Уравнения Навье — Стокса
Турбулентность грандиозна, красива и потенциально опасна. Она возникает в жидкостях, например, в бьющихся волнах и бурных реках, а также в газах, например, в воздушных потоках вокруг машины или самолета. Турбулентность невероятно трудно поддается описанию, что связано с самой ее природой. Если измерять скорость и определять направление течения воды в турбулентном потоке, то можно получить совершенно разные значения в точках, расположенных очень близко друг к другу.
Несмотря на эту сложность, ученые считают, что течение жидкости с приемлемым уровнем точности описывается уравнениями Навье — Стокса. Для описания движения жидкости или газа необходимо знать скорость и давление
жидкости/газа в точке
пространства в момент времени
. Уравнения Навье — Стокса, названные в честь физиков Клода-Луи Навье и Джорджа Габриэля Стокса, представляют собой систему дифференциальных уравнений, связывающих изменения скорости, давления и вязкость жидкости. Чтобы найти функции
и
, нужно решить эти уравнения.
Но это непростое дело. Точные решения этих уравнений — решения, которые могут быть записаны в виде математических формул, — существуют только для упрощенных задач, которые либо вообще не представляют физического интереса, либо мало интересны. В большинстве реальных случаев приближенные решения находятся с помощью компьютерных симуляций — по сути, с помощью разумного угадывания, — что требует огромных вычислительных затрат.
Никто не знает, существует ли вообще точное математическое решение для этих уравнений самого общего вида. И если оно действительно существует, мы все равно не знаем, имеет ли оно какие-либо особенности, например, разрывы, уход на бесконечность, что не соответствует нашим понятиям о том, как должна вести себя жидкость. Ответив на данные вопросы, вы можете выиграть миллион долларов от Математического института Клэя.
В точке пространства скорость
имеет три компоненты
, соответствующих каждой координате. Давление жидкости —
. Сделайте глубокий вдох. Вот уравнения Навье — Стокса:
Здесь — давление,
— векторное поле массовых сил, параметр
в уравнениях называется числом Рейнольдса и связан с вязкостью.
Источник: https://plus.maths.org/content/maths-minute-navier-stokes-equations
1 Сергей:
я понимаю что это всего лишь перевод, но векторное поле массовых сил у Вас/их куда пропало? В том виде как эти записаны – решение этих уравнений простое и элементарное – жидкость неподвижна.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Июнь 28th, 2015 at 16:28
Спасибо, Вы, конечно же, правы. Посмотрела в Википедии, исправила.
[Ответить]
2 Сергей:
Справедливости ради – ещё 1/плотность перед давлением забыто. Иначе размерности не совпадают.
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Июнь 29th, 2015 at 19:15
Еще раз спасибо, исправила.
[Ответить]
3 Александр:
А для неньютоновской жидкости уравнения Навье-Стокса записываются в том же виде или они изменены ?
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Июнь 29th, 2015 at 19:17
Думаю, лучше задать этот вопрос Сергею (его комментарии выше), я здесь не специалист. Вот только могу на Википедию сослаться: https://ru.wikipedia.org/wiki/Неньютоновская_жидкость. Уравнения там другие.
[Ответить]
Сергей Reply:
Июнь 30th, 2015 at 9:53
Классический учебник на эту тему: Астарита, Марруччи. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. В библиотеках есть. Если найдете в электронном виде – напишите, пожалуйста. Теория там описана максимально полно.
Практический интерес представляет математическое моделирование этих уравнений. Причем в большинстве случаев достаточно определить условия срыва в турбулентность. Создается дискретная модель поверхности, записываются разностные уравнения в каждой точке. Потом производится случайная раскачка матрицы коэффициентов (поверхности, сил, вязкости).
. Вряд ли по другому.
Если разброс решений соизмерим с раскачкой матрицы, считается что срыва в турбулентность не будет. Натурные испытания все равно дают более точные результаты.
Как все это происходит у тех, кто проектирует подводные лодки, не спрашивайте, я не знаю
[Ответить]
Павел Reply:
Июль 17th, 2015 at 6:19
@”Если найдете в электронном виде – напишите, пожалуйста.”
http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=5EFAF01478CA01FE9A26C4E573E208AF
[Ответить]