«
»

Кривая дьявола

28 Июнь 2015, 15:35

Кривую дьявола изучали Габриэль Крамер в 1750 г. и Сильвестр Франсуа Лакруа в 1810 г. Она появилась в Nouvelles Annales в 1858 г. Вот ее уравнение в декартовых координатах:

    \[y^4-a^2y^2=x^4-b^2x^2,\]

или

    \[y^2(y^2-a^2)=x^2(x^2-b^2).\]

Ее уравнение в полярных координатах имеет вид:

    \[r^2(\sin^2\theta-\cos^2\theta)=a^2\sin^2\theta-b^2\cos^2\theta.\]

Параметрические уравнения кривой дьявола:

    \[x=\cos t\sqrt{\frac{a^2\sin^2 t-b^2\cos^2 t}{\sin^2 t-\cos^2 t}},\]

    \[y=\sin t\sqrt{\frac{a^2\sin^2 t-b^2\cos^2 t}{\sin^2 t-\cos^2 t}}.\]

Кривая, изображенная выше, соответствует значениям параметров a^2=1 и b^2=2.

В начале координат кривая имеет точку самопересечения (картинка кликабелльна):

Кривая в виде “восьмерки” в центре горизонтальна при a/b < 1 и вертикальна при a/b >1, при a=b кривая является окружностью.

Специальный случай кривой дьявола — “кривая-электродвигатель” (Cundy and Rollett 1989), уравнение которой

    \[y^2(y^2-96)=x^2(x^2-100).\]

Источник: http://mathworld.wolfram.com/DevilsCurve.html

Теги: ,
Рубрика: Интересные кривые  |  Отзывы (RSS)  |  Трекбек

Комментариев: 5

  1. 1 Иннокентий:

    Здравствуйте! Давно читаю Ваш сайт, много интересного узнал – спасибо Вам за это.
    Хотел спросить, может быть Вы случайно знаете где можно на русском прочитать доказательство комбинаторной nullstellensatz?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Июнь 29th, 2015 at 19:20

    Иннокентий, рада, что Вам полезен сайт.
    На Ваш вопрос ответить не могу, поскольку не понимаю, о чем идет речь (немецкого не знаю совсем). Напишите, пожалуйста, о чем это, о каких нулях…

    [Ответить]

    Иннокентий Reply:
    Июль 1st, 2015 at 8:57

    комбинаторная теорема о нулях Алона
    При выполнении некоторого условия позволяет восстановить коэффициенты полинома по его значению

    [Ответить]

    29 Июнь 2015, 7:09

  2. 2 Иннокентий:

    http://www.tau.ac.il/~nogaa/PDFS/null2.pdf

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Июль 1st, 2015 at 18:36

    Иннокентий, я посмотрела статью. Это теорема существования, она является обобщением теоремы о линейном представлении НОД двух полиномов от одной переменной. В явном виде полином так просто не восстанавливается. Насколько понимаю, можно что-то получить из теории исключения для полиномов от многих переменных. Но это нужно смотреть…

    [Ответить]

    1 Июль 2015, 8:59

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение