Числа Лишрел

"Бог создал целые числа, всё остальное — дело рук человека" (Леопольд Кронекер)

Возьмем число. Переставим его цифры в обратном порядке, получим еще одно число. Теперь сложим эти два числа. Является ли сумма палиндромом (числом, читающимся с конца так же, как с начала)? Если нет, переставим цифры суммы и повторим процесс. Будем продолжать операции перестановки цифр и сложения до тех пор, пока не получим палиндром. Большинство чисел становятся палиндромами очень быстро, за несколько итераций. Возьмем, например, число 153; требуется всего две итерации.

Итерация Число Перестановка Сумма
1 153 + 351 = 504
2 504 + 405 = 909

Однако некоторые числа не становятся палиндромами вне зависимости от того, сколько сделано итераций записывания цифр в обратном порядке и сложения. Такие числа называются числами Лишрел. Они были названы так Уэйдом Ван Ландингхемом (Wade Van Landingham; Лишрел — примерная анаграмма имени его подруги Шерил, по-английски Lychrel — Cheryl). Первое число, которое может быть числом Лишрел — 196. Однако нет доказательства, что это число, а также числа похожие на него, такие как 879 и 1997 в самом деле являются числами Лишрел. Просто процедура перестановки —сложения для них не привела к получению палиндрома, хотя было сделано около миллиарда итераций.

1012 и иже с ним

Что произойдет, если вместо суммы двух чисел брать их разность?

Посмотрим на примере числа 196.

Итерация Число Перестановка Разность
1 196 - 691 = -495
2 -495 - -594 = 99
3 99 - 99 = 0

Любые дальнейшие итерации будут давать только нулевые значения.

Заметим, что стоящие в начале нули не учитываются, например, 594 - 495 = 99, а не 099. Количество цифр не должно сохраняться на протяжении всей процедуры, как и для чисел Лишрел важно только численное значение.

Все одно-, двух- и трехзначные числа приводятся к нулю (доказательство смотрите в конце статьи). Первое число, которое стоит рассматривать — число 1012.

Итерация Число Перестановка Разность
1 1012 - 2101 = -1089
2 -1089 - -9801 = 8712
3 8712 - 2178 = 6534
4 6534 - 4356 = 2178
5 2178 - 8712 = -6534
6 -6534 - -4356 = -2178
7 -2178 - -8712 = 6534

1012 - первое интересное число

Обратите внимание на разность при третьей итерации (она выделена жирным). Она снова появляется на четыре строчки ниже как разность в седьмой итерации. Любые дальнейшие перестановки цифр и вычитания будут просто повторять предыдущие четыре строки.

Кажется, что это происходит каждый раз при повторении процедуры перестановки цифр — вычитания: либо получается нуль, либо в конечном итоге циклически повторяется один и тот же набор чисел. Майкл Грини (Michael Patrick Greaney) применил процедуру перестановки — вычитания ко всем числам от одного до 10 миллиардов (10^{10}) и к части из 10,1 миллиарда 18-значных чисел. Результаты показали, что для всех из этих 20,1 млрд. чисел процесс всегда заканчивается либо нулем, либо конечным циклом. Остается понять, будет ли это выполняться для всех чисел.

Следуя примеру Уэйда Ван Ландингхема, Грини назвал числа, для которых процесс заканчивается в конце циклом, числами Яриам (Eriam) по имени его жены Марии (Máire).

Периоды цикла (через сколько итераций числа начинают повторяться, для 1012 период равен четырем) следующие: 1 число (ноль), 4, 12, 14, 17 или 44 числа. Более короткие периоды встречаются чаще, чем более длинные; почти 94\% всех проверенных чисел имели периоды один или четыре. Клаус Брокхаус проверил случайную выборку чисел длиной до 50 цифр и не нашел других периодов, кроме приведенных здесь. Возможно, другие периоды существуют, но пока не найдены.

Более подробную информацию о периодах конечного цикла можно найти в Интернете https://oeis.org/A072141. Периоды, приведенные там, равны 2 и 22, а не 4 и 44. Это связано с тем, что вместо значений разностей берутся их абсолютные значения. Остальные периоды остаются неизменными.

Результаты также показали, что ровно половина всех чисел до 1516730 имеет конечный цикл, состоящий из нуля. Из чисел, больших 1,516,730, более половины имели циклы длины четыре или больше.

Распределение чисел Яриам

В приведенной ниже таблице показано, сколько чисел Яриам существует для разных количеств цифр. Среди четырехзначных чисел их 637, что составляет чуть более 7\% всех четырехзначных чисел. В таблице показано, что по мере увеличения количества цифр в числе увеличивается и количество, и процент чисел Яриам. Таблица была создана при помощи компьютерной программы, написанной для поиска и подсчета чисел.

Количество цифр Общее количество чисел Яриам Процент чисел Яриам
4 637 7078
5 44400 49333
6 439542 48838
7 4752420 52805
8 48948989 54388
9 548853240 60984
10 5482449627 60916

Как правило, между числами Яриам есть другие числа, особенно среди небольших чисел, но иногда есть ряд последовательных чисел, являющихся числами Яриам. Первыми подряд идущими числами Яриам являются числа 10 1012 и 10 013. Существуют 17 подряд идущих чисел Яриам между 200004984 и 200005000, но самая длинная найденная Грини последовательность состоит из 25 чисел,от 3\cdot1017 + 4979 до 3\cdot1017 + 5003, т. е. от 300 000 000 00000 4 979 до 300 000 000 000005003. Более длинные последовательности можно ожидать среди больших чисел, поскольку более высокий процент чисел Яриам среди них означает, что они встречаются чаще, т. е. их плотность больше.

Наибольшее и наименьшее количество итераций

Количество итераций, необходимых для достижения начала цикла, следующее: для числа 3201 это одна итерация, а 1000509057 требует 84 итераций. Очевидно, что для палиндрома получаем нуль на первой итерации, а для числа 1000122729, например, нужно 107 итераций.

Характеристики цикла

Итерации для всех рассмотренных чисел заканчиваются конечным циклом. Верно ли это для все чисел?

Большинство из проверенных 20,1 млрд. чисел имели цикл из четырех чисел вида \pm 21\ldots 78 и \pm 65\ldots 34, где точками заменены промежуточные цифры. Эти промежуточные цифры обычно девятки, как для числа 87 968 465, но так бывает не всегда, пример — число 10 002 729. Бывает в конце конкатенация указанных четырехзначных чисел, то есть 21 782 178 и 65 346 534. У некоторых чисел, например, у 1012, нет промежуточных цифр.

Палиндромы, получающиеся в конце

Числа, предшествующие нулю, также заканчиваются ограниченным набором цифр. Конечный палиндром (последнее число перед нулем) для большинства из них — палиндром 9\ldots 9 (для небольших чисел это одна девятка). Цифры между двумя конечными девятками либо нули, либо девятки, либо и то, и другое. Конечный палиндром для 82 427 равен 9999, тогда как для 82 432 это 9009.

Исключение составляет 54\ldots 45. Конечный палиндром для 1166, например, составляет 5445, а для 180 0004549 945.

Заключение

Прибавление числа к записанному теми же цифрами в обратном порядке похоже на бросание мяча в небо: он может улететь сколь угодно высоко. Вычитание чисел подобно бросанию мяча вниз: мяч летит только до тех пор, пока не ударится о землю и не остановится или не начнет прыгать вверх и вниз.

Доказательство того, что все однозначные, двузначные и трехзначные числа приводятся к нулю. Все однозначные числа являются палиндромами, поэтому все они приводятся к нулю. Разность между двузначным числом и числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке — это просто разность между цифрами числа, умноженная на 9. Например, для числа 53:

    \[9\cdot (5-3)=18\]

    \[53-35=18.\]

Рассмотрим любое двузначное число, разность d между цифрами которого равна 9 (единственное такое число 90, но дальше будет понятно, почему рассматриваем этот случай). Тогда разность между этим числом и числом с переставленными цифрами равна 9\cdot 9=81. Разность между цифрами этого числа d=7. Тогда разность между 81 и числом с переставленными цифрами равна 9\cdot 7=63. Таким образом, получаем

    \[9\cdot9=81, d=7\]

    \[9\cdot7=63,d=3\]

    \[9\cdot3=27,d=-5\]

    \[9\cdot(-5)=-45,d=1\]

    \[9\cdot1=9,d=0.\]

Отсюда ясно, что любое двузначное число с разностью между цифрами 9 приводится к нулю. Предположим теперь, что разность между цифрами d=8. Для таких чисел разность их с записанным в обратном порядке числом равна

    \[9\cdot8=72,d=5,\]

а это третья итерация выше для числа с d=9. Остальные итерации будут такими же. Из-за перестановки цифр происходит смена знака, но это не влияет на результат. Таким образом, числа с разностью d=8 также приводятся к нулю.

Остальные случаи для d от 1 до 7 рассматриваются аналогично.

Для трехзначных чисел рассматриваем разность между первой и последней цифрами и умножаем ее на 99. Например, для числа 900\ d=9 и получаем

    \[99\cdot9=891,d=7\]

    \[99\cdot7=693,d-3\]

    \[99\cdot3=297,d=-5\]

    \[99\cdot(-5)=-495,d=1\]

    \[99\cdot1=99,d=0.\]

Аналогично тому, что сделано для двузначных чисел, доказываем, что любое трехзначное число приводится к нулю.

Заметим, что число d всегда нечетно. Произведение натурального числа, меньшего 10 и числа 99 есть число, сумма первой и последней цифр которого равна 9. Значит, одна цифра четная, а другая — нечетная. Следовательно, их разность нечетна.

Аналогичным образом можно доказать, что первые и последние 11 n-значных чисел, где n больше трех, приводятся к нулю. Следовательно, число 1012 — наименьшее число Яриам. Почему бы не доказать это?

Источник: https://plus.maths.org/content/1012-and-other-such-numbers

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение