Рубрика «Разные задачи»

Гипотеза об одиноком бегуне

Гипотеза об одиноком бегуне выдвинута Уиллсом (J. M. Wills) в 1967 г. Название ей дал Годдин (L. Goddyn) в 1998 г.




Читать полностью ‘Гипотеза об одиноком бегуне’ »

Лучшие математические головоломки Мартина Гарднера

Мартин Гарднер

1. Безумный разрез

Вы должны сделать один разрез (или нарисовать линию) — конечно, это не обязательно должна быть прямая — которая разделит фигуру на две одинаковые части. Читать полностью ‘Лучшие математические головоломки Мартина Гарднера’ »

Когда интуиция подводит: неверные предположения в математике

Хорошо известно, что наша интуиция не является совершенной. Мы предсказуемо иррациональны в нашей повседневной жизни при выборе из огромного количества вариантов. Но как насчет чего-то немного более сложного? Бывают ли случаи, когда мы используем наш разум — нашу способность к экстраполяции и прогнозированию — и все равно терпим неудачу, потому что вещи просто оказываются слишком сложными. Такая ситуация, похоже, имеется в виду в следующем вопросе: “Каков пример математической гипотезы, опровергнутой только для “очень больших’’ чисел? Читать полностью ‘Когда интуиция подводит: неверные предположения в математике’ »

Немного тригонометрии

Прошедший 2013 год был годом числа \pi. В самом деле, смотрите:

    \[{\rm arctg}\,2+{\rm arct}\,0+{\rm arctg}\,1+{\rm arctg}\,3=\pi.\]

Два слагаемых в этой сумме легко вычисляются, действительно

{\rm arctg}\,0=0,\ \displaystyle {\rm arctg}\, 1=\frac{\pi}{4}.

И остается доказать, что

    \[{\rm arctg}\,2+{\rm arctg}\,3=\frac{3\pi}{4}.\]

Делать это можно совершенно разными способами. Читать полностью ‘Немного тригонометрии’ »

L Олимпиада по математике, Испания, продолжение

Это задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, второй день. Задачи первого дня смотрите здесь.

4. Пусть \{ x_n\}_{n\ge 1} — последовательность натуральных чисел, такая что x_1=2 и x_{n+1}=2x_n^3+x_n для любого n\ge 1. Найдите, на какую наибольшую степень числа 5 делится x_{2014}^2+1. Читать полностью ‘L Олимпиада по математике, Испания, продолжение’ »

L Олимпиада по математике, Испания

Уважаемые посетители!

Предлагаю вам задачи заключительного этапа L Испанской олимпиады по математике, проходившей в Рекене 28 и 29 марта 2014 года, первый день. Задачи второго дня олимпиады смотрите здесь.

1. Возможно ли на окружности расставить числа

    \[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\]

так, чтобы сумма любых трех последовательно взятых чисел не превосходила а)

    \[13\]

, б)

    \[14\]

, в)

    \[15\]

? Читать полностью ‘L Олимпиада по математике, Испания’ »