Распечатать запись Распечатать запись

Уравнения Навье — Стокса

Турбулентность грандиозна, красива и потенциально опасна. Она возникает в жидкостях, например, в бьющихся волнах и бурных реках, а также в газах, например, в воздушных потоках вокруг машины или самолета. Турбулентность невероятно трудно поддается описанию, что связано с самой ее природой. Если измерять скорость и определять направление течения воды в турбулентном потоке, то можно получить совершенно разные значения в точках, расположенных очень близко друг к другу.

Турбулентность воды: водопады Игуасу на границе Бразилии и Аргентины

Несмотря на эту сложность, ученые считают, что течение жидкости с приемлемым уровнем точности описывается уравнениями Навье — Стокса. Для описания движения жидкости или газа необходимо знать скорость v(x,y,z,t) и давление P(x,y,z,t) жидкости/газа в точке (x,y,z) пространства в момент времени t. Уравнения Навье — Стокса, названные в честь физиков Клода-Луи Навье и Джорджа Габриэля Стокса, представляют собой систему дифференциальных уравнений, связывающих изменения скорости, давления и вязкость жидкости. Чтобы найти функции v и P, нужно решить эти уравнения.

Но это непростое дело. Точные решения этих уравнений — решения, которые могут быть записаны в виде математических формул, — существуют только для упрощенных задач, которые либо вообще не представляют физического интереса, либо мало интересны. В большинстве реальных случаев приближенные решения находятся с помощью компьютерных симуляций — по сути, с помощью разумного угадывания, — что требует огромных вычислительных затрат.

Никто не знает, существует ли вообще точное математическое решение для этих уравнений самого общего вида. И если оно действительно существует, мы все равно не знаем, имеет ли оно какие-либо особенности, например, разрывы, уход на бесконечность, что не соответствует нашим понятиям о том, как должна вести себя жидкость. Ответив на данные вопросы, вы можете выиграть миллион долларов от Математического института Клэя.

В точке пространства (x,y,z) скорость v(x,y,z) имеет три компоненты (u,v,w), соответствующих каждой координате. Давление жидкости — P(x,y,z). Сделайте глубокий вдох. Вот уравнения Навье — Стокса:

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial x}+1/Re\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\right)+f_x,

\displaystyle \frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial y}+1/Re\left(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 v}{\partial z^2}\right)+f_y,

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial t}+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial P}{\partial z}+1/Re\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 w}{\partial z^2}\right)+f_z,

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0.

Здесь \rho — давление, f(f_x,f_y,f_z) — векторное поле массовых сил, параметр Re в уравнениях называется числом Рейнольдса и связан с вязкостью.

Источник: https://plus.maths.org/content/maths-minute-navier-stokes-equations

Комментариев: 8

  1. 1 Сергей:

    я понимаю что это всего лишь перевод, но векторное поле массовых сил у Вас/их куда пропало? В том виде как эти записаны – решение этих уравнений простое и элементарное – жидкость неподвижна.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, Вы, конечно же, правы. Посмотрела в Википедии, исправила.

    [Ответить]

  2. 2 Сергей:

    Справедливости ради – ещё 1/плотность перед давлением забыто. Иначе размерности не совпадают.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Еще раз спасибо, исправила.

    [Ответить]

  3. 3 Александр:

    А для неньютоновской жидкости уравнения Навье-Стокса записываются в том же виде или они изменены ?

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Думаю, лучше задать этот вопрос Сергею (его комментарии выше), я здесь не специалист. Вот только могу на Википедию сослаться: https://ru.wikipedia.org/wiki/Неньютоновская_жидкость. Уравнения там другие.

    [Ответить]

    Сергей Reply:

    Классический учебник на эту тему: Астарита, Марруччи. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. В библиотеках есть. Если найдете в электронном виде – напишите, пожалуйста. Теория там описана максимально полно.

    Практический интерес представляет математическое моделирование этих уравнений. Причем в большинстве случаев достаточно определить условия срыва в турбулентность. Создается дискретная модель поверхности, записываются разностные уравнения в каждой точке. Потом производится случайная раскачка матрицы коэффициентов (поверхности, сил, вязкости).
    Если разброс решений соизмерим с раскачкой матрицы, считается что срыва в турбулентность не будет. Натурные испытания все равно дают более точные результаты.
    Как все это происходит у тех, кто проектирует подводные лодки, не спрашивайте, я не знаю :) . Вряд ли по другому.

    [Ответить]

    Павел Reply:

    @”Если найдете в электронном виде – напишите, пожалуйста.”
    http://gen.lib.rus.ec/book/index.php?md5=5EFAF01478CA01FE9A26C4E573E208AF

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение