Таинственное число 6174

Никто не может раскрыть тайну

Число 6174 — в самом деле загадочное число. Это не бросается в глаза. Но как мы сейчас увидим, любой, кто умеет вычитать, может раскрыть тайну числа 6174.

Операция Капрекара

В 1949 году математик Д. Р. Капрекар из Деолали, Индия, разработал процесс, известный теперь как операция Капрекара. Сначала выберем четырехзначное число, состоящее хотя бы из двух различных цифр. Затем переставим его цифры, чтобы получить самое большое и самое маленькое из возможных чисел, образованных цифрами этого числа. Наконец, вычтем самое маленькое число из самого большого, получим новое число, для которого снова повторим операцию.

Это простая операция, но Капрекар обнаружил, что она приводит к неожиданному результату. Давайте попробуем делать ее, начиная с числа 2005. Максимальное число, которое мы можем составить из этих цифр, равно 5200, минимальное — 0025 или 25 (если одна или несколько цифр равны нулю, поместим нули слева для минимального числа). Вычитаем:

    \[5200 - 0025 = 5175,\]

    \[7551 - 1557 = 5994,\]

    \[9954 - 4599 = 5355,\]

    \[5553 - 3555 = 1998,\]

    \[9981 - 1899 = 8082,\]

    \[8820 - 0288 = 8532,\]

    \[8532 - 2358 = 6174,\]

    \[7641 - 1467 = 6174.\]

Когда мы получим число 6174, операция повторяется, каждый раз давая 6174. Назовем число 6174 ядром этой операции. Итак, 6174 — ядро операции Капрекара, но только ли 6174? Число 6174 не только единственное ядро операции, оно готовит еще один сюрприз. Попробуем еще раз, начав с другого числа, скажем, 1789:

    \[9871 - 1789 = 8082,\]

    \[8820 - 0288 = 8532,\]

    \[8532 - 2358 = 6174.\]

Мы снова получили 6174!

Очень таинственное число...

Когда мы начали с числа 2005, мы за семь шагов получили 6174, а для 1789 потребовалось всего три шага. Фактически 6174 получается для всех четырехзначных чисел, у которых не все цифры одинаковые. Это чудесно, не так ли? Операция Капрекара очень проста, но дает такой интересный результат. И это еще более интересно, если рассмотреть причину, по которой из всех четырехзначных чисел получается это загадочное число 6174.

Только 6174?

Чтобы получить максимальное четырехзначное число, нужно расположить четыре цифры в порядке убывания, минимальное — в порядке возрастания. Итак, для четырех цифр a, b, c, d, где

    \[9 \ge a\ge b \ge c \ge d \ge 0\]

и все цифры a, b, c, d не равны между собой, максимальное число– – abcd, а минимальное– – dcba. Мы можем вычислить результат операции Капрекара, используя стандартный метод вычитания «в столбик»:

    \[\begin{array}{rl} &abcd\\ -&\\ &dcba\\ \hline ABCD \end{array},\]

что дает соотношения D = 10 + d - a (так как a> d) C = 10 + c - 1 - b = 9 + c - b (при b> c - 1) B = b - 1 - c (при b> c) A = a - d для тех чисел, где a> b> c> d.

Число будет повторяться при операции Капрекара, если результирующее число ABCD можно записать, используя начальные четыре цифры a, b, c и d. Таким образом, мы можем найти ядра операции Капрекара, рассматривая все возможные комбинации \{ a, b, c, d\} и проверяя, удовлетворяют ли они вышеприведенным соотношениям. Каждая из 4! = 24 комбинаций дает систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными, из которой находим a, b, c и d.

Оказывается, что только одна из этих комбинаций дает целочисленные решения, которые удовлетворяют условию 9 \ge a \ge b \ge c \ge d \ge 0. Это комбинация ABCD = bdac, и решение системы уравнений: a = 7, b = 6, c = 4 и d = 1. Это ABCD = 6174. Нет никаких подходящих решений системы уравнений, таких что некоторые цифры из \{ a, b, c, d\} равны. Поэтому число 6174 — единственное число, которое не изменяется при операции Капрекара —наше таинственное число уникально.

Для трехзначных чисел происходит такое же явление. Например, применение операции Капрекара к трехзначному номеру 753 дает следующее:

    \[753 - 357 = 396,\]

    \[963 - 369 = 594,\]

    \[954 - 459 = 495,\]

    \[954 - 459 = 495.\]

Число 495 является единственным ядром для операции Капрекара с трехзначными числами, и из всех трехзначных чисел получается 495. Почему бы вам не проверить это самостоятельно? Как быстро получается 6174? В приведенной ниже таблице показаны результаты: каждое четырехзначное число, в котором не все цифры равны, достигает при процессе Капрекара 6174 не более чем за семь шагов.

Шаги Частота
0 1
1 356
2 519
3 2124
4 1124
5 1379
6 1508
7 1980

Каков путь к 6174?

Как и прежде, предположим, что четырехзначное число — abcd, где

    \[9 \ge a \ge b \ge c \ge d \ge 0.\]

Выполним первое вычитание. Максимальное число 1000a + 100b + 10c + d, минимальное — 1000d + 100c + 10b + a. Таким образом, вычитание дает:

    \[1000a + 100b + 10c + d - (1000d + 100c + 10b + a)=\]

    \[= 1000 (a-d) + 100 (b-c) + 10 (c-b) + (d-a)=\]

    \[= 999 (a-d) + 90 (b-c).\]

Разность a-d может принимать значения от 1 до 9, а b-c — от 0 до 9. Перебрав все возможности, мы можем получить все возможные результаты первого вычитания. Они представлены в таблице 1:

Таблица 1: Числа после первого вычитания в процессе Капрекара

Нас интересуют только числа, в которых не все цифры равны и

    \[a \ge b \ge c \ge d,\]

поэтому нам нужно только рассмотреть те числа, где a-d \ge b-c. Таким образом, мы можем не принимать в расчет серую область в таблице 1, которая содержит те числа, где

    \[a-d < b-c.\]

Теперь упорядочим цифры всех чисел в порядке убывания, чтобы получить максимальные числа для второго вычитания:

Таблица 2: Максимальные числа перед вторым вычитанием

Исключим повторяющиеся числа (серые области таблицы 2), и остается всего 30 чисел, чтобы закончить процесс. На следующем рисунке показано, каким образом эти числа достигают числа 6174.

Как 30 чисел приводятся к 6174

Из рисунка видно, как из всех четырехзначных чисел получается 6174, причем не более чем за семь шагов. Тем не менее, все это очень загадочно. Капрекар, который обнаружил это число, был очень умным или много думал об этом!

Две цифры, пять цифр, шесть и далее…

Мы видели, что четырех- и трехзначные числа приводятся к единственному ядру, но что можно сказать о других числах? Оказывается, здесь результат несколько иной. Возьмем двузначное число, скажем, 28:

    \[82 - 28 = 54,\]

    \[54 - 45 = 9,\]

    \[90 - 09 = 81,\]

    \[81 - 18 = 63,\]

    \[63 - 36 = 27,\]

    \[72 - 27 = 45,\]

    \[54 - 45 = 9.\]

Не требуется много времени, чтобы проверить, что все двузначные числа приводятся к циклу 9 \to 81 \to 63 \to 27 \to 45 \to 9. В отличие от трех и четырехзначных чисел, для двухзначных чисел не существует единственного ядра.

А что насчет пяти цифр? Есть ли ядро для пятизначных чисел, такое как 6174 и 495? Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно будет использовать процесс, приведенный ранее и проверить 120 комбинаций \{ a, b, c, d, e\} для ABCDE так, чтобы

    \[9 \ge a \ge b \ge c \ge d \ge e \ge 0,\]

а также

    \[abcde - edcba = ABCDE.\]

К счастью, вычисления на компьютере уже были сделаны, и известно, что для пятизначных чисел ядра нет. Но все пятизначные числа приводятся к одному из следующих трех циклов:

    \[71973 \to 83952 \to 74943 \to 62964 \to 71973,\]

    \[75933 \to 63954 \to 61974 \to 82962 \to 75933,\]

    \[59994 \to 53955 \to 59994.\]

Для проверки того, что происходит для шести или более цифр, нужно много времени, и эта работа крайне скучная! Чтобы вы этим не занимались, в следующей таблице приведены ядра для чисел, имеющих от двух до десяти цифр (более подробно см. Mathems Archive of Rest Mathematics). Похоже, что операция Капрекара переводит каждое число в уникальное ядро только для трех и четырехзначных чисел.

Цифры Ядро
2 нет
3 495
4 6174
5 нет
6 549945, 631764
7 нет
8 63317664, 97508421
9 554999445, 864197532
10 6333176664, 9753086421, 9975084201

Красивая, но особенная ли?

Мы видели, что при выполнении операции Капрекара все трехзначные числа приводятся к 495, а все четырехзначные числа — к 6174. Но почему все такие числа приводятся к единственному ядру. Является ли это явление случайным, или есть какая-то более глубокая математическая причина, почему это происходит? В результате, красивый и таинственный результат может оказаться случайным.

Давайте остановимся и рассмотрим красивую загадку Юкио Ямамото из Японии.

При перемножении двух пятизначных чисел получился ответ 123456789. Можете ли вы угадать два перемноженных числа?

Это очень красивая головоломка, и можно подумать, что за ней должна скрываться большая математическая теория. Но на самом деле эта красота случайная, есть и другие очень похожие, но не очень красивые примеры. Такие как:

При перемножении двух пятизначных чисел получился ответ 123456789. Можете ли вы угадать два перемноженных числа?

[spoiler]

    \[123456789 = (3 \cdot 3607) \cdot (3 \cdot 3803) = 10821 \cdot 11409\]

и

123456784 =(2 \cdot 11^2 \cdot 43) \cdot (2^3 \cdot 1483) = 10406 \cdot 11864 [/spoiler] Загадка Ямамото вызывает желание решить ее, потому что она очень красивая, но вторая загадка может показаться совсем неинтересной. Проблема Капрекара похожа на загадку Ямамото. Они нам нравятся, потому что они очень красивые. И поскольку они прекрасны, мы чувствуем, что для них должно быть что-то большее, хотя на самом деле их красота может быть случайной. Такое недоразумение привело к развитию математики и науки в прошлом. Достаточно ли знать, что все четырехзначные числа при повторении операции Капрекара приводятся к числу6174$, но не знать, почему? До сих пор никто не мог доказать, что уникальное ядро для трех- и четырехзначных чисел является случайным явлением. Это свойство кажется настолько удивительным, что за ним может скрываться большая теорема теории чисел. Если мы ответим на этот вопрос, то можем обнаружить, что это просто прекрасное недоразумение, однако хочется надеяться, что это не так.

Источник: https://plus.maths.org/content/mysterious-number-6174

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение