Задачи городской олимпиады
Эти задачи были предложены ученикам 11 класса на городской олимпиаде по математике.
Задача 1. Найдите целые положительные числа 
и 
, для которых НОК
; НОД
; НОК
; НОД
. (Здесь НОК
— наименьшее общее кратное чисел 
и 
, т.е. наименьшее натуральное число, делящееся на и на , НОД — наибольший общий делитель чисел и , т.е. наибольшее натуральное число, на которое делятся числа и .)
НОК
, откуда 
. Поскольку НОД
и НОД
, то возможны варианты
, откуда 
, что противоречит условию (
);
, откуда 
, и учитывая, что НОД
НОК
, т.е. 
, 
— ответ;
, откуда 
, и учитывая, что 
— число не целое;
, откуда 
, и учитывая, что 
— число не целое.
.Задача 2. Для углов 
и 
справедливо неравенство
![\[\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\ge2.\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-11cbdbd42b30b279012b3ef39ad833b6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Докажите, что тогда
![\[\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\le\sqrt{5}.\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9664784d11529923555ad175a8ed27c7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Тогда для векторов
и 
![\[3<\sqrt{(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)^2+(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)^2}= |\vec{a}+\vec{ b}+\vec{c}|\le\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fc1d1c032570f58cc19a9e9050c1f65c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\le|\vec{a}|+|\vec{b}|+|\vec{c}|=3\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aa1237c421302ba1741bbe14989bbfed_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[A=(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)^2+(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)^2\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-290ffd7617c48788c7082fd4639bfd10_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[A=(\sin^2\alpha +\cos^2\alpha)+(\sin^2\beta+\cos^2\beta)+(\sin^2\gamma+\cos^2\gamma)+\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bb0a6aad07d6190b81daa3fa299bfd0c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[+2(\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta)+2(\sin\alpha\sin\gamma+\cos\alpha\cos\gamma)+\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7feca45fba88746759829de72b3f5d1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[+2(\sin\beta\sin\gamma+\cos\beta\cos\gamma)\le3+3\cdot2=9\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b13e37b24204b9158edd35c520ce8452_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)^2=A-(\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma)^2\le9-4=5\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-72fd85fc44a379c5fc18e52139d86851_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Задача 3. В пространстве даны четыре точки: 
. Известно, что скрещивающиеся прямые 
и 
перпендикулярны, скрещивающиеся прямые 
и 
также перпендикулярны. Найдите длину отрезка , если 
.
.![\[\vec{AD}=\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD},\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-21ef981a44ff986144dedde13661bcf3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\vec{AD}^2=\vec{AB}^2+\vec{BC}^2+\vec{CD}^2+2\vec{AB}\cdot\vec{BC}+2\vec{BC}\cdot\vec{CD}\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-45a2dfab6da4cbb22d1d0465c7aa1bcc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[100=x^2+25+121+2\vec{AB}\cdot\vec{BC}+2\vec{BC}\cdot\vec{CD}\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bf8bd740a6ae0c5cc902cd610b2fd0c6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
, то
![\[\vec{AB}\cdot\vec{BC}+\vec{BC}^2+\vec{CD}\cdot\vec{BC}=0\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5b4e3473d5c3d475a9e31d48d81db609_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\vec{AB}\cdot\vec{BC}+\vec{BC}\cdot\vec{CD}=-25\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a3bd40f53f6250fc28126850bfbe0050_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[-46=x^2-50\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7888f2baa2a2383bd1c85731cfa5cb63_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[x=2\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-111c5830fd4fdc279e0efffb777db5a6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Задача 4. По окружности выписаны 
чисел с суммой . Сумма любых 
идущих подряд чисел не превосходит . Известно, что среди записанных чисел есть 
. Чему могут равняться остальные числа? Найдите все возможные варианты и докажите, что других нет.
. Рассмотрим 2015 сумм![\[a_i+a_{i+1}+\ldots+a_{i+14}\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3c70b6bc41635491177f013bff2ef092_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[i=1,2,\ldots\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d69c7d54c7d91a8e4e889778b58eabdb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
будем считать, что 
, где 
— остаток от деления 
на 2015).![\[15\cdot2015=\sum_{i=1}^{2015}(a_i+a_{i+1}+\ldots+a_{i+14})\le2015\cdot15\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-07e075ba752950df72da90515d7a1be7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
), то равными оказываются числа, стоящие на местах, номера которых отличаются на 
и 
. Рассмотрим 
. Значит, сумма оставшихся трех равных чисел равна 
. Таким образом, на окружности стоят еще числа 
.Задача 5. Многочлен четвертой степени 
со старшим коэффициентом 1 имеет четыре различных вещественных корня, принадлежащих отрезку ![[-1,1]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5cefb3e3995e1c4cfe15f21f4dc29928_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Докажите, что 
для любых вещественных 
.
![\[-1\le\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3<\lambda_4\le1\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5d5507354f9651c890f398a2c94aefdb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[p(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)(x-\lambda_3)(x-\lambda_4).\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2382efc061791257fd563d2b9c77d3d5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
полином принимает неотрицательные значения. Поэтому нужно доказать требуемое только на промежутке 
. Наименьшие значения многочлен принимает только между корнями 
и 
или между 
и 
.
![\[\lambda_2-x\le2-t,\lambda_3-x\le2-t,\lambda_4-x\le2-t\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4f9e8dff7d4c4cddce817770a299e2da_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
. Найдем наименьшее значение функции 
при 
:![\[f^{\prime}(t)=-3(2-t)^2t+(2-t)^3=(2-t)^2(-4t+2)=0\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c8da1dadd401675cb2805f29918534e5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
и 
. Находим требуемые значения функции 
:![\[f(1/2)=27/16<2,f(2)-0,f(0)=0\]](/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-695d0d116695e01429ffaa3d57ab4235_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
.
, и доказано гораздо более сильное утверждение, чем требовалось в условии.
1 Доцент:
В пятой задаче вы пропустили важное определение переменной
t = x – lamba_1
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Август 26th, 2016 at 20:37
Спасибо, исправила!
[Ответить]
2 Доцент:
И еще. В той же пятой задаче случай t = 2 можно не рассматривать, поскольку область значений t интервал от 0 до 2. Кстати, если нарисовать график, то точке t = 2 является не экстремумом, а точкой перегиба. Это можно проверить повторным дифференцированием.
[Ответить]
19 Апрель 2016, 14:203 Доцент:
Любопытно, что если еще подумать, то решение пятой задачи окажется красивым, то есть сама задачка будет олимпиадной.
1. Пусть вместо полинома (многочлена) 4-ой степени мы имеем полином второй с теми же исходными данными.
Обозначим его корни буквами a и b. Оба от -1 до 1.
Посмотрим, что происходит на отрезке от -1 до 1. Понятно, что минимальное значение полинома достигается в средней точке между a и b. Причем они будет равно -(a-b)(a-b)/4.
Следовательно p(x) > -1.
2. Вернемся к исходному условию и разобьем полином на произведение двух квадратных, каждый из которых, согласно 1. будет > -1. Следовательно и произведение не будет меньше -1.
3. Возьмем любой полином четной степени. Тогда рассуждая подобно пункту 2, получим и для него свойство быть больше -1.
[Ответить]
Доцент Reply:
Апрель 26th, 2016 at 12:24
Еще подумал и понял, что слегка ошибся в п.2 и п.3.
Добавление.
Дело в том, что требуется еще найти максимальное значение полинома второй степени на отрезке (-1,1), которое будет равно 4.
Таким образом -1 < p(x) < 4. Тогда п.2 и п.3. примут следующий вид.
2. Вернемся к исходному условию и разобьем полином на произведение двух квадратных, каждый из которых, согласно 1 и Добавлению будет находится в следующем интервале -1 < p(x) < 4. Следовательно произведение двух полиномов второй степени будет больше -4 и меньше 16.
3. Возьмем любой полином четной степени – 2n. Тогда рассуждая подобно пункту 2, получим и для него свойство быть больше -(4)^(n-1) и меньше (4)^n.
Решение доказывает то, что требуется и не использует производных.
[Ответить]
4 Николай Курило:
Задача № 2 предлагалась на окружном этапе Всероссийской математической олимпиады 1994-1995 в 11 классе(автор А.Галочкин)
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Сентябрь 26th, 2016 at 20:44
Да, на городские олимпиады часто попадают старые задачи.
[Ответить]