Рубрика «Статьи по математике»

Центральная предельная теорема

Каков средний вес человека?

Основная идея статистики заключается в том, что о населении в целом можно сказать что-то, выяснив это для меньшей группы людей. Без этой идеи не было бы опросов общественного мнения или предвыборных прогнозов, не было бы возможности испытать новые медицинские препараты или исследовать безопасность мостов и т. д. В значительной степени за факт, что мы можем делать все это и уменьшать неопределенности прогнозов, отвечает центральная предельная теорема.

Чтобы понять, как работает теорема, представим, что нужно узнать средний вес жителя Великобритании. Вы выходите и измеряете вес, скажем, ста случайно выбранных людей, и находите средний вес человека для этой группы — назовем это выборочным средним. Теперь выборочное среднее должно дать достаточно точное представление о среднем по стране. Но что, если вам в выборке попались только полные люди или, наоборот, только очень худые?

Чтобы получить представление о том, насколько типичным будет полученное среднее значение, нужно знать, как средний вес выборки из 100 человек варьируется в зависимости от населения: если вы взяли очень много групп из 100 человек и нашли средний вес для каждой группы, то насколько будут различаться найденные числа? И насколько его среднее (среднее средних) будет совпадать с истинным средним весом человека в популяции? Читать полностью ‘Центральная предельная теорема’ »

Уравнения Навье — Стокса

Турбулентность грандиозна, красива и потенциально опасна. Она возникает в жидкостях, например, в бьющихся волнах и бурных реках, а также в газах, например, в воздушных потоках вокруг машины или самолета. Турбулентность невероятно трудно поддается описанию, что связано с самой ее природой. Если измерять скорость и определять направление течения воды в турбулентном потоке, то можно получить совершенно разные значения в точках, расположенных очень близко друг к другу.

Турбулентность воды: водопады Игуасу на границе Бразилии и Аргентины

Несмотря на эту сложность, ученые считают, что течение жидкости с приемлемым уровнем точности описывается уравнениями Навье — Стокса. Читать полностью ‘Уравнения Навье — Стокса’ »

Теоремы Тебо

Виктор Мишель Жан-Мари Тебо (1882–1960) — французский математик, геометр. Закончил учительский колледж города Лаваль в департаменте Майенн, преподавал математику в школе, в технической школе, затем получил право преподавания в колледжах для учителей. Однако в 1910 г. отказался от преподавания, так как скромное жалованье не позволяло ему содержать семью, в которой к тому времени было 6 детей. До 1923 г. работал фабричным суперинтендантом, а потом — главным страховым инспектором. В 1940 г. вышел на пенсию. Несмотря на занятость на работе, Тебо все время интенсивно и плодотворно занимался математикой. В 1932 г. он стал членом Американской математической ассоциации. В 1935 г. он стал Кавалером ордена бельгийской короны за деятельность в Брюссельском научном обществе и сотрудничество с журналами Annales и Mathesis. В 1943 г. он установил премию Виктора Тебо. Она присуждается раз в два года Парижской академией наук за оригинальные исследования по геометрии или теории чисел, причем предпочтение отдается учителям средних или даже начальных школ.

Первая теорема Тебо. Центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма, лежат в вершинах квадрата.

Доказательство. Обозначим через A и C центры больших квадратов, через B и D — центры малых квадратов, через O — точку пересечения диагоналей параллелограмма (см. рис.).

Читать полностью ‘Теоремы Тебо’ »

Скачок Виета

В математике скачок Виета, известный также как отражение корней, — метод доказательства, используемый в теории чисел. Он наиболее часто применяется для задач, в которых дано соотношение между двумя натуральными числами и требуется доказать некоторое утверждение, связанное с этими числами. Есть несколько методов скачков Виета, но все они связаны общей идеей бесконечного спуска, позволяющей находить новые решения уравнения с использованием формул Виета.

История метода

Скачок Виета — относительно новый метод в решении математических олимпиадных задач. Первая задача, для решения которой он был использован, — задача Международной олимпиады по математике (ММО) 1988 г., она считается самой сложной из задач этой олимпиады. Артур Энгель (немецкий учитель математики, автор множества учебников, книг и статей по математике) написал о сложности этой задачи: Читать полностью ‘Скачок Виета’ »

Чудесный треугольник Блеза Паскаля

Все узнают о треугольнике Паскаля в юности. Но, видимо, узнают не все чудеса, которые содержит треугольник. В самом деле, мы до сих пор открываем новые вещи!

Строится треугольник довольно легко: по внешним краям нужно поставить единицы, а каждое число внутри равно сумме двух чисел, которые стоят над ним. Так, третье число в шестой строке равно 10, потому что это сумма чисел 4 и 6.

Внимание! На самом деле мы будем говорить, что 10 является вторым числом в пятой строке. По причинам, которые скоро станут ясны, мы начинаем нумеровать строки и столбцы треугольника с нуля. Например, второе число в четвертой строке равно 6.

Зная правило сложения, можно продолжать бесконечно: вы можете написать столько строк, сколько позволит ваше терпение.

Первые 10 строк треугольника Паскаля

Читать полностью ‘Чудесный треугольник Блеза Паскаля’ »

Теорема Никомаха

Никомах — математик, философ, теоретик музыки, живший в первой половине второго века н.э. в Герасе (ныне Джераш на севере Иордании). О самом Никомахе сведений не имеется, однако до нас дошли его сочинения. При этом “Ввведение в арифметику” и “Руководство по гармонике” сохранились полностью.

Теорема (Никомах).

1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=(1+2+3+\ldots+n)^2.

Читать полностью ‘Теорема Никомаха’ »