётся неизменным, а значение переменной — меняется.

Многие видные математики, например — А. Д. Александров, считали понятие величины необходимым для математики. Но мало кто отмечал основное свойство величин — их динамичность, связь с движением. Тем не менее, эта динамичность есть определяющее свойство величин, без которого они теряют свой смысл.

«Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых. Это наименование имеет чрезвычайно широкий характер (quae denominatio latissime patet); оно охватывает все способы, какими одно количество может определяться с помощью других» (Эйлер).

Бурбакистское определение функции как отображения часто подвергается критике, потому что его неудовлетворительность всплывает повсюду. Понятие функции, как его дал Эйлер, гораздо шире понятия отображения уже тем, что существенно выходит за рамки теории множеств даже в матанализе. Но главная его черта — это тот же динамический характер, который не поддаётся выражению ни только на языке теории множеств, но и в более развитых формализмах.

В данных основных определениях фигурируют такие слова как «мера», «процесс», «движение», «динамичность». Определяя понятия способом «что это такое?», приходится где-то рвать цепочку «что это такое? а что то такое?», приняв некоторые понятия как самоочевидные, смысл которых можно понять только самостоятельно. Именно таковы и эти понятия. Нельзя сформулировать, что такое движение (любое изменение? а изменение — это что такое?), но можно объяснить, что такое движение, и можно понять, что такое движение.

Любое измерение имеет погрешность. Об этом говорят даже школьникам, хотя потом нигде и никак в курсе физики не упоминается о чём-то таком, чтобы существенно зависело от существования погрешностей измерений. Но есть одна тайна, которую тщательно прячут даже от студентов-физиков. Точность любого измерения нельзя сколь угодно повышать. Для любого измерения существует так называемая пороговая точность. Лишь лучшие учебники общей физики содержат не названным это понятие. Посвящением в великую тайну существования пороговой точности могут гордиться только студенты-метрологи.

Пороговая точность означает не просто то, что невозможны абсолютно точные измерения. Её существование означает нечто существенно большее: точность любого измерения нельзя сколь угодно улучшать.

Нет ничего удивительного в том, что эту великую тайну так оберегают от студентов. Ещё бы. Ведь бесконечно малые константы — это просто абстракция пороговой точности измерений. Именно поэтому они попали в математику ровно тем же способом и ровно на тех же правах, как и конечные вещественные числа.

Итак. Бесконечно малое число — это число, меньшее по модулю всякого, могущего быть заданным. Соответственно, бесконечно большое число — это число, большее по модулю всякого, могущего быть заданным. Это определение Эйлера нисколько не утратило актуальности. Просто, в его время математика и физика были почти одним целым и как-то дальше разжёвывать не было необходимости.

Сказанное относится и к общему счёту, поскольку и он есть измерение. Попробуем-ка это пронаблюдать.

Представим, что у нас есть три яблока. Ну ка, представьте себе три яблока… Представили?… Три, а не два с половиной… Не три шара, а три более-менее яблока и целиком… Третье всё время как бы выскакивает за границы какого-то экрана? А ваше воображение не всесильно. Человек может воспринимать обычно примерно от пяти до девяти каналов информации одновременно. Яблоко имеет две-три отличительные черты, поэтому три яблока — это шесть-девять информационных каналов. Это на пределе ваших возможностей.

Ещё пример. Представьте дерево. Корни, ствол, ветки, листья… корни верните на экран… листья пропали. А скворечник вам уже вряд ли удастся повесить.

Но позвольте, как же в таком случае вы постоянно употребляете обороты речи типа «представим, что у нас сто яблок». Вы и пять-то яблок вряд ли осилите. Выходит, вы говорите о том, чего нет, даже, если речь только о чисто воображаемых вещах? Вы не можете представить, а говорите «представим». Нас с вами с детства приучили так себя самих обманывать — говорить то, чего на самом деле нет, и самим верить в это.

Чтобы представить себе сто яблок и обращаться с ними, — а обращаться с чем-то мы можем только, если умеем это себе как-то представлять, — нужно сильно потрудиться, корректно сопоставив сотне яблок некий специальный образ и выработав корректные правила работы с подобными образами (жаль, что в школе нам не объясняют этих, в общем-то, несложных вещей. Понимание того, как именно мы мыслим, позволяет сильно ускорить обучение и не только математике). Так абстракции, совершенно тождественные абстракциям бесконечных совокупностей, постоянно используются нами уже при работе с десятком предметов.

«Целый мирок надвинутый на глаза, чтобы спрятать правду»

Не трудно научиться обращаться с бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. Например, заранее очевидно, что сумма бесконечно малых есть бесконечно малая. Но это можно вывести и более явно. Если x и y бесконечно малы, то |x| и |y| меньше \frac{1}{n} для любого конечного n. Тогда |x+y|\le|x|+|y|<\frac{2}{n}, то есть сумма есть бесконечно малая. Аналогично выводятся другие очевидные свойства бесконечно больших и бесконечно малых констант, как например то, что величина, обратная к бесконечно малой, бесконечно велика.

Вещественными числами я буду называть все бесконечно малые, бесконечно большие и все конечные вещественные числа. Привычное понятие я буду всегда называть конечным числом.

При наличии бесконечно малых равенство вещественных чисел теряет свой привычный смысл. Эйлер отводит целые страницы на разъяснение того, почему бесконечно малые «точно равны нулю». И тем не менее авторы современных книг по инфинитезимальному анализу обозначают знаком = тождественное равенство и что-то бормочут о том, что Эйлер и Лейбниц часто не отличали числа, бесконечно близкие к некоторому числу, от этого числа.

Бесконечно малая никак и ничем по размеру не отличима от нуля, её размер никак не ощутим и не наблюдаем. Поэтому она точно равна нулю в смысле обычного равенства чисел. Но тем не менее, бесконечно малая не совпадает с нулём тождественно и в этом смысле равна нулю лишь приближённо. Разумнее поэтому обозначать тождественное равенство знаком \equiv, а для обычного равенства оставить знак =, потому что смысл его не изменился. Так для бесконечно малых x и y может быть x=y=0, но x\not\equiv y.

Бесконечно малую окрестность конечного числа называют монадой этого конечного числа. В связи с монадами ясно видна невозможность формулировки анализа бесконечно малых на языке теории множеств: монада не есть множество (подобно тому, как множество всех множеств не есть множество). Действительно, если бы монада нуля была подмножеством вещественных чисел, то существовало бы минимальное по модулю конечное вещественное число, большее любого элемента монады (точная верхняя грань монады). Тогда половина этого числа была бы ещё меньше, но оставалась при том конечной, тоже не принадлежа монаде.

Монада нуля не есть множество именно потому, что все её элементы совершенно неотличимы от нуля и в теоретикомножественном смысле с ним совпадают. По той же причине обозначения Эйлера \frac{1}{0} для бесконечно большого числа, \frac{2}{0} для числа в два раза большего и \frac{1}{\infty} для бесконечно малого не только приемлемы, но совершенно корректны. При том бесконечность по-прежнему остаётся больше любого числа, как конечного, так и бесконечно большого, и числом не является, хотя может быть добавлена на числовую прямую для удобства, как обычно.

Так, как монады суть не множества, функция в анализе бесконечно малых тем паче не есть отображение, ибо отображение — это всего лишь множество пар. Так лишний раз проявляется тот факт, что учёт такого естественнейшего понятия, как бесконечно малая константа, которое, как говорилось, вошло в математику на тех же самых правах, что и конечные вещественные числа, сразу же выводит матанализ за рамки костного языка теории множеств.

Каждое вещественное число имеет единственную конечную часть. Действительно, если x и y бесконечно близки друг к другу, то x-y бесконечно мало. Если к тому же x бесконечно близко к a и y бесконечно близко к b, то бесконечно мала и сумма (x-a)+(b-y), которая равна (b-a)+(x-y), откуда b-a бесконечно мало и a бесконечно близко к b, то есть не может отстоять от него на конечном расстоянии, принадлежит той же монаде, что и a. Это тем более верно, если x\equiv y.

Таким образом, числовую ось при наличии бесконечно малых можно представлять себе как состоящую из «жирных точек», изображающих монады конечных вещественных чисел. Это, между прочим, означает, что между монадами есть просветы, в которых могут обитать какие-то даже ещё более мелкие букашки, несмотря на то, что бесконечно малые всех порядков малости мы уже все поселили в монадах.

Определение предела последовательности выглядит в анализе бесконечно малых так: пределом последовательности a_{n} называется конечное число a, если для любого бесконечно большого индекса N значение a_{N} бесконечно близко к a (то есть, просто a_{N}=a для любого бесконечно большого N). Если же a_{N}=a только для одного конкретного бесконечно большого N, то предел лишь частичный.

Я полагаю, что многие студенты согласятся продать душу дьяволу за возможность иметь такое определение предела. Вся обычная казуистика определения предела задом-наперёд-совсем-наоборот на самом деле проистекает только от упорного нежелания признать факт наличия бесконечно малых констант, которые собой делают определение совершенно прозрачным. Ничему, кроме этого, она не служит и ничего, кроме этого, не даёт.

Теперь студент не только с полным основанием может представлять себе (как он всё равно только и может себе представить это), что «для всех очень больших номеров a_{N} очень близко к a», но, что гораздо более важно, он может теперь манипулировать бесконечно большими и бесконечно малыми по точным правилам, не позволяющим ему совершать ошибки в рассуждениях.

Но анализ бесконечно малых был бы лишь методическим приёмом, если бы только позволял формулировать основные определения на нормальном языке. Как по-настоящему более широкая новая-старая формулировка матанализа он сразу даёт принципиально новые понятия, имеющие непосредственные практические приложения взамен изогнутых костылей, не имеющих реального смысла, которые убогая теоретикомножественная формулировка вынуждена поставлять приложениям.

Число a называют микропределом ограниченной последовательности a_{N}, если для данного N и всех бесконечно больших M\le N будет a_{M}=a.

Подобные понятия о «предельно больших бесконечностях» испокон веку используются физиками, экономистами, экологами, демографами. Но бедные труженики естествознания всё это время принуждены манипулировать бесконечностями методом тыка, каждый раз перепроверяя результаты экспериментально, так как математики упорно отказываются снабжать их соответствующим формализмом, бормоча, что бесконечно больших констант не бывает, потому что не может быть никогда и, предлагая вместо них использовать последовательности, у которых тут нет никакого реального смысла. В результате физики лишь давно выработали иммунитет к нарциссизму математиков, великодушно поставляя им время от времени бесплатно целые новые разделы их собственной науки вроде обобщённых функций, анализа антикоммутирующих переменных или даже полуцелых представлений группы вращения и теории кос.

Упорство же математиков обусловлено, видимо, в основном их странной маниакальной верой в фундаментальный характер теории множеств для всей математики вообще, а потому и для матанализа в частности. При том, что глупость этого тезиса очевидна по меньшей мере уже полвека…

Бесконечно малое приращение переменной x, следуя Лейбницу, обозначают dx и называют дифференциалом. Если вследствие бесконечно малого приращения к конечному значению аргумента функция получает бесконечно малое же своё приращение, то такая функция называется непрерывной для данного конечного значения аргумента.

И снова, думается, многие студенты бы дорого заплатили за возможность иметь такое определение непрерывности. И снова анализ бесконечно малых был бы лишь методическим приёмом, если бы не давал принципиально новых понятий.

Функция называется микронепрерывной, если для бесконечно малого приращения некоторого (не обязательно конечного) значения аргумента она испытывает бесконечно малое же своё приращение. Функция, микронепрерывная для каждого значения своего аргумента из некоторого промежутка, называется равномерно непрерывной на нём. Таким образом в анализе бесконечно малых понятие непрерывности в каждой вещественной точке (микронепрерывности) совпадает чудесным образом с понятием равномерной непрерывности, чего нет и впомине в кастрированном формализме.

Спросите себя или сведущих знакомых: каков механизм того странного факта, что функция, непрерывная в каждой точке интервала может и не быть равномерно непрерывной на нём? Блажен, кто сможет объяснить причину этого явления (в том сильно помогает геометрический смысл равномерной непрерывности, но и он не даёт достаточно ясной картины). Большинство учебников написано так, что создаётся впечатление, будто их авторы сами не понимают смысла равномерной непрерывности, а просто запомнили в своё время его определение да несколько следствий и примеров, и теперь тиражируют этот способ обучения в следующих поколениях.

А ведь дело просто в том, что на границах интервала функция может уходить в бесконечность настолько быстро, что раздует монаду конца отрезка до конечных размеров, породив «лишние» значения, вызывающие скачок функции. Например функция x^{2} непрерывна в каждой конечной точке числовой прямой, но не равномерно непрерывна на ней, потому что раздувает монаду бесконечно удалённой точки. Действительно, взяв бесконечно большое X и бесконечно малое приращение к нему \frac{1}{X} получим \left(X+\frac{1}{X}\right)^{2}-X^{2}=2+\frac{1}{X^{2}}, то есть конечный скачок.

Студенту нетрудно будет теперь сообразить условия того, что функция уходит в бесконечность слишком медленно для этого и, что у границ конечного интервала она всегда будет расти достаточно быстро, если уходит в бесконечность на них. И ему нет необходимости изобретать каждый раз новый способ доказательства многочисленных признаков равномерной непрерывности, так как все они получаются из одного этого принципа.

Бесконечно малые точно равны нулю, но их отношение легко может оказаться конечным числом. Производной функции y аргумента x называется конечная часть отношения приращения функции к бесконечно малому приращению аргумента, если она остаётся одним и тем же конечным числом для любого бесконечно малого приращения аргумента.

Так для y=x^{2} будет dy=(x+dx)^{2}-x^{2}=2xdx+dx^{2} и \frac{dy}{dx}=2x+dx. То есть \frac{dy}{dx}=2x, потому что dx бесконечно мало. Это рассуждение проделывал ещё П. Ферма, открывший много приёмов анализа, но не пытавшийся их как-то обобщить.

Если отношение \frac{dy}{dx} бесконечно мало, то dy называют бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с dx.

Можно разбить отрезок изменения переменной x на бесконечно большое число бесконечно малых частей и сложить все приращения функции на них. Тогда (при выполнении соответствующих нехитрых условий) \int dy=y_{b}-y_{a}. Причём, dy нам нужно знать только с точностью до первого порядка, так как, вполне очевидно, что, если сумма бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых равна конечному числу, то это бесконечно большое число слагаемых слишком мало, чтобы сумма такого количества бесконечно малых второго порядка дала конечное значение. Впрочем, эти слова не трудно записать и латинскими буквами.

Можно было бы множить и множить такие примеры перевода на человеческий язык определений и доказательств теоретикомножественной абракадабры, но огромная ценность новой-старой формулировки для целей обучения, думается, уже вполне видна.

«Итак, что Вам нужно? Кроме чуда…»

Такие видные математики, как М. Клайн и С. П. Новиков, много открытым текстом говорят о настоящем кризисе современной математики. Математики уже с девятнадцатого столетия упорно стремятся отгородиться от реальности, и у них это до сих пор не получилось только потому, что естествознание не позволяет им это сделать, заставляя работать на себя даже через не хочу.

Ложные представления о логическом совершенстве и строгости только вредят прогрессу и поощряют толочь воду в ступе.

Когда Я. Д. Зельдович выпустил свою знаменитую книжку-учебник по матанализу для начинающих физиков и техников, ведущие математики приняли в штыки её нарочитую «нестрогость». Но даже бывший в первых рядах противников Понтрягин в конце концов признал пользу человекопонятного изложения матанализа (возможно, это определило его отношение к колмогоровской реформе). Я думаю, что уже настало время и начинающим математикам тоже иметь курс матанализа без глупейшей чепухи, выдаваемой за «логическую обоснованность» и «строгость».

Но кроме того инфинитезимальный анализ не следует рассматривать только как ещё одну методически полезную формулировку существующего материала. Приятным его свойством является то, что доказательство любого утверждения, относящегося к конечным числам и их множествам, доказанное мощными средствами инфинитезимального анализа, можно, подтянув левую ступню к правому уху и перекрестясь, переформулировать на теоретикомножественном языке. Не стоит, тем не менее, это приятное свойство рассматривать как основное: анализ бесконечно малых далеко выходит за рамки теории множеств.

Комментариев: 10

  1. 1 Корнеев В.Ф.:

    Коль Коэн доказал невозможность установления истинности континуум-гипотезы, то отсюда следует, что указать промежуточное множество невозможно, а следовательно его не существует, ибо противоположное будет противоречить самой теореме Коэна. Вот и все доказательство. Одним предложением!
    Теорема Коэна показала себя змеей, пожирающей самую себя с хвоста (вот уж поистине бесплатный обед!). Если теорема Коэна верна, то она … не верна! Гордиевы узлы нужно развязывать по-Македонски.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Меня в связи с этим такой вопрос давно интересует: а, если мне в реальной жизни потребуется множество вещественных чисел такой вот мощности, то смогу я его иметь или нет? В реальной жизни вещественные числа лишь абстрагируют значения физвеличин, которые можно легко пощупать, поэтому “смогу” или “не смогу” иногда можно выразить даже в рублях. Коэн говорит, что смогу или не смогу зависит только от того, буду ли считать верной гипотезу континуума или нет. Но реальность не я придумал — я лишь её моделирую. Откуда мне знать, верна там гипотеза континуума или нет?

    [Ответить]

    Chuk Reply:

    Вопрос о том, к какому классу причислить то или иное множество – это вопрос не существования этого самого множества, а непротиворечивой классификации всех множеств в принципе. Ну например, попытаемся классифицировать животных на тех, кто умеет летает и не умеет летает. Тогда промежуточного состояния быть не может, и все птицы автоматом попадут в 1 категорию. А если допустить иную классификацию, например, “летает”, “не летает”, “летает и передвигается на лапах”, то птицы окажутся уже в 3 категории. Но на их существовании это никак не отразится.

    [Ответить]

  2. 2 Корнеев В.Ф.:

    “потребуется множество вещественных чисел такой вот мощности”. Промежуточной?

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Промежуточной. В реальной жизни свойства вещественных чисел можно пощупать. Например, существование иррациональных чисел — это тот факт, что, измеряя диагональ квадрата со всё большей точностью, мы будем получать всё новые значения. Этот факт соответствует мощности континуума множества вещественных чисел. А какие факты соответствуют гипотезе континуума? Или, хотябы, кто из математиков сейчас занят поиском таких фактов? Ведь понимание подобных вещей иногда даже непосредственно в рублях выражается: полезно не искать то, чего нет; зная об этом наперёд, можно много денег сэкономить.

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:

    Промежуточные множества ведут к мнимым множествам.Ведь ни одного реально нельзя представить.

    [Ответить]

  3. 3 Эварист:

    Вейерштрассовкое определение предела – глупейшая чепуха?В жизненных задачах только старая математика и работает.Функторы , категории ,всякие леммы цорна удел особо одаренных.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Это определение предела (кошишковское) знал ещё Ньютон. Школьного учителя Вейрштрасса лишь осенило, что можно непрерывность и равномерную непрерывность определить задом наперёд, не упоминая бесконечно малых констант. Но и он, и Коши определяли непрерывность одинаково: бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Обожествление же епсилон-дельта техники состоялось только в 30-х годах 20-го века, когда и бесконечно малые переменные приказано было забыть. Коши и Вейрштрасс к этому не имеют никакого отношения.

    [Ответить]

    Эварист Reply:

    нестандартный анализ Робинсона не работает,в отличие от классического.это математический юмор,физикам так объясняют математику (они пределов не понимают).вообще инфинитные методы уместны только в теории меры,в начальном матановском курсе они нежелательны.

    [Ответить]

    zbl Reply:

    Вы прочитали только первый и последний абзацы? Ну, и на том спасибо.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение