Распечатать запись Распечатать запись

Теоремы Тебо

Виктор Мишель Жан-Мари Тебо (1882–1960) — французский математик, геометр. Закончил учительский колледж города Лаваль в департаменте Майенн, преподавал математику в школе, в технической школе, затем получил право преподавания в колледжах для учителей. Однако в 1910 г. отказался от преподавания, так как скромное жалованье не позволяло ему содержать семью, в которой к тому времени было 6 детей. До 1923 г. работал фабричным суперинтендантом, а потом — главным страховым инспектором. В 1940 г. вышел на пенсию. Несмотря на занятость на работе, Тебо все время интенсивно и плодотворно занимался математикой. В 1932 г. он стал членом Американской математической ассоциации. В 1935 г. он стал Кавалером ордена бельгийской короны за деятельность в Брюссельском научном обществе и сотрудничество с журналами Annales и Mathesis. В 1943 г. он установил премию Виктора Тебо. Она присуждается раз в два года Парижской академией наук за оригинальные исследования по геометрии или теории чисел, причем предпочтение отдается учителям средних или даже начальных школ.

Первая теорема Тебо. Центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма, лежат в вершинах квадрата.

Доказательство. Обозначим через A и C центры больших квадратов, через B и D — центры малых квадратов, через O — точку пересечения диагоналей параллелограмма (см. рис.).

Рассмотрим треугольники OAB и OBC. В силу симметрии фигуры относительно точки O получаем, что точка O лежит на прямой AC, AO=OC,AB=BC. Следовательно, треугольники OAB и OBC равны по трем сторонам. Аналогично равны треугольники DAO и OAB. Тем самым в четырехугольнике ABCD равны все стороны и равны диагонали. Следовательно, ABCD — квадрат.

Вторая теорема Тебо. Если на каждой из двух соседних сторон квадрата построить по равностороннему треугольнику (либо оба внутрь, либо оба вовне квадрата), то вершины этих двух треугольников, не являющиеся вершинами квадрата, и вершина квадрата, не являющаяся вершиной треугольников, образуют равносторонний треугольник.


Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда треугольники строятся вовне квадрата. В этом случае треугольники DCM,MBL и DLA равны по двум сторонам и углу между ними. Действительно,

CD=CM=MB=BL=AL=AD,

так как все эти отрезуи равны стороне квадрата. А величина каждого из углов DCM,MBL и DAL равна 150^{\circ}, что легко следует из построения.

Отсюда получаем, что MD=ML=DL. Тем самым, для данного случая утверждение теоремы доказано.

Теперь рассмотрим случай, когда треугольники строятся внутрь квадрата. Здесь равны треугольники CDM,BLM и ADL по двум сторонам и углу между ними. Действительно,

CD=CM=BL=BM=AL=AD,

поскольку все эти отрезки равны стороне квадрата. Кроме того, равны углы:

\angle DCM=\angle LBM=\angle DAL=30^{\circ},

что следует из построения (так, \angle DCM=\angle DCB-\angle BCM).

Из равенства треугольников имеем DL=LM=MD, и теорема доказана.

Перед формулировкой и доказательством третьей, самой известной теоремы Тебо, которая была опубликована в виде задачи в журнале The American Mathematical Monthly в 1938 г., приведем необходимые определения.

Определение. Линией центров двух окружностей будем называть прямую, содержащую их центры.

Определение. Криволинейным треугольником будем называть фигуру, ограниченную двумя отрезками и дугой окружности.

Так, на рисунке ниже криволинейный треугльник AMB ограничен отрезками AM,MB и дугой BA описанной окружности треугольника ABC.

Третья теорема Тебо. На стороне BC треугольника ABC взята произвольная точка M. В криволинейные треугольники AMB и AMC вписано по окружности. Тогда линия центров этих окружностей содержит центр вписанной окружности треугольника ABC.

Для доказательства теоремы нам понадобятся некоторые геометрические результаты.

Лемма 1. На плоскости даны две окружности \alpha и \beta. Окружность \alpha лежит внутри окружности \beta и касается ее в точке T, а также касается ее хорды BC в точке Q. Луч TQ пересекает окружность \beta в точке L. Тогда L — середина дуги BC, а TL — биссектриса угла BTC. Более того, LQ\cdot LT=LB^2=LC^2.

Доказательство. Рассмотрим гомотетию с центром T, переводящую окружность \alpha в окружность \beta. Она переводит точку Q в точку L, прямую BC, касающуюся окружности \alpha в точке Q, — в параллельную ей прямую, касающуюся окружности \beta в точке L. Так как эта касательная параллельна хорде BC, то L — середина дуги BC. Вписанные углы LTB и LTC равны, так как опираются на равные дуги. Значит, треугольники LCQ и LTC подобны, откуда LQ\cdot LT=LC^2.

Определение. Степенью точки относительно окружности называется величина d^2-R^2, где d — расстояние от данной точки до центра окружности, R — радиус окружности.

Степень любой точки M, лежащей вне окружности, равна квадрату касательной, проведенной из точки M к окружности (т.е. квадрату отрезка от M до точки касания). Для любой прямой, проходящей через точку M и пересекающей окружность в точках A и B, произведение MA\cdot MB равно степени точки M. В самом деле, это произведение не зависит от выбор прямой, а для прямой, проходящей через центр окружности, это произведение равно (d-R)(d+R)=d^2-R^2. Значит, и для всех прямых оно равно степени точки M.

Определение. Радикальной осью двух окружностей называется прямая, для каждой точки которой степени ее относительно этих окружностей равны.

Нетрудно доказать, что это геометрическое место точек, степени которых относительно двух данных окружностей равны, — прямая, перпендикулярная линии центров окружностей. Действительно, для всех таких точек M имеем равенство

O_1M^2-R_1^2=O_2M^2-R_2^2

(здесь O_1,O_2 — центры окружностей, R_1,R_2 — их радиусы), откуда

O_1M^2-O_2M^2=R_1^2-R_2^2,

т.е. разность квадратов расстояний от данной точки до центров окружностей — величина постоянная. Отсюда и следует требуемое.

Теорема. Пусть M — произвольная точка на стороне BC треуольника ABC. В криволинейный треугольник AMB вписана окружность, касающаяся отрезков MA и MB в точках P и Q соответственно и окружности ABC в точке T. Тогда прямая PQ проходит через точку I — центр окружности ABC.

Доказательство. Обозначим через \gamma окружность, вписанную в криволинейный треугольник AMB. Проведем прямую QI и обозначим через P^{\prime} точку ее повторного пересечения с окружностью \gamma (первый раз они пересекаются в точке Q). Обозначим через L точку, в которой прямая AI повторно тпересекает окружность ABC. Так как AI — биссектриса угла A треугольника, то L — середина дуги BC.

Углы BQT,QP^{\prime}T и TAI равны. Действительно, угол BQT равен полусумме дуг CL и BT, угол TAI равен половине дуги LT, т.е. полусумме дуг LB и BT. Но дуги CL и LB равны, следовательно, \angle BQT=\angle TAI. Угол BQT между касательной и хордой равен углу QP^{\prime}T, который стягивает эта хорда.

Четырехугольник TAIP^{\prime} вписанный. Это следует из доказанного равенства углов \angle QP^{\prime}T=\angle TAI. Значит, \angle AIT=\angle AP^{\prime}T. Далее, LQ\cdot LT=LB^2=LI^2. Следовательно, треугольники LQI и LIT подобны (по общему углу ILQ и двум пропорциональным сторонам). Отсюда \angle LQI=\angle LIT. Значит, \angle TQP^{\prime}=\angle AIT=\angle AP^{\prime}T.

Равенство углов \angle TQP^{\prime}=\angle AP^{\prime}T означает, что прямая AP^{\prime} касается окружности \gamma. Следовательно, P=P^{\prime}.

Лемма 2. К двум окружностям проведены общие внешняя и внутренняя касательные. Тогда прямая, соединяющая две точки касания на первой окружности, и прямая, соединяющая две точки касания на второй окружности. пересекаются на линии центров.

Доказательство. Пусть O_1 — центр первой окружности, а A_1 и B_1 — точки ее касания с проведенными прямыми, O_2 — центр второй окружности, а A_2 и B_2 — точки ее касания с проведенными прямыми. Проведем окружности \delta и \beta с диаметрами A_1A_2 и B_1B_2 соответственно. Прямая O_1A_1 касается \delta, а прямая O_1B_1 касается \beta. Значит, из точки O_1 к данным окружностям опущены равные касательные (O_1A_1=O_1B_1 — радиусы первой окружности). То же с точкой O_2/ Таким образом, O_1O_2 — радикальная ось окружностей \delta и \beta. Наконец, прямые A_1B_1 и A_2B_2 параллельны биссектрисам смежных углов между касательными, следовательно, они взаимно перпендикулярны. Поэтому их точка пересечения лежит на обеих окружностях \delta и \beta. Очевидно, что точуа пересечения этих окружностей лежит на и радикальной оси O_1O_2.

Доказательство третьей теоремы Тебо. Прямая, соединяющая точки касания первой окружности Тебо со сторонами MA и MB, и прямая, соединяющая точки касания второй окружности со сторонами MA и MC, пересекаются на линии центров (Лемма 2).

Источники: Е.Д. Куланин “Виктор Тебо и его задачи”

https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Тебо

https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Thébault

В. Ю. Протасов “Касающиеся окружности: от Тебо до Фейербаха”, журнал “Квант”, 2008 г., №4

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение