Распечатать запись Распечатать запись

Задачи городской олимпиады

Эти задачи были предложены ученикам 11 класса на городской олимпиаде по математике.

Задача 1. Найдите целые положительные числа a,b и c, для которых НОК(a,b)=210; НОД(a,b)=10; НОК(a,c)=110; НОД(a,c)=2. (Здесь НОК(u,v) — наименьшее общее кратное чисел u и v, т.е. наименьшее натуральное число, делящееся на u и на v, НОД(u,v) — наибольший общий делитель чисел u и v, т.е. наибольшее натуральное число, на которое делятся числа u и v.)

Показать решение

Задача 2. Для углов \alpha,\beta и \gamma справедливо неравенство

\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\ge2.

Докажите, что тогда

\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\le\sqrt{5}.


Показать решение

Задача 3. В пространстве даны четыре точки: A,B,C,D. Известно, что скрещивающиеся прямые AB и CD перпендикулярны, скрещивающиеся прямые BC и AD также перпендикулярны. Найдите длину отрезка AB, если BC=5,CD=11,DA=10.

Показать решение

Задача 4. По окружности выписаны 2015 чисел с суммой 2015. Сумма любых 15 идущих подряд чисел не превосходит 15. Известно, что среди записанных чисел есть 1, 2, 3, 4. Чему могут равняться остальные числа? Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет.

Показать решение

Задача 5. Многочлен четвертой степени p(x) со старшим коэффициентом 1 имеет четыре различных вещественных корня, принадлежащих отрезку [-1,1]. Докажите, что p(x)>-4 для любых вещественных x.

Показать решение

Комментариев: 7

  1. 1 Доцент:

    В пятой задаче вы пропустили важное определение переменной
    t = x – lamba_1

    :-)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, исправила! :-)

    [Ответить]

  2. 2 Доцент:

    И еще. В той же пятой задаче случай t = 2 можно не рассматривать, поскольку область значений t интервал от 0 до 2. Кстати, если нарисовать график, то точке t = 2 является не экстремумом, а точкой перегиба. Это можно проверить повторным дифференцированием.
    :-)

    [Ответить]

  3. 3 Доцент:

    Любопытно, что если еще подумать, то решение пятой задачи окажется красивым, то есть сама задачка будет олимпиадной.
    1. Пусть вместо полинома (многочлена) 4-ой степени мы имеем полином второй с теми же исходными данными.
    Обозначим его корни буквами a и b. Оба от -1 до 1.
    Посмотрим, что происходит на отрезке от -1 до 1. Понятно, что минимальное значение полинома достигается в средней точке между a и b. Причем они будет равно -(a-b)(a-b)/4.
    Следовательно p(x) > -1.
    2. Вернемся к исходному условию и разобьем полином на произведение двух квадратных, каждый из которых, согласно 1. будет > -1. Следовательно и произведение не будет меньше -1.
    3. Возьмем любой полином четной степени. Тогда рассуждая подобно пункту 2, получим и для него свойство быть больше -1.

    [Ответить]

    Доцент Reply:

    Еще подумал и понял, что слегка ошибся в п.2 и п.3.
    Добавление.
    Дело в том, что требуется еще найти максимальное значение полинома второй степени на отрезке (-1,1), которое будет равно 4.
    Таким образом -1 < p(x) < 4. Тогда п.2 и п.3. примут следующий вид.
    2. Вернемся к исходному условию и разобьем полином на произведение двух квадратных, каждый из которых, согласно 1 и Добавлению будет находится в следующем интервале -1 < p(x) < 4. Следовательно произведение двух полиномов второй степени будет больше -4 и меньше 16.
    3. Возьмем любой полином четной степени – 2n. Тогда рассуждая подобно пункту 2, получим и для него свойство быть больше -(4)^(n-1) и меньше (4)^n.

    Решение доказывает то, что требуется и не использует производных.

    [Ответить]

  4. 4 Николай Курило:

    Задача № 2 предлагалась на окружном этапе Всероссийской математической олимпиады 1994-1995 в 11 классе(автор А.Галочкин)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да, на городские олимпиады часто попадают старые задачи.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение