Число 2014

1. Числа Моцкина

Числа Моцкина названы в честь Теодора Моцкина, израильско-американского математика.

Число Моцкина (обозначается

    \[M_n\]

) есть число способов нарисовать непересекающиеся хорды окружности с концами в

    \[n\]

точках. Например,

    \[M_4= 9\]

— есть 9 способов нарисовать отрезки, которые не пересекаются, с концами в 4 точках окружности:

Ясно, что

    \[M_1 = 1, M_2 = 2, M_3 = 4\]

, и

    \[M_4 = 9\]

.

Найдем следующее число. Предположим, что у нас есть

    \[n\]

точек и мы знаем

    \[M_n\]

. Добавим еще одну точку. Нужно найти

    \[M_{n+1}\]

. Сколько способов соединить хордами данные

    \[n+1\]

точки?

    \[M_n\]

способов, если проводить непересекающиеся хорды, соединяющие

    \[n\]

точек, не считая последнюю добавленную. Теперь будем учитывать эту новую точку. Соединим нашу точку с одной из точек, пусть это точка с номером

    \[k\]

. Полученная хорда разделит точки на две части, одна из которых содержит

    \[k-1\]

точку (

    \[M_{k-1}\]

способов проведения хорд), а вторая —

    \[n-k\]

точек (

    \[M_{n-k}\]

способов проведения хорд). Это разделение, следовательно, дает

    \[M_{k-1}\times M_{n-k}\]

способов проведения хорд:

И количество способов проведения хорд мы подсчитываем для каждого

    \[k\]

от

    \[1\]

до

    \[n\]

(проводим хорду с концами в точках с номерами

    \[n+1\]

и

    \[k\]

для всех таких

    \[k\]

). Итак:

    \[\displaystyle M_{n+1}=M_n+\sum_{k=1}^nM_{k-1}M_{n-k}.\]

Используя эту формулу, можно найти, что

    \[M_5 = 21, M_6= 51, M_7=127, M_8= 323,M_9= 835\]

и

    \[M_{10}= 2188.\]

Нет, 2014 не является числом Моцкина.

Но есть и другие способы интерпретировать числа Моцкина. Рассмотрим путь Моцкина — путь длины

    \[n\]

, который выходит из точки с координатами

    \[(0,0)\]

и завершается в точке с координатами

    \[(n,0)\]

. Длина пути —

    \[n\]

. Двигаться можно только вправо (вверх, вниз или прямо). Количество путей Моцкина длины

    \[n\]

равно

    \[M_n\]

. Таким образом, есть 9 путей Моцкина длины 4:

9 путей Моцкина длины 4

Вы можете получить путь Моцкина из расположения хорд окружности, двигаясь от одной точки к другой по порядку. Начало хорды будет указывать путь вверх, а конец — путь вниз. На рисунке приведен пример расположения хорд для 8 точек на окружности и соответствующий путь Моцкина длиной 8.

Хорды на окружности и соответствующий путь Моцкина

Основной вопрос, который здесь возникает: чему равна сумма площадей фигур под путями Моцкина? Для

    \[n=4\]

можно ожидать, что

    \[A_4 = 16\]

. А для больших

    \[n\]

? Можно доказать, что площадь под путем Моцкина длины

    \[n\]

находится по формуле

    \[\displaystyle A_{n+1}=A_n+\sum_{k=1}^n\left((n-k+1)M_{k-1}M_{n-k}+A_{n-k}M_{k-1}+A_{k-1}M_{n-k}\right).\]

Можно найти, что

    \[A_5 = 56, A_6= 190, A_7=624\]

и

    \[A_8 = 2014\]

. Короче говоря, общая площадь под 323 путями Моцкина равна 2014!

2. 2014 является суммой 12 треугольных чисел (чисел вида

    \[T(N) = 1 +2 +3 + ... +N\]

) , начиная с двенадцатого:

    \[2014=T (12) + T (13) + \ldots + T (23) .\]

3.

    \[2014\]

имеет вид

    \[n(n+15)\]

:

    \[2014 = 38 \cdot (38 +15 )\]

.

4.

    \[2014 = 13^3-13^2 - 13^1-13^0.\]

5.

    \[5 \cdot 2^{2014}-1\]

— простое число.

6.

    \[2014\]

можно записать в виде суммы нескольких различных нечетных квадратов

    \[89\]

различными способами, это больше способов, чем для любого меньшего числа.

7.

    \[1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 2 = 2014\]

8.

    \[( 10 + 9 ) х ( (8 × 7) + 6 - 5 - 4) × (3 - 2 + 1 + 0) = 2014\]

Источник: http://eljjdx.canalblog.com/archives/2014/01/05/28584030.html

Комментариев: 5

  1. 1 Геннадий:

    Спасибо за оперативный ответ на последний комментарий. Извините за назойливость, но в тексте текущей статьи в некоторых местах неверен перевод. Между первыми двумя рисунками предложение, начинающееся ”Полученная хорда разделит точки на две части, одна из которых содержит…”, и далее в скобках надо говорить не о количестве образующихся хорд, а о числе способов их размещения (так и у автора в первоисточнике). Ну, и сразу же за вторым рисунком аналогичная неточность в тексте: не ”количество хорд мы подсчитываем”, а число расстановок этих хорд.
    Пользуясь случаем, задам такой вопрос: каково смысловое значение числа Моцкина с нулевым индексом (равное 1 согласно последовательности A001006)? Это число проявляется в сумме рекуррентного выражения, но автор умалчивает о нем. Например, окружность с одной точкой или путь длиной 1 еще воспринимаются адекватно. Но окружность без точек, особенно путь длины 0, не имеют смысла. Мне кажется, единственное предназначение

        \[M_0\]

    – это занять пустующее, удобное и престижное место в соответствующих формулах.
    Недавно пытался на примере скобочных последовательностей с нулями разобраться с этим числом. Судя по тем доводам, которые приведены в http://eremin.magekit.com/motzkin-bracket/ , число

        \[M_0\]

    лучше обнулить.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, исправила!
    Что касается Вашего вопроса, то точного ответа на него у меня нет. Да, для правильности рекуррентной формулы нужна

        \[1\]

    , а смысла тут не вижу тоже. Мы можем начинать последовательность вообще с

        \[M_1\]

    , как это и сделано в данной статье, или считать рекуррентную формулу верной для

        \[n\ge1\]

    .

    [Ответить]

    Геннадий Reply:

    Здравствуйте! Мне кажется, точного ответа на этот вопрос нет и у автора. Перечисляя числа Моцкина, он не указывает явно значение

        \[M_0\]

    , последовательность начинает с

        \[M_1\]

    , да и число

        \[M_0\]

    попадает в формулы в неявном виде. И нигде в статье (внимательно просмотрел оригинал) нет значения

        \[M_0\]

    , лишь единственная ссылка на A001006. Кстати, в переводе эта последовательность пропущена, и для неискушенного читателя

        \[M_0\]

    не определено.
    Конечно, рекуррентное выражение без

        \[M_0\]

    станет менее изящным, но в математике должен быть какой-то смысл у используемых объектов, переменная это или константа. Прочел как-то: «… удобно считать, что отсутствие чего-то можно наблюдать одним способом». По-моему, это некорректно. Все-таки, математика – строгая наука, и категории удобно/неудобно не уместны.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Добрый день! Я в самом деле не знаю, насколько это важно. Возьмем, например, известную последовательность чисел Фибоначчи. Есть два различных варианта задания первых двух членов этой последовательности. Т.е. она может выглядеть так:

        \[1,1,2,3,5,\ldots\]

    или так:

        \[0,1,1,2,3,5,\ldots\]

    . И как соотнести второй вариант с кроликами, не очень понятно.

    [Ответить]

    Геннадий Reply:

    Здравствуйте! С числами Фибоначчи более или менее понятно, нулевой член ряда часто опускают потому, что он особенно и не нужен. Но в обоих случаях мы имеем дело с одним и тем же рядом, так как при удалении нуля индексы ненулевых членов ряда не меняются, и производящая функция остается той же. И все кролики при деле, разве что кролик с индексом

        \[0\]

    , словно фантом или призрак (бестелесный и бесплодный), то проявляется, то исчезает, не влияя ни на что, временами занимая свое почетное, но бесполезное место.
    Еще напрашивается аналогия с натуральным рядом, уникальность которого в том, что индекс любого элемента совпадает с его значением, т.е.

        \[a_n=n\]

    . Математики до сих пор не пришли к единому мнению, одни работают с нулем (ряд начинают с

        \[a_0=0\]

    ), другие – нет (ряд начинают с

        \[a_1=1\]

    ). Но это отличие несущественно, в обоих случаях мы имеем практически один и тот же натуральный ряд.
    Если начальный элемент какого-либо ряда равен

        \[0\]

    , то он всегда получает нулевой индекс, и такой элемент часто опускают. Обычно, запись

        \[a_0=0\]

    не является информативной. В нашем примере очевидный факт отсутствия путей Моцкина нулевой длины не обладает новизной (обычно, не декларируют отсутствующие признаки у математических объектов), и если обнулить

        \[M_0\]

    , то этот элемент также становится бесполезным.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение