Распечатать запись Распечатать запись

Что больше: периметр квадрата или длина окружности?

Вот такая задача была предложена на экзамене ученикам старшей школы (не у нас, не знаю точно, где, страна англоязычная, видимо).

Пусть точка E — середина стороны AD квадрата ABCD. Пусть окружность проходит через точки E,B и C, как показано на рисунке. Что больше: периметр квадрата или длина окружности?

Конечно, есть несколько способов решения этой задачи. Один из них следующий: предположим, что длина стороны квадрата равна 1. Введем декартову прямоугольную систему координат. Зная координаты точек E, B and C, выразим координаты центра окружности. Затем найдем радиус окружности. И наконец, с помощью найденного радиуса найдем длину окружности и сравним ее с периметром квадрата.

Проблема здесь в том, что предполагается, что предложенная задача очень простая. Она не предполагает знания школьником формулы центра окружности, проходящей через три лданные точки. Возникает вопрос: существует ли простой путь решить задачу без знания каких-либо сложных геометрических формул?

Задача найдена здесь:

http://math.stackexchange.com/questions/1188845/does-the-square-or-the-circle-have-the-greater-perimeter-a-surprisingly-hard-pr?utm_campaign=snsdemo&utm_medium=twitter&utm_source=snsanalytics.

Там же в комментариях предлагается много вариантов ее решения. Однако ни один из них мне почему-то не понравился. Они или требуют некой догадки, которая может и не прийти в голову обычному школьнику, или слишком длинные.

Приведу мое решение. На всякий случай, скрываю его, вдруг кто-то захочет сам порешать? :-)

Показать решение

Вы можете предлагать свои решения. Вдруг найдется еще более простое и короткое? :-)

Комментариев: 46

  1. 1 елена:

    на мой взгляд, они приводят вполне простое решение
    посмотрите на рисунок
    http://i.stack.imgur.com/hLgFX.png
    Проведем диаметр окружности, так чтобы он был перпендикулярен стороне квадрата (как на рисунке)
    Радиус окружности примем равным 1 поскольку (он все равно сокращается при нахождении отношения двух периметров), тогда длина окружности равна 2 пи.
    Периметр квадрата согласно обозначениям = 8y
    Находим y из системы
    x+1=2y (ввиду равенства сторон квадрата)
    x^2+y^2=1 (по теореме Пифагора)
    Отсюда y = 4/5 (от радиуса окружности)
    Периметр квадрата = 8 * 4/5 = 6.4 > 2*пи (то есть больше длины окружности)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Согласна, это довольно просто.

    [Ответить]

  2. 2 елена:

    Тут еще нужно обоснование, почему центр окружности лежит на средней линии квадрата. Это следует из того, что центр окружности лежит на пересечении диагоналей вписанного прямоугольника

    [Ответить]

  3. 3 Чук-и-Гек:

    Это что. Вот нам принесли задачу, так задачу.
    Там на рисунке прямоугольный треугольник. Две стороны (катеты) подписаны: 2см, 3см.
    Найти гипотенузу. Теорему Пифагора, тригонометрию школьники еще не проходили – применять нельзя.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Да уж… Линейкой измерить? :-)

    [Ответить]

    Чук-и-Гек Reply:

    Ага. Весь отдел голову ломал ))

    [Ответить]

  4. 4 vasil stryzhak:

    Аналогичная задача с теми же условиями решения. Вершина A и сторона AD квадрата ABCD совмещена с одноименной вершиной и стороной AP правильного треугольника AKP, равновеликого квадрату. Окружность, центр которой расположен на стороне квадрата CD, проходит через точки C иP, как изображено на рисунке. Что больше: периметр квадрата или длина окружности?

    [Ответить]

  5. 5 Вячеслав:

    Можно решить задачу без сложной формулы, выражающей радиус описанной окружности через стороны треугольника и его площадь и без теоремы Пифагора. Примем сторону квадрата за 1. Соединим точку Е с точкой В и проводим из точки Е прямую параллельную АВ до пересечения с окружностью в точке К. ЕК будет диаметром окружности. ЕК пересечет сторону ВС в точке М. Периметр квадрата Р=4ЕМ, длина окружности L=Пи*ЕК=Пи*(ЕМ+МК)=Пи*(1+МК). Прямоугольный треугольник ВМЕ подобен треугольникам ВКЕ и ВМК, следовательно МК/ВМ=ВМ/МЕ, ВМ^2=MK*ME=MK*1, ВМ^2=1/4, отсюда 1/4=МК, тогда L=Пи*5/4, а Р/L=4/(5/4*Пи)=4/3,92699… меньше 1 и периметр квадрата больше длины окружности.

    [Ответить]

  6. 6 Вячеслав:

    Задачу vasil stryzhak можно решить так. Примем стороны квадрата равными 1(АО=1), тогда его периметр Р=4, а площадь Sк=1. Из вершины К равностороннего треугольника АКР проведем к стороне АР перпендикуляр КН, который делит АР пополам и является высотой h треугольника АКР. h^2=AP^2-(AP^2)/4=(3*AP^2)/4, h=(√3*AP)/2. Площадь треугольника АКР Sт=1/2*AP*h=1/2*AP*(√3*AP)/2=(√3*AP^2)/4 и по условию задачи равна площади квадрата, отсюда (√3*AP^2)/4=1 и АР^2=4/√3, АР=2/√(√3), ОР=АР-1=2/√(√3)-1. Из вершины Р проводим биссектрису угла КРА, которая пересечет СО в точке Оц, которая будет центром окружности в силу равенства углов ОцСР и ОцРС. Прямоугольный треугольник РООц подобен треугольнику КРН, отсюда ОцР/ОР=КР/КН=АР/h, тогда ОцР*h=ОР*АР, радиус окружности ОцР=ОР*АР/h=(АР-1)*АР/h=АР*AP/h-АР/h=4√3/h-AP/h=4√(√3)/3-2/√3=1,75476535…-1,1547…=0,6… Длина окружности L=2Pi*0,6…=3,77…, что меньше периметра квадрата, равного 4.

    [Ответить]

  7. 7 vasil stryzhak:

    Вячеслав, четвертая вершина квадрата в описании и на рисунке обозначена буквой D. Отрезок DP определен правильно. Ваше предположение, что биссектриса угла APK проходит через центр окружности ошибочное, следовательно необходимо найти верное решение. Желаю успехов.

    [Ответить]

  8. 8 Вячеслав:

    vasil stryzhak, ваши замечания к моему решению в пункте 6 справедливы. Предлагаю измененное, надеюсь правильное решение. Продолжим СD вниз до пересечения с окружностью в точке М. Соединим точку М с точкой Р, получим прямоугольный треугольник РDМ подобный треугольнику РНК, из подобия которых имеем DМ/DР=РН/КН отсюда DМ=DР*РН/КН. DР=АР-1=(2/√(√3))-1, РН=АР/2, КН=(√3*AP)/2, РН/КН=1/√3, тогда DМ=DР/√3=2/(√(√3))*√3-1/√3=0,3… Диаметр окружности СМ=1+DМ=1,3…, Длина окружности L=Pi*СМ=4,08…, что больше периметра квадрата.

    [Ответить]

    vasil stryzhak Reply:

    Вячеслав, прямоугольные треугольники PDM и PHK не подобны.

    [Ответить]

  9. 9 Вячеслав:

    vasil stryzhak, Вы снова правы, поэтому предлагаю третий вариант решения задачи. Проведем отрезок прямой СР, получаем прямоугольный треугольник СРМ, который подобен треугольнику РМD, так как у них острый угол СМР общий. Из подобия этих треугольников следует СР/СD=СМ/СР, отсюда диаметр окружности СМ=СР^2/СD=СР^2. По теореме Пифагора СР^2= 1+DР^2, DР=(2/√(√3))-1= 0,519…, а DР^2=0,27…, тогда диаметр окружности СМ =1,27… Длина окружности L=Pi*СМ= СР=√1,27…=3,99…, что меньше периметра квадрата.

    [Ответить]

  10. 10 vasil stryzhak:

    Вячеслав, задачу решили верно. Согласно дополнительным условиям, необходимо найти более простой путь для ее реализации. Одним из известных элементарных приемов является использование шнурка от ботинок. В нашем случае данный способ бесполезен, в виду незначительной разницы между периметром квадрата и длинной окружности. Если серьезно, можно воспользоваться вариантом, например, с наименьшим дополнительным построением к рисунку.

    Продлим сторону квадрата CD до пересечения с окружностью в точке E. Тогда CE диаметр окружности, а отрезок DP является средним геометрическим (пропорциональным) CD и DE. Откуда DP^2=CD(CE-CD). Примем сторону квадрата CD=1, в результате, согласно равновеликости квадрата и треугольника, DP=2/\sqrt[4]{3}-1. После подстановки значений CE=(2/\sqrt[4]{3}-1)^2+1. Сравним длину окружности с периметром квадрата: \pi(2+4/\sqrt{3}-4/\sqrt[4]{3})=3,990\ldots<4. Периметр квадрата больше длинны окружности.

    [Ответить]

  11. 11 Вячеслав:

    vasil stryzhak, спасибо за отзыв о моём решении.

    [Ответить]

  12. 12 vasil stryzhak:

    В древнем Египте свойство треугольника со сторонами 3 : 4 : 5 ( в последствии получившего название египетского) использовали для определения прямых углов при возведении сооружений и разметки земляных участков. В то время даже существовала особая профессия гарпедонаптов —«натягивателей веревок», которые во время торжественной церемоний закладки храмов и пирамид обозначали прямые углы с помощью веревки, имеющей 12 (= 3 + 4 + 5) равноотстоящих узлов.

    Предлагаю вариант задачи с треугольником, в отличии от египетского, в 24 узла, с отношением сторон 7 : 8 : 9. Пусть проведена окружность через вершину большого угла треугольника так, что стороны треугольника отсекают три равных сектора от круга, как изображено на рисунке. Определить, какая из геометрических фигур имеет больший периметр, треугольник или круг? Не рекомендуется использовать для этой цели веревку гарпедонаптов и декартову прямоугольную систему координат.

    [Ответить]

  13. 13 vasil stryzhak:

    В место сектора – правильно сегмент.

    [Ответить]

  14. 14 Сергей:

    Можно же просто измерить линейкой сторону квадрата и диаметр окружности, а затем соответственно найти периметр квадрата и длину окружности. Масштаб значения не имеет так как для сравнения этого будет достаточно.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Все-таки это приблизительно… Я, помнится, будучи в 4-м классе, рисовала треугольник, у которого сумма двух сторон несколько меньше третьей :-)

    [Ответить]

  15. 15 Вячеслав:

    vasil stryzhak, мене не удается решить задачу 12. Возможно в ней недостаточно данных, потому что построить окружность как показано можно разными радиусами.

    [Ответить]

  16. 16 vasil stryzhak:

    Вячеслав, месторасположение центра окружности на первый взгляд не очевидно, так как в явном виде в условии задачи он не указан мною. В случае, когда стороны любого треугольника отсекают три равных сегмента от окружности, то она концентрична вписанной в треугольник окружности, т. е. они, имеют один общий центр. Обозначим его через O, тогда радиус окружности равен OA, который следует определить.

    [Ответить]

  17. 17 Вячеслав:

    vasil stryzhak, я кажется решил задачу 12 с вашей подсказкой.Сначала вычисляем площадь треугольника АВС по формуле Sabc=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c), где р – полупериметр треугольника, Sabc=√12*3*4*5 =√720=12*√5 и радиус вписанной окружности по формуле r=√[(p-a)*(p-b)*(p-c)/p]=√5. Из вершины А опустим перпендикуляр АН на сторону ВС. АН будет высотой треугольника и его площадь Sabc=1/2*ВС*АН, откуда АН=2*Sabc/ВС=(8/3)*√5. Из прямоугольного треугольника АСН по теореме Пифагора имеем СН^2=АС^2-АН^2=64-64*5/9=256/9, СН=16/3. Обозначим точку М пересечения окружности со стороной АС и поставим ориентировочно центр вписанной и описанной окружности О, тогда ОА=ОМ будут радиусами R описанной окружности, а треугольник МОА будет равнобедренным. Опустим из центра О перпендикуляр ОТ на сторону АС который будет также радиусом вписанной окружности. Прямоугольные треугольники АСН и АОТ подобны, из их подобия имеем АО/ОТ=АС/СН, тогда АО=ОТ*АС/СН=(3/2)*√5=R. Длина окружности L=2piR= 3pi*√5=21,07…, что меньше периметра треугольника.

    [Ответить]

  18. 18 vasil stryzhak:

    Вячеслав, на каком основании прямоугольные треугольники ACH и AOT подобны?

    [Ответить]

  19. 19 Вячеслав:

    vasil stryzhak,треугольники ACH и AOT подобны поскольку они прямоугольные и угол САН у них общий, а значит у них все углы равны.

    [Ответить]

  20. 20 vasil stryzhak:

    Вячеслав, центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения биссектрис его внутренних углов, следовательно, Ваше решение задачи неверное.

    [Ответить]

  21. 21 Вячеслав:

    vasil stryzhak, может быть центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения биссектрис его внутренних углов, но он точно находится на пересечении перпендикуляров к его сторонам, следовательно, моё решение задачи верное.

    [Ответить]

    [Ответить]

  22. 22 vasil stryzhak:

    Вячеслав, с учетом сложившегося товарищеского общения излагаю, в чем заключаются Ваши заблуждения. Любая произвольно взятая точка внутри треугольника находится на пересечении перпендикуляров к его сторонам. Только на этом основании утверждать, что она является центром окружности не разумно. Центр вписанной в треугольник окружности, не может быть, а точно находится в точке пересечения биссектрис его внутренних углов, посмотрите литературу по геометрии. Запутанно и построение центра окружности: «…поставим ориентировочно центр вписанной и описанной окружности О». Только после уточнения, что угол CAH для прямоугольных треугольников общий, удалось выяснить ее местоположение на высоте AH. Но центр вписанной окружности располагается на биссектрисе угла A, которая не совпадает с высотой. Следовательно, дальнейшие Ваши вычисления ошибочны. Необходимо найти другой подход решения задачи.

    [Ответить]

  23. 23 Вячеслав:

    vasil stryzhak, я согласен, что центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис, но если из этой точки O опустить перпендикуляры на стороны треугольника, то эти перпендикуляры будут радиусами r вписанной окружности, следовательно эти радиусы тоже пересекаются в центре вписанной окружности. Величину r я определил аналитически, поэтому нет необходимости в точном графическом построении. К сожалению я не могу показать графическое изображение решения задачи и приведу только словесное пояснение из интернета: “Аналогичным образом (это как я описал выше) можно найти точку внутри любого треугольника, которая будет равноудалена от его сторон, то есть будет центром вписанной в этот треугольник окружности”.

    [Ответить]

  24. 24 Артем:

    Применение египетского треугольника вполне актуально и в наше время, например в частном строительстве. Как то пришлось оказать знакомым помощь в разметке фундамента под дачный домик. Для этой цели сбил с деревянных планок этакий большой треугольник с соотношением сторон 3:4:5.
    Проверку своего варианта решения задачи, условие которой размещено в 12 комментарии произвел построением. В место разметочной веревки с узлами использовал линейку с делениями. Условно принял расстояние между соседними узлами в два сантиметра. Треугольник получился со сторонами 14, 16 и 18 см. Построил биссектрисы углов А и В. Из точки их пересечения О очертил окружность радиусом ОА. Диаметр окружности вышел равным 15 см, что в переводе на «узлы» составляет 7,5. Тогда длина окружности равна приближенно 23,56. Она несколько меньше периметра треугольника.
    На досуге сделаю описание решения задачи и помещу в обсуждения.

    [Ответить]

    vasil stryzhak Reply:

    Артем, я не рекомендовал определять периметр фигур измерением.
    Графическое построение для установления правильности решения какой либо геометрической задачи вполне целесообразно. Этим приемом иногда пользуюсь сам, уточняя верность составленной программы на вычисление с целью исключения случайной ошибки при ее наборе.

    [Ответить]

  25. 25 Вячеслав:

    Артем, практические построения всегда дают погрешность, поэтому естественно, что ваш результат несколько отличается от моего, полученного строго теоретически. Но ответ на вопрос, тем не менее, совпадает с моим.

    [Ответить]

    vasil stryzhak Reply:

    Вячеслав, Вам следует задумается по поводу значительного расхождения в длине окружности относительно значения полученного Артемом. Я автор задачи и знаю правильный ответ. Ваш «теоретический» расчет не совпадает с моим результатом с погрешностью порядка более 10%. В тоже время у Артема она примерно 0,2%, что однозначно указывает на верное и аккуратное графическое построение.

    [Ответить]

  26. 26 Вячеслав:

    vasil stryzhak, согласен, что мой расчет ошибочен, попытаюсь ещё раз найти правильное решение.

    [Ответить]

  27. 27 Артем:

    Мой вариант решения геометрической задачи. Определим площадь треугольника АВС по формуле Герона S =√(p(p – a)(p – b)(p – c)), где р его полупериметр. Образуем точку О пересечением биссектрис АF и ВD. Опустим два перпендикуляра ОК и ВЕ на сторону АС. Тогда отрезок ОК = r =S/p радиус вписанной окружности, BE = h = 2S/b – высота. Биссектриса треугольника делит противоположную углу сторону на отрезки, которые пропорциональны прилегающим сторонам. Согласно данному свойству биссектрисы составим пропорцию AD/DC = c/a, заменим DC = b – AD. После преобразования пропорции имеем AD = bc/a(1 + c/a). Поскольку треугольник АВЕ прямоугольный, по теореме Пифагора АЕ = √(c² – h²). Далее определяем отрезок DЕ = AD – АЕ. На основании подобия треугольников (ОК||ВЕ по построению) DОК и DВЕ получим пропорцию DK/DE = r/h, тогда DK = DE*r/h. В треугольнике АОК определяем катет КА = DА – DK и гипотенузу т. е. радиус искомой окружности по теореме Пифагора ОА = R = √(r² – КА²). Примем стороны треугольника численно равными отношению сторон (а = 9, b = 8, c = 7). Проведем последовательно вычисления по указанным выше формулам. Длина окружности L = 2πR = 23,509…, что меньше периметра треугольника.

    [Ответить]

    Вячеслав Reply:

    Центр вписанной окружности О в разностороннем треугольнике не совпадает с центром описанной окружности, поэтому ОА не есть искомый радиус окружности.

    [Ответить]

    Артем Reply:

    Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. В условии задачи, моем решении и на чертеже центр искомой окружности строится из центра вписанной в треугольник окружности. Она проходит через одну его вершину. Объясните, где здесь узрели описанную окружность?

    [Ответить]

    Вячеслав Reply:

    Поскольку окружность проходить через вершину угла, пусть и одного, эта окружность является описанной.

    [Ответить]

    Артем Reply:

    От того, если кто то, используя сизифов труд, продолжает упорствовать и убеждать других в том, что Земля плоская, ошибается – она свою форму не изменит.
    Марк Твен

    [Ответить]

    Вячеслав Reply:

    Марк Твен в этом высказывании прав, но это не доказательство в нашем случае.

    [Ответить]

  28. 28 vasil stryzhak:

    Мне импонирует предложенное решение задачи в связи с использованием свойства биссектрисы в треугольнике, которое редко применяется, а многими вообще забыто. В описании допущена опечатка, в формуле определения радиуса искомой окружности и вместо разности квадратов катетов, следует писать сумму. Длина окружности вычислена верно. Следует отметить, это не единственный вариант решения, тема не закрыта, жду новых предложений.

    [Ответить]

  29. 29 Вячеслав:

    vasil stryzhak, я предлагаю следующее решение вашей задачи из 12 комментария. Обозначим точки пересечения искомой окружности со сторонами заданного треугольника АС и АВ соответственно М и Е. соединим их прямой МЕ, получим равнобедренный треугольник МАЕ поскольку МА=АЕ по условию задачи. Опустим из вершины А перпендикуляр АК на МЕ,который будет биссектрисой угла при вершине А и разделит равнобедренный треугольник МАЕ и угол А пополам. Поэтому центр искомой окружности будет находиться на этой биссектрисе на одинаковом расстоянии R от точек А и М. Обозначим этот центр О и опустим из точки О перпендикуляр ОТ на АМ. Отрезок ОТ будет радиусом вписанной окружности в заданный треугольник АВС, вычислим его по формуле r=√[(р-a)*(р-b)*(р-c)/2]=√5, где р=12 – полупериметр заданного треугольника . Вычислим косинус большего угла при вершине А по формулу Cos A =(b^2+c^2-a^2)/2bc=(49+64-81)/112=2/7, косинус половинного угла Cos (A/2)=√[(1+Cos A)/2]=3/√14 и синус половинного угла Sin (A/2)=√(1-Cos^2 A/2)=√(5/14). Из прямоугольного треугольника АОТ находим АО=ОТ/Sin (A/2), то-есть R=r/Sin (A/2)=√5/√(5/14)= 3,74… , а искомая длина окружности =2ПиR=23,5… что меньше периметра треугольника.

    [Ответить]

  30. 30 vasil stryzhak:

    Вячеслав, дополнительные построения, описанные Вами к рисунку задачи правильные. Не совсем ясна их цель, так как центр окружности не строите, дельнейшее решение проводите аналитически. Просто достаточно было бы указать, что он расположен на биссектрисе угла А, а далее по тексту: «Обозначим этот центр О и опустим из точки О перпендикуляр ОТ на АМ …». Применение теоремы косинусов, позволило достаточно просто и верно определить длину искомой окружности.
    Предложенные два варианта не исчерпывают возможность существования других способов решения задачи.

    [Ответить]

  31. 31 Вячеслав:

    asil stryzhak, мне понравилась ваша задача. Удивительно, что косинус большего угла и половинного, а также синус половинного угла в треугольнике с соотношением сторон 7,8 и 9 точно выражаются алгебраически. Относительно ваших замечаний, почему Вы говорите о дополнительных построениях и не ясных их целях? Как иначе можно описать решение задачи? Разве я не указал, что центр искомой окружности расположен на биссектрисе угла А ? С огромным интересом жду других способов решений задачи.

    [Ответить]

  32. 32 vasil stryzhak:

    Рассмотрим вариант решения задачи основанный на предложенном мною методе построения вписанной в треугольник окружности по точкам касания. С его описанием можно ознакомиться здесь: http://xn—-7sbabno2abl4a9aggb.xn--p1ai/education/postroenie-vpisannoy-v-treugolnik-okruzhnosti-po-tochkam-kasania.html или http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-72634/ . Замысел метода заключается в нахождении точек касания вписанной окружности, которые располагаются на серединах хорд образованных окружностью проведенной с инцентра треугольника через одну из его вершин.

    Синим цветом на рисунке выделены дополнительные линии к задаче. Из вершины C треугольника ABC сделаем первую засечку радиусом CA на стороне a в точке B_1, а из вершины B – вторую, радиусом BA в точке C_1. Отрезок C_1B_1 равен хорде искомой окружности. Доказательство данного утверждения на вышеуказанном сайте. Определим длину хорды C_1B_1=a-(a-c)-(a-b)=c+b-a=7+8-9=6. Построим серединный перпендикуляр TO к хорде, где точкой O обозначен центр вписанной окружности. Вычислим радиус вписанной окружности по формуле r=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)/p}=\sqrt{5}. Соединим точки O и B_1 прямой. Гипотенуза треугольника TOB_1 является радиусом искомой окружности. Тогда по теореме Пифагора R=\sqrt{r^2+(C_1B_1/2)^2}=\sqrt{14}. Длина окружности Undefined control sequence \piR.<br />
leading text: $2\piR</p>
<p> меньше периметра треугольника.

    [Ответить]

    Вячеслав Reply:

    Спасибо за Ваше решение ! Оно принципиально не отличается от моего в пункте 29.

    [Ответить]

    vasil stryzhak Reply:

    Предложенное Вами решение основано на применении тригонометрических формул в моем варианте – по точкам касания. Собственно на данном свойстве разрабатывалось условие задачи. Следовательно, принципиальные отличия на лицо. В любом случае выражаю признательность Вам и Артему за активное и плодотворное участие в обсуждении.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение