Задачи городской олимпиады
Эти задачи были предложены ученикам 11 класса на городской олимпиаде по математике.
Задача 1. Найдите целые положительные числа 
и 
, для которых НОК
; НОД
; НОК
; НОД
. (Здесь НОК
— наименьшее общее кратное чисел 
и 
, т.е. наименьшее натуральное число, делящееся на и на , НОД — наибольший общий делитель чисел и , т.е. наибольшее натуральное число, на которое делятся числа и .)
НОК
, откуда 
. Поскольку НОД
и НОД
, то возможны варианты
, откуда 
, что противоречит условию (
);
, откуда 
, и учитывая, что НОД
НОК
, т.е. 
, 
— ответ;
, откуда 
, и учитывая, что 
— число не целое;
, откуда 
, и учитывая, что 
— число не целое.
.Задача 2. Для углов 
и 
справедливо неравенство
Докажите, что тогда
. Тогда для векторов
и 
.
.
.Задача 3. В пространстве даны четыре точки: 
. Известно, что скрещивающиеся прямые 
и 
перпендикулярны, скрещивающиеся прямые 
и 
также перпендикулярны. Найдите длину отрезка , если 
.
.
, т.е.
.
, то 
, т.е.
.
, откуда
.
Задача 4. По окружности выписаны 
чисел с суммой . Сумма любых 
идущих подряд чисел не превосходит . Известно, что среди записанных чисел есть 
. Чему могут равняться остальные числа? Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет.
. Рассмотрим 2015 сумм
, 
будем считать, что 
, где 
— остаток от деления 
на 2015).
,
), то равными оказываются числа, стоящие на местах, номера которых отличаются на 
и 
. Рассмотрим 
. Значит, сумма оставшихся трех равных чисел равна 
. Таким образом, на окружности стоят ещи числа 
.Задача 5. Многочлен четвертой степени 
со старшим коэффициентом 1 имеет четыре различных вещественных корня, принадлежащих отрезку ![[-1,1]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-d060b17b29e0dae91a1cac23ea62281a.gif "[-1,1]")
. Докажите, что 
для любых вещественных 
.
.
.
полином принимает неотрицательные значения. Поэтому нужно доказать требуемое только на промежутке 
. Наименьшие значения многочлен принимает только между корнями 
и 
или между 
и 
.
.
. Найдем наименьшее значение функции 
при 
:
.
и 
. Находим требуемые значения функции 
:
.
.
, и доказано гораздо более сильное утверждение, чем требовалось в условии.
1 Доцент:
В пятой задаче вы пропустили важное определение переменной
t = x – lamba_1
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2016 at 20:37
Спасибо, исправила!
[Ответить]
2 Доцент:
И еще. В той же пятой задаче случай t = 2 можно не рассматривать, поскольку область значений t интервал от 0 до 2. Кстати, если нарисовать график, то точке t = 2 является не экстремумом, а точкой перегиба. Это можно проверить повторным дифференцированием.
[Ответить]
19 Апрель 2016, 14:203 Доцент:
Любопытно, что если еще подумать, то решение пятой задачи окажется красивым, то есть сама задачка будет олимпиадной.
1. Пусть вместо полинома (многочлена) 4-ой степени мы имеем полином второй с теми же исходными данными.
Обозначим его корни буквами a и b. Оба от -1 до 1.
Посмотрим, что происходит на отрезке от -1 до 1. Понятно, что минимальное значение полинома достигается в средней точке между a и b. Причем они будет равно -(a-b)(a-b)/4.
Следовательно p(x) > -1.
2. Вернемся к исходному условию и разобьем полином на произведение двух квадратных, каждый из которых, согласно 1. будет > -1. Следовательно и произведение не будет меньше -1.
3. Возьмем любой полином четной степени. Тогда рассуждая подобно пункту 2, получим и для него свойство быть больше -1.
[Ответить]
Доцент Reply:
Апрель 26th, 2016 at 12:24
Еще подумал и понял, что слегка ошибся в п.2 и п.3.
Добавление.
Дело в том, что требуется еще найти максимальное значение полинома второй степени на отрезке (-1,1), которое будет равно 4.
Таким образом -1 < p(x) < 4. Тогда п.2 и п.3. примут следующий вид.
2. Вернемся к исходному условию и разобьем полином на произведение двух квадратных, каждый из которых, согласно 1 и Добавлению будет находится в следующем интервале -1 < p(x) < 4. Следовательно произведение двух полиномов второй степени будет больше -4 и меньше 16.
3. Возьмем любой полином четной степени – 2n. Тогда рассуждая подобно пункту 2, получим и для него свойство быть больше -(4)^(n-1) и меньше (4)^n.
Решение доказывает то, что требуется и не использует производных.
[Ответить]
4 Николай Курило:
Задача № 2 предлагалась на окружном этапе Всероссийской математической олимпиады 1994-1995 в 11 классе(автор А.Галочкин)
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 26th, 2016 at 20:44
Да, на городские олимпиады часто попадают старые задачи.
[Ответить]