Распечатать запись Распечатать запись

Крамер и его знаменитое правило

Габриэль Крамер

Габриэль Крамер (1704–1752) — швейцарский математик, ученик Иоганна Бернулли, один из основателей линейной алгебры.

Габриэль Крамер родился в Женеве в семье врача. В 18 лет он получил степень доктора, написав работу по теории звука. Через два года после этого он участвовал в конкурсе на место преподавателя на кафедре философии университета Женевы. На данное место претендовали три человека, все претенденты были достойные. Тогда поделили данное место на два: место на кафедре философии и место на кафедре математики. Место на кафедре математики разделили Крамер и Каландрини. Им было предложено по очереди путешествовать 2-3 года. В то время как один из них путешествует, второй должен исполнять все обязанности полностью и получать полное жалованье. Крамер и Каландрини поделили между собой математические курсы, которые они должны были преподавать. Крамер учил геометрии и механике, Каландрини – алгебре и астрономии. Крамер предложил учить студентов на французском языке вместо принятой тогда латыни, чтобы дать возможность обучаться имевшим способности к математике, но не знавшим латыни студентам. Это было принято университетом. В 1727 году Крамер отправляется в путешествие по Европе. В Базеле он в течение двух месяцев работает вместе с Иоганном Бернулли и Эйлером, в Лондоне встречается с Галлеем, де Муавром, Стирлингом и другими математиками, в Париже – с Мопертюи, Буффоном, Клеро, Фонтенелем и др. Дискуссии с ними и переписка в течение всей жизни оказали большое внимание на Крамера. В 1729 г. Крамер возвращается в Женеву и в 1730 г. борется за приз Парижской Академии наук, отвечая на вопрос “Какова причина эллиптической орбиты планет и движения их афелия?” Выиграл приз Иоганн Бернулли, Крамер был вторым. В 1734 г. “близнецы” разделяются. Каландрини переходит на кафедру философии, а Крамер один остается на кафедре математики. Крамер живет насыщенной жизнью. Он не только преподает и ведет переписку со многими математиками, но и пишет научные статьи, представляющие значительный интерес, хотя они и уступают статьям ведущих математиков, с которыми он переписывается. Он публикует статьи в различных журналах, например, в Записках Парижской Академии в 1734 г., Берлинской Академии в 1748, 1750 и 1752 гг. Статьи эти посвящены широкому кругу вопросов, в числе которых геометрические задачи, история математики, философии, вычисление даты Пасхи. Он публикует статью о северном сиянии в “Философских трудах Лондонского Королевского общества”, также пишет статью по юриспруденции, где с помощью теории вероятностей показывает важность независимых показаний двух или трех свидетелей, а не единственного свидетеля. Работа Крамера не ограничивается академическими областями. Он интересуется деятельностью местных властей, является членом Совета Двухсот в 1734 г. и Совета Семидесяти в 1749 г. Работая в этих Советах он использует свои широкие математические и научные знания для решения задач, возникающих в артиллерии, фортификации, при реконструкции зданий, земляных работах, является архивариусом. Он совершает вторую поездку за границу в 1747 году, только в этот раз едет в Париж, где возобновляет дружбу с Фонтенелем, встречается с Даламбером. Крамер занимается также редактированием полного собрания трудов Иоганна Бернулли, изданных в 1742 г. Редактирует он и труды Якоба Бернулли, работы Кристиана Вольфа, переписку Иоганна Бернулли и Лейбница. Кроме того, Крамер занимается написанием своей книги — “Введение в анализ алгебраических кривых”. У Крамера всегда было хорошее здоровье, но его повредил непосильный труд и падение из кареты во время поездки. Два месяца Крамер провел в постели, и врач рекомендовал ему отдохнуть на юге Франции, чтобы полностью восстановить силы. 21 декабря 1751 года он начал свое путешествие, но умер через две недели, находясь в пути.

Известная теорема линейной алгебры, которая называется правилом Крамера, дает решение системы линейных уравнений в терминах определителей. Крамер опубликовал ее в книге “Введение в анализ алгебраических кривых” («Introduction à l’analyse des lignes courbes algébraique», 1750 год). В этой фундаментальной работе, в которой теория алгебраических кривых описана на основании ньютоновских принципов, впервые доказано, что кривая степени n задается заданием N ее точек, где N = n (n + 3) / 2. Для доказательства этого факта Крамера рассмотрел систему линейных уравнений, которую и решил новым методом, получившим название “метода Крамера”. Этот метод более общий по сравнению с тем, который был предложен ранее Маклореном в его Трактате по алгебре («Treatise of Algebra», 1748 год).

Одна страница из «Introduction à l’analyse des lignes courbes algébraique» Крамера

Как парадокс Крамера известно утверждение, что число точек пересечения двух кривых может быть больше, чем количество точек, необходимых для определения такой кривой. Так, по теореме Безу (результат Маклорена) кривая порядка n пересекает кривую порядка m в nm точках. Возьмем n=m=3, получим 9 точек пересечения. При этом формула Крамера n(n+3)/2 при n=3 дает 9. Тем самым, кривая третьего порядка определяется девятью точками. Тем не менее, в общем случае при данном выборе точек задача не имеет решения, а если выбрать точки специальным образом, то решение не будет единственным. Это парадокс, по мнению Крамера, хотя его попытка объяснить данный парадокс не увенчалась успехом.

Источники: https://ztfnews.wordpress.com/2014/07/31/cramer-y-su-famosa-regla/
https://ru.wikipedia.org/wiki/
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cramer.html

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение