Распечатать запись Распечатать запись

Решение математической задачи с использованием физики

Скажу сразу, что идея использования физики в решении математических задач меня привлекает. В свое время на студенческой олимпиаде по математике в Санкт-Петербурге первыми оказались физики, которые решали олимпиадные задачи, применяя знание физики. Решения получились более простыми и быстрыми.

Эта задача по математике, предлагавшаяся шотландским школьникам, вызвала бурную дискуссию в Интернете.

Вот условие задачи на русском языке.

Крокодил подкрадывается к добыче, которая находится в 20 метрах от него выше по течению на противоположном берегу реки.
На земле и в воде крокодилы передвигаются с различной скоростью.
Время, за которое крокодил догонит жертву, может быть минимизировано за счет выбора точки P, в которую он приплывет, расположенную в x метрах выше по течению на другом берегу реки (см. рисунок).

Это время T, измеряемое в сотых секунды, находится по формуле:

T(x)=5\sqrt{36+x^2}+4(20-x).

a) (I) Вычислите время, за которое крокодил догонит жертву, если он не передвигается по земле (1 балл).

(II) Вычислите это время, если крокодил проплывает наименьшее возможное расстояние (1 балл).

b) Между этими двумя значениями есть одно значение x, которое минимизирует данное время. Найдите это время x, которое и будет наименьшим возможным временем (8 баллов).

Часть a) состоит в необходимости интерпретировать формулу T(x)=5\sqrt{36+x^2}+4(20-x), а последний вопрос — в нахождении минимума T(x) при 0\le x\le 20. Обычно это делается с помощью дифференцирования, однако если вы знаете закон Снелла, вы практически сразу можете написать решение. Люди обычно считают, что закон Снелла имеет отношение к оптике, но в действительности это утверждение о средах, позволяющих движение с разными скоростями.

Один из способов сформулировать закон Снелла такой: наименьшее время достигается, когда

\displaystyle \frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{v_1}{v_2},

где \theta_1 и \theta_2 — углы между нормалью и скоростями движения в разных средах v_1 и v_2. В нашей задаче скорость передвижения крокодила по земле равна 1/4, в воде — 1/5. Кроме того, крокодил двигается вдоль берега, пока он двигается по земле, значит, \theta_2=90^{\circ} и \sin\theta_2=1. По закону Снелла, для наименьшего времени движения должно выполняться равенство

\displaystyle \sin\theta_1=\frac{x}{\sqrt{36+x^2}}=\frac{4}{5},

откуда 25x^2=16x^2+24^2. Решаем: 3^2x^2=24^2 и x^2=8^2, что дает решение x=8.

Источник: http://angrystatistician.blogspot.ru/2015/10/solving-math-puzzle-using-physics.html?utm_content=bufferdde7e&utm_medium=social&utm_source=twitter.com&utm_campaign=buffer

Комментариев: 3

  1. 1 Доцент:

    Сведения из жизни крокодилов
    http://yaomire.ru/2496/
    1. Максимальная скорость крокодила на суше около 18 км/ч. Даже нетренированный человек может убежать от крокодила двигаясь по прямой или, если угодно, зигзагами.
    2. Длительное преследование добычи – это не тактика охоты крокодилов. Они предпочитают незаметно подкрасться к своей добыче в воде. Скорость крокодилов в воде может достигать 32 км/ч. Они гораздо лучшие пловцы, чем бегуны. Плывет крокодил почти бесшумно и, если надо, может не дышать около часа.

    Если вам посчастливится встретить не вполне адекватного крокодила, который решит преследовать вас по суше, вы сможете убежать от него, двигаясь зигзагом, хотя легче и удобнее бежать по прямой.

    Позабавил эпитет статьи ссылки – “не вполне адекватный крокодил”.
    В задаче, видимо, годится иная характеристика для крокодила, да и для зебры – просто совсем неадекватная парочка. Крокодил бегает быстрее, чем плавает и охотится за зеброй, которой все по-барабану.
    :-)

    [Ответить]

  2. 2 Доцент:

    Без всяких политических и национальных намеков, но эту задачу можно было бы переформулировать в задачу “О Сале и Любителе сала”, в которой вместо крокодила имеется Любитель, а вместо зебры – Сало.
    :-)

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение