Любовь и дифференциальные уравнения

Стивен Строгац

Цель этой заметки — предложить необычный подход к объяснению стандартного материала, касающегося системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Данный подход связывает математику с тем, что близко для многих студентов: изменение любовных отношений между двумя людьми с течением времени. Видимо, студентам нравится такое объяснение материала, и они с удовольствием участвуют в написании, решении уравнений и интерпретации полученных результатов.
Суть идеи становится ясной из следующего примера.

Джульетта любит Ромео, но в нашей версии этой истории Ромео является непостоянным. Чем больше Джульетта любит его, тем меньше она ему нравится. Но когда она теряет к нему интерес, это подогревает его чувства к ней. Она, с другой стороны, ведет себя подобно ему: ее любовь возрастает, когда он любит ее, и она начинает его ненавидеть, когда он ненавидит ее.

Простая модель их отношений выглядит следующим образом:

    \[\frac {dr} {dt}=-aj, \qquad \frac {dj} {dt}=br,\]

где r(t) — любовь/ненависть Ромео к Джульетте в момент времени t,
j(t) — любовь/ненависть Джульетты к Ромео в момент времени t.

Положительные значения r,j соответствуют любви, отрицательные — ненависти. Параметры a,b положительные, удовлетворяющие условию.

Их грустная история —- очевидно, бесконечный цикл любви и ненависти. Полученные уравнения — это уравнения гармонических колебаний. В итоге они достиганут того, что будут любить друг друга в течение четвертой части всего времени.

Как возможный вариант, можно обсудить систему дифференциальных уравнений более общего вида

    \[\frac{dr}{dt}=a_{11}r+a_{12}j,\qquad\frac{dj}{dt}=a_{21}r+a_{22}j,\]

где параметры a_{ik}\ (i,k\in\{1,2\}) могут быть как положительными, так и отрицательными. Выбор знака соответствует стилю отношений. Как сказал один из студентов, выбор a_{11}>0,a_{12}>0 соответствует энтузиасту: любовь его подогревается любовью к нему и самой собою. Занимательным является назвать три других возможных варианта и проследить взаимоотношения между всеми возможными вариантами значений параметров. Например, может ли осторожный влюбленный (a_{11}<0,a_{12}>0) найти настоящую любовь с энтузиастом?

Дополнительные сложности можно вводить во имя реалистичности или математического интереса. Так, нелинейные члены могут быть добавлены для того, чтобы исключить неограниченные страсти. Поэты уже давно предположили, что уравнения могут быть неавтономными (Теннисон «Весной фантазия юноши легко и быстро устремляется к мыслям о любви…»). Наконец, в этом контексте «задача многих тел» приобретает новый смысл.

Источник: http://ai.stanford.edu/~rajatr/articles/SS_love_dEq.pdf

Если Вам понравилась данная статья, то можете еще почитать книгу Стивена Строгаца “Удовольствие от x”.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение