Эти задачи были предложены ученикам 11 класса на городской олимпиаде по математике.
Задача 1. Найдите целые положительные числа
и
, для которых НОК
; НОД
; НОК
; НОД
. (Здесь НОК
— наименьшее общее кратное чисел
и
, т.е. наименьшее натуральное число, делящееся на
и на
, НОД
— наибольший общий делитель чисел
и
, т.е. наибольшее натуральное число, на которое делятся числа
и
.)
Показать решение
Имеем соотношение НОД
НОК
, откуда
. Поскольку НОД
, то
и НОД
, то возможны варианты
1)
, откуда
, что противоречит условию (
);
2)
, откуда
, и учитывая, что НОД
НОК
, т.е.
,
— ответ;
3)
, откуда
, и учитывая, что
,
— число не целое;
4)
, откуда
, и учитывая, что
,
— число не целое.
Ответ.
.
Задача 2. Для углов
и
справедливо неравенство
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\ge2.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-11cbdbd42b30b279012b3ef39ad833b6_l3.png)
Докажите, что тогда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\le\sqrt{5}.\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9664784d11529923555ad175a8ed27c7_l3.png)
Показать решение
Предположим противное:
. Тогда для векторов
и 
имеем:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[3<\sqrt{(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)^2+(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)^2}= |\vec{a}+\vec{ b}+\vec{c}|\le\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc1d1c032570f58cc19a9e9050c1f65c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\le|\vec{a}|+|\vec{b}|+|\vec{c}|=3\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aa1237c421302ba1741bbe14989bbfed_l3.png)
.
Получили противоречие. Сумму
![Rendered by QuickLaTeX.com \[A=(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)^2+(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)^2\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-290ffd7617c48788c7082fd4639bfd10_l3.png)
легко оценить сверху:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[A=(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha)+(\sin^2\beta+\cos^2\beta)+(\sin^2\gamma+\cos^2\gamma)+\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb0a6aad07d6190b81daa3fa299bfd0c_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[+2(\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta)+2(\sin\alpha\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma)+\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7feca45fba88746759829de72b3f5d1_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[+2(\sin\beta\sin\gamma+\cos\beta\cos\gamma)\le3+3\cdot2=9\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b13e37b24204b9158edd35c520ce8452_l3.png)
.
Отсюда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)^2=A-(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)^2\le9-4=5\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-72fd85fc44a379c5fc18e52139d86851_l3.png)
.
Задача 3. В пространстве даны четыре точки:
. Известно, что скрещивающиеся прямые
и
перпендикулярны, скрещивающиеся прямые
и
также перпендикулярны. Найдите длину отрезка
, если
.
Показать решение
Пусть
.
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD},\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-21ef981a44ff986144dedde13661bcf3_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\vec{AD}^2=\vec{AB}^2+\vec{BC}^2+\vec{CD}^2+2\vec{AB}\cdot\vec{BC}+2\vec{BC}\cdot\vec{CD}\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-45a2dfab6da4cbb22d1d0465c7aa1bcc_l3.png)
, т.е.
![Rendered by QuickLaTeX.com \[100=x^2+25+121+2\vec{AB}\cdot\vec{BC}+2\vec{BC}\cdot\vec{CD}\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bf8bd740a6ae0c5cc902cd610b2fd0c6_l3.png)
.
Поскольку
, то
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\vec{AB}\cdot\vec{BC}+\vec{BC}^2+\vec{CD}\cdot\vec{BC}=0\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5b4e3473d5c3d475a9e31d48d81db609_l3.png)
, т.е.
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\vec{AB}\cdot\vec{BC}+\vec{BC}\cdot\vec{CD}=-25\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a3bd40f53f6250fc28126850bfbe0050_l3.png)
.
Подставим этот результат в полученное ранее равенство, имеем
![Rendered by QuickLaTeX.com \[-46=x^2-50\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7888f2baa2a2383bd1c85731cfa5cb63_l3.png)
, откуда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[x=2\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-111c5830fd4fdc279e0efffb777db5a6_l3.png)
.
Ответ. 
Задача 4. По окружности выписаны
чисел с суммой
. Сумма любых
идущих подряд чисел не превосходит
. Известно, что среди записанных чисел есть
. Чему могут равняться остальные числа? Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет.
Показать решение
Обозначим числа, стоящие по окружности
. Рассмотрим 2015 сумм
![Rendered by QuickLaTeX.com \[a_i+a_{i+1}+\ldots+a_{i+14}\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3c70b6bc41635491177f013bff2ef092_l3.png)
,
![Rendered by QuickLaTeX.com \[i=1,2,\ldots\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d69c7d54c7d91a8e4e889778b58eabdb_l3.png)
(при
будем считать, что
, где
— остаток от деления
на 2015).
Сложим все эти суммы, получим
![Rendered by QuickLaTeX.com \[15\cdot2015=\sum_{i=1}^{2015}(a_i+a_{i+1}+\ldots+a_{i+14})\le2015\cdot15\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-07e075ba752950df72da90515d7a1be7_l3.png)
,
откуда следует, что каждая из данных сумм равна
. Отсюда сразу же ясно, что числа, стоящие на местах, номера которых отличаются на
, равны. Более того, поскольку
не делится на
(дает при делении на
остаток
), то равными оказываются числа, стоящие на местах, номера которых отличаются на
(для доказательства этого нужно пройти по окружности три круга). Тем самым, на окружности есть еще только одно число, отличное от чисел
и
. Рассмотрим
чисел, стоящих подряд. Их сумма равна
. Среди них три единицы, три двойки, три тройки и три четверки. Сумма всех данных чисел равна
. Значит, сумма оставшихся трех равных чисел равна
. Таким образом, на окружности стоят еще числа
.
Ответ.
.
Задача 5. Многочлен четвертой степени
со старшим коэффициентом 1 имеет четыре различных вещественных корня, принадлежащих отрезку
. Докажите, что
для любых вещественных
.
Показать решение
Перенумеруем корни
в порядке возрастания:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[-1\le\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3<\lambda_4\le1\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d5507354f9651c890f398a2c94aefdb_l3.png)
.
Разложение
на множители имеет вид
![Rendered by QuickLaTeX.com \[p(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)(x-\lambda_3)(x-\lambda_4).\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2382efc061791257fd563d2b9c77d3d5_l3.png)
Ясно, что для любого
по модулю не меньшего
полином принимает неотрицательные значения. Поэтому нужно доказать требуемое только на промежутке
. Наименьшие значения многочлен принимает только между корнями
и
или между
и
.
Пусть 
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\lambda_2-x\le2-t,\lambda_3-x\le2-t,\lambda_4-x\le2-t\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f9e8dff7d4c4cddce817770a299e2da_l3.png)
.
Имеем
. Найдем наименьшее значение функции
при
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[f^{\prime}(t)=-3(2-t)^2t+(2-t)^3=(2-t)^2(-4t+2)=0\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c8da1dadd401675cb2805f29918534e5_l3.png)
.
Получаем точки, подозрительные на экстремум
и
. Находим требуемые значения функции
:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[f(1/2)=27/16<2,f(2)-0,f(0)=0\]](http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-695d0d116695e01429ffaa3d57ab4235_l3.png)
.
Аналогично рассматривается случай
.
Тем самым
, и доказано гораздо более сильное утверждение, чем требовалось в условии.
1 Доцент:
В пятой задаче вы пропустили важное определение переменной
t = x – lamba_1
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2016 at 20:37
Спасибо, исправила!
[Ответить]
2 Доцент:
И еще. В той же пятой задаче случай t = 2 можно не рассматривать, поскольку область значений t интервал от 0 до 2. Кстати, если нарисовать график, то точке t = 2 является не экстремумом, а точкой перегиба. Это можно проверить повторным дифференцированием.
[Ответить]
19 Апрель 2016, 14:203 Доцент:
Любопытно, что если еще подумать, то решение пятой задачи окажется красивым, то есть сама задачка будет олимпиадной.
1. Пусть вместо полинома (многочлена) 4-ой степени мы имеем полином второй с теми же исходными данными.
Обозначим его корни буквами a и b. Оба от -1 до 1.
Посмотрим, что происходит на отрезке от -1 до 1. Понятно, что минимальное значение полинома достигается в средней точке между a и b. Причем они будет равно -(a-b)(a-b)/4.
Следовательно p(x) > -1.
2. Вернемся к исходному условию и разобьем полином на произведение двух квадратных, каждый из которых, согласно 1. будет > -1. Следовательно и произведение не будет меньше -1.
3. Возьмем любой полином четной степени. Тогда рассуждая подобно пункту 2, получим и для него свойство быть больше -1.
[Ответить]
Доцент Reply:
Апрель 26th, 2016 at 12:24
Еще подумал и понял, что слегка ошибся в п.2 и п.3.
Добавление.
Дело в том, что требуется еще найти максимальное значение полинома второй степени на отрезке (-1,1), которое будет равно 4.
Таким образом -1 < p(x) < 4. Тогда п.2 и п.3. примут следующий вид.
2. Вернемся к исходному условию и разобьем полином на произведение двух квадратных, каждый из которых, согласно 1 и Добавлению будет находится в следующем интервале -1 < p(x) < 4. Следовательно произведение двух полиномов второй степени будет больше -4 и меньше 16.
3. Возьмем любой полином четной степени – 2n. Тогда рассуждая подобно пункту 2, получим и для него свойство быть больше -(4)^(n-1) и меньше (4)^n.
Решение доказывает то, что требуется и не использует производных.
[Ответить]
4 Николай Курило:
Задача № 2 предлагалась на окружном этапе Всероссийской математической олимпиады 1994-1995 в 11 классе(автор А.Галочкин)
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 26th, 2016 at 20:44
Да, на городские олимпиады часто попадают старые задачи.
[Ответить]