Число 2014

1. Числа Моцкина

Числа Моцкина названы в честь Теодора Моцкина, израильско-американского математика.

Число Моцкина (обозначается M_n) есть число способов нарисовать непересекающиеся хорды окружности с концами в n точках. Например, M_4= 9 — есть 9 способов нарисовать отрезки, которые не пересекаются, с концами в 4 точках окружности:

Ясно, что M_1 = 1, M_2 = 2, M_3 = 4, и M_4 = 9.

Найдем следующее число. Предположим, что у нас есть n точек и мы знаем M_n. Добавим еще одну точку. Нужно найти M_{n+1}. Сколько способов соединить хордами данные n+1 точки?

M_n способов, если проводить непересекающиеся хорды, соединяющие n точек, не считая последнюю добавленную. Теперь будем учитывать эту новую точку. Соединим нашу точку с одной из точек, пусть это точка с номером k. Полученная хорда разделит точки на две части, одна из которых содержит k-1 точку (M_{k-1} способов проведения хорд), а вторая — n-k точек (M_{n-k} способов проведения хорд). Это разделение, следовательно, дает M_{k-1}\times M_{n-k} способов проведения хорд:

И количество способов проведения хорд мы подсчитываем для каждого k от 1 до n (проводим хорду с концами в точках с номерами n+1 и k для всех таких k). Итак:

\displaystyle M_{n+1}=M_n+\sum_{k=1}^nM_{k-1}M_{n-k}.

Используя эту формулу, можно найти, что

M_5 = 21, M_6= 51, M_7=127, M_8= 323,M_9= 835 и M_{10}= 2188.

Нет, 2014 не является числом Моцкина.

Но есть и другие способы интерпретировать числа Моцкина. Рассмотрим путь Моцкина — путь длины n, который выходит из точки с координатами (0,0) и завершается в точке с координатами (n,0). Длина пути — n. Двигаться можно только вправо (вверх, вниз или прямо). Количество путей Моцкина длины n равно M_n. Таким образом, есть 9 путей Моцкина длины 4:

9 путей Моцкина длины 4

Вы можете получить путь Моцкина из расположения хорд окружности, двигаясь от одной точки к другой по порядку. Начало хорды будет указывать путь вверх, а конец — путь вниз. На рисунке приведен пример расположения хорд для 8 точек на окружности и соответствующий путь Моцкина длиной 8.

Хорды на окружности и соответствующий путь Моцкина

Основной вопрос, который здесь возникает: чему равна сумма площадей фигур под путями Моцкина? Для n=4 можно ожидать, что A_4 = 16. А для большихn? Можно доказать, что площадь под путем Моцкина длины n находится по формуле

\displaystyle A_{n+1}=A_n+\sum_{k=1}^n\left((n-k+1)M_{k-1}M_{n-k}+A_{n-k}M_{k-1}+A_{k-1}M_{n-k}\right).

Можно найти, что A_5 = 56, A_6= 190, A_7=624 и A_8 = 2014. Короче говоря, общая площадь под 323 путями Моцкина равна 2014!

2. 2014 является суммой 12 треугольных чисел (чисел видаT(N) = 1 +2 +3 + … +N) , начиная с двенадцатого:

 2014=T (12) + T (13) + \ldots + T (23) .

3. 2014 имеет вид n(n+15): 2014 = 38 \cdot (38 +15 ) .

4. 2014 = 13^3-13^2 – 13^1-13^0.

5. 5 \cdot 2^{2014}-1 — простое число.

6. 2014 можно записать в виде суммы нескольких различных нечетных квадратов 89 различными способами, это больше способов, чем для любого меньшего числа.

7. 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 2 = 2014

8. ( 10 + 9 ) х ( (8 × 7) + 6 – 5 – 4) × (3 – 2 + 1 + 0) = 2014

Источник: http://eljjdx.canalblog.com/archives/2014/01/05/28584030.html

Комментариев: 5

  1. 1 Геннадий:

    Спасибо за оперативный ответ на последний комментарий. Извините за назойливость, но в тексте текущей статьи в некоторых местах неверен перевод. Между первыми двумя рисунками предложение, начинающееся ”Полученная хорда разделит точки на две части, одна из которых содержит…”, и далее в скобках надо говорить не о количестве образующихся хорд, а о числе способов их размещения (так и у автора в первоисточнике). Ну, и сразу же за вторым рисунком аналогичная неточность в тексте: не ”количество хорд мы подсчитываем”, а число расстановок этих хорд.
    Пользуясь случаем, задам такой вопрос: каково смысловое значение числа Моцкина с нулевым индексом (равное 1 согласно последовательности A001006)? Это число проявляется в сумме рекуррентного выражения, но автор умалчивает о нем. Например, окружность с одной точкой или путь длиной 1 еще воспринимаются адекватно. Но окружность без точек, особенно путь длины 0, не имеют смысла. Мне кажется, единственное предназначение M_0 – это занять пустующее, удобное и престижное место в соответствующих формулах.
    Недавно пытался на примере скобочных последовательностей с нулями разобраться с этим числом. Судя по тем доводам, которые приведены в http://eremin.magekit.com/motzkin-bracket/ , число M_0 лучше обнулить.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, исправила!
    Что касается Вашего вопроса, то точного ответа на него у меня нет. Да, для правильности рекуррентной формулы нужна 1, а смысла тут не вижу тоже. Мы можем начинать последовательность вообще с M_1, как это и сделано в данной статье, или считать рекуррентную формулу верной для n\ge1.

    [Ответить]

    Геннадий Reply:

    Здравствуйте! Мне кажется, точного ответа на этот вопрос нет и у автора. Перечисляя числа Моцкина, он не указывает явно значение M_0, последовательность начинает с M_1, да и число M_0 попадает в формулы в неявном виде. И нигде в статье (внимательно просмотрел оригинал) нет значения M_0, лишь единственная ссылка на A001006. Кстати, в переводе эта последовательность пропущена, и для неискушенного читателя M_0 не определено.
    Конечно, рекуррентное выражение без M_0 станет менее изящным, но в математике должен быть какой-то смысл у используемых объектов, переменная это или константа. Прочел как-то: «… удобно считать, что отсутствие чего-то можно наблюдать одним способом». По-моему, это некорректно. Все-таки, математика – строгая наука, и категории удобно/неудобно не уместны.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Добрый день! Я в самом деле не знаю, насколько это важно. Возьмем, например, известную последовательность чисел Фибоначчи. Есть два различных варианта задания первых двух членов этой последовательности. Т.е. она может выглядеть так: 1,1,2,3,5,\ldots или так: 0,1,1,2,3,5,\ldots. И как соотнести второй вариант с кроликами, не очень понятно.

    [Ответить]

    Геннадий Reply:

    Здравствуйте! С числами Фибоначчи более или менее понятно, нулевой член ряда часто опускают потому, что он особенно и не нужен. Но в обоих случаях мы имеем дело с одним и тем же рядом, так как при удалении нуля индексы ненулевых членов ряда не меняются, и производящая функция остается той же. И все кролики при деле, разве что кролик с индексом 0, словно фантом или призрак (бестелесный и бесплодный), то проявляется, то исчезает, не влияя ни на что, временами занимая свое почетное, но бесполезное место.
    Еще напрашивается аналогия с натуральным рядом, уникальность которого в том, что индекс любого элемента совпадает с его значением, т.е. a_n=n. Математики до сих пор не пришли к единому мнению, одни работают с нулем (ряд начинают с a_0=0), другие – нет (ряд начинают с a_1=1). Но это отличие несущественно, в обоих случаях мы имеем практически один и тот же натуральный ряд.
    Если начальный элемент какого-либо ряда равен 0, то он всегда получает нулевой индекс, и такой элемент часто опускают. Обычно, запись a_0=0 не является информативной. В нашем примере очевидный факт отсутствия путей Моцкина нулевой длины не обладает новизной (обычно, не декларируют отсутствующие признаки у математических объектов), и если обнулить M_0, то этот элемент также становится бесполезным.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение