Число 11

Пишите об интересных свойствах числа 11. Картинки приветствуются! ;)

Выкладываю свойства числа 11, которые прислал Лейб Александрович Штейнгарц.

1. Сумма всех целых чисел от 1 до 10 делится на 11.

2. Убедитесь, что сумма всех целых чисел от 1 до МИЛЛИАРДА делится на 11.

3. Возьмите любое натуральное число, состоящее из нечетного количества цифр. Например, 12345. Запишите это число в обратном порядке: 54321. Вычтем из бóльшего числа меньшее.

Убедитесь, что полученное число делится на 11 без остатка. Постарайтесь доказать, что так будет всегда.

4. На 11 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на чётных местах, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Пример 1.
Число 2013 делится на 11, так как

2+1 = 3
0+3 = 3

Пример 2.
Испытаем число 87 635 064:

8+6+5+6 = 25
7+3+0+4 = 14
25 – 14 =11

Значит, данное число делится на 11.

5. ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 11 из предыдущего пункта можно сформулировать и таким образом.

На 11 делятся те и только те числа, для которых соответствующая знакопеременная сумма его цифр делится на 11.
Например, шестизначное число ABCDEF делится на 11 лишь только в том случае, если на 11 делится следующее число:

6. Существует и другой ПРИЗНАК ДЕЛИМОСТИ НА 11,
Он состоит в том, что испытуемое число разбивают справа налево на грани по две цифры в каждой и складывают эти грани.
Если полученная сумма делится без остатка на 11, то и испытуемое число кратно 11, в противном случае – нет.

Пример.
Например, пусть требуется испытать число 62348.
Разбиваем данное число на грани (справа налево) :
{ 6 } { 23 } { 48 }
И складываем все три грани:
6 + 23 + 48 = 77.
Так как 77 делится без остатка на 11, то и число 62348 кратно 11.
62348 : 11 = 5668.

7. Возьмем любое число, которое содержит НЕЧЕТНОЕ количество цифр и запишем его два раза подряд. Тогда полученное число обязательно делится на 11.

Например, на 11 делятся следующие числа:


Проверьте это непосредственно, а затем объясните этот факт при помощи ПРИЗНАКА ДЕЛИМОСТИ на 11.

8. А теперь возьмем любое натуральное число и припишем к нему число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Тогда полученное число обязательно делится на 11.
Например, на 11 делятся следующие числа:


Проверьте это непосредственно (к примеру, на калькуляторе), а затем объясните этот факт при помощи ПРИЗНАКА ДЕЛИМОСТИ на 11.

9. В слове ОДИННАДЦАТЬ – 11 букв. Это число, как бы, рассказывает само о себе.

10. В этих примерах в ответах получаются числа-палиндромы (то есть числа, которые одинаково читаются как слева направо, так и справа налево):

11. Напишем число 11 четыре раза подряд и возведем полученное число в квадрат. Вот какая возникает красота!

12. Количество букв в русском алфавите делится на 11:

13. «АПОЛЛОН-11» (англ. Apollo 11) — американский пилотируемый космический корабль, в ходе полёта которого жители Земли впервые в истории совершили посадку на поверхность другого небесного тела – Луны.
Первым человеком, ступившим на Луну, стал Нил Армстронг. Это произошло 20 июля 1969 года.
Любопытно, что число 1969 делится на 11.

14. В футболе в каждой команде по 11 игроков.

15. ОДИННАДЦАТИМЕТРОВЫЙ удар в футболе (или пенальти) – это специально назначаемый удар по воротам, защищаемым только вратарём, с расстояния 11 метров.

16. Номера мобильных телефонов в России содержат 11 цифр.

17. Колумбийский каскадер, Джон Флорес стал первым, кто покинул самолет с парашютом на самой большой для таких рекордов высоте – 11 километров. Спортсмен – экстремал раскрыл парашют только на высоте один километр от поверхности Земли.

18. Недавно был поставлен рекорд подводной видеосъемки на глубине 11 километров. Американский батискаф Nereus успешно достиг глубочайшей точки на планете – дна Марианского разлома в западной части Тихого океана.

Теперь исследователи намерены поставить точку во многих вопросах, касающихся Марианской впадины. В ближайшей перспективе ученые осуществят пробы грунта и займутся поисками возможных экзотических форм жизни, обитающих на глубине 11 километров.

19. Буква Й является 11-й буквой в русском алфавите.
Эта буква очень похожа, и внешне, и по произношению, на букву И.

Но при этом довольно парадоксально, что буква И считается ГЛАСНОЙ буквой, а буква Й – СОГЛАСНОЙ.
Вот забавный стишок про букву Й (взят из Интернете):

20. Данный арифметический ребус имеет единственное решение.
Попробуйте распутать его.

Показать решение

21. Проверьте на нескольких примерах, что для любого натурального числа n одно из следующих двух чисел (и только одно из них) обязательно делится на 11.

Постарайтесь доказать этот факт.

22. Великий русский математик Николай Иванович Лобачевский был создателем неевклидовой геометрии, в которой досконально и очень глубоко исследовал аксиоматику, связанную с параллельностью прямых линий.

При этом любопытно, что:

• Слово ЛОБАЧЕВСКИЙ содержит 11 букв.
• Слово АКСИОМАТИКА содержит 11 букв.
• Слово НЕЕВКЛИДОВА содержит 11 букв.
• Слова ПРЯМЫЕ ЛИНИИ (вместе) содержат 11 букв.
• Слово ПАРАЛЛЕЛЬНЫ содержит 11 букв.
• И, кроме того, символ, обозначающий ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ, очень похож на число 11:

23. Аттракцион

«КВАДРАТ БОЛЬШОЙ
И КВАДРАТ ПОМЕНЬШЕ»

На обычном калькуляторе имеется очень много возможностей получить число, которое делится на 11 без остатка.

Наберите четыре выделенные цифры – по часовой стрелке или против часовой стрелки (см. левый или правый рисунок). Начинать можно с какой угодно цифры. Убедитесь, что полученное четырехзначное число обязательно делится на 11.
Например, таким способом можно получить следующие числа:

7931

2684

А почему так всегда получается ?

24. Аттракцион

«КВАДРАТИКИ»

Наберите четыре выделенные цифры в любом маленьком квадратике такого размера – по часовой стрелке или против часовой стрелки (как на левом или правом рисунке). Начинать можно с какой угодно цифры. Убедитесь, что полученное четырехзначное число обязательно делится на 11.
Например, таким способом можно получить следующие числа:

8569

5214

А почему так всегда получается?

25. Аттракцион

«ПРЯМОУГОЛЬНИКИ»

Наберите четыре выделенные цифры в любом прямоугольнике такого размера – по часовой стрелке или против часовой стрелки (как на левом или правом рисунке). Начинать можно с какой угодно цифры. Убедитесь, что полученное четырехзначное число обязательно делится на 11.

Например, таким способом можно получить следующие числа:

7821

4796

А почему так всегда получается?

26. Аттракцион

«ПО СПИРАЛИ»

Наберите восемь цифр – по часовой стрелке или против часовой стрелки (как на левом или правом рисунке). Начинать можно с какой угодно цифры. Убедитесь, что полученное восьмизначное число обязательно делится на 11.
Например, таким способом можно получить следующие числа:

78963214

23698741

А почему так всегда получается?

27. Аттракцион

«ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ»

Наберите четыре выделенные цифры в любом параллелограмме – по часовой стрелке или против часовой стрелки (как на левом или правом рисунке). Начинать можно с какой угодно цифры. Убедитесь, что полученное четырехзначное число обязательно делится на 11.

Например, таким способом можно получить следующие числа:

5786

2981

А почему так всегда получается?

28. Аттракцион

«ШЕСТИУГОЛЬНИК»

Наберите шесть цифр – по часовой стрелке или против часовой стрелки. Начинать можно с какой угодно цифры. Убедитесь, что полученное шестизначное число обязательно делится на 11.
Например, таким способом можно получить следующее число:

236874

А почему так всегда получается?

29. Аттракцион

«ИКСЫ»

Наберите подряд три цифры на любой линии, проходящей через центр. Затем таким же образом наберите еще три цифры.
Убедитесь, что полученное шестизначное число обязательно делится на 11.

Например, таким способом можно получить следующие числа:

951258

159357

А почему так всегда получается?

30. Аттракцион

«ЛОЩАДЬЮ ХОДИ !»

Выберите любую цифру, кроме цифры 5. Обойдите ходом шахматного коня все возможные цифры, не набирая дважды одну и ту же цифру. Таким образом можно получить некоторое восьмизначное число. Убедитесь, что полученное число обязательно делится на 11.

Например, таким способом можно получить следующее число:

29438167

А почему так всегда получается?

31. Возьмите любое целое число, которое не делится на 11. Разделите его на 11. Убедитесь, что ВСЕГДА будет получаться периодическая десятичная дробь, период которой состоит из двух цифр.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение