Распечатать запись Распечатать запись

Скачок Виета

В математике скачок Виета, известный также как отражение корней, — метод доказательства, используемый в теории чисел. Он наиболее часто применяется для задач, в которых дано соотношение между двумя натуральными числами и требуется доказать некоторое утверждение, связанное с этими числами. Есть несколько методов скачков Виета, но все они связаны общей идеей бесконечного спуска, позволяющей находить новые решения уравнения с использованием формул Виета.

История метода

Скачок Виета — относительно новый метод в решении математических олимпиадных задач. Первая задача, для решения которой он был использован, — задача Международной олимпиады по математике (ММО) 1988 г., она считается самой сложной из задач этой олимпиады. Артур Энгель (немецкий учитель математики, автор множества учебников, книг и статей по математике) написал о сложности этой задачи:

“Никто из шести членов австралийской Задачной комиссии не смог решить эту задачу. Двое из них — Дьёрдь Секереш и его жена, оба известные решатели и составители задач. Так как это была задача по теории чисел, она была отправлена четырем самым известным австралийским математикам — специалистам в этой области. Им было предложено работать над ней в течение шести часов. Ни один из них не смог решить ее за это время. Задачная комиссия представила ее в жюри XXIX ММО, отметив двумя звездочками. Это означало, что задача сверхсложная, возможно, слишком сложная для того, чтобы ее предлагать участникам олимпиады. После долгого обсуждения жюри все-таки отважилось предложить ее в качестве последней задачи на олимпиаде. Одиннадцать школьников представили ее точные решения”.

Среди одиннадцати школьников, получивших максимальное количество баллов за решение этой задачи, был будущий лауреат Филдсовской премии Нго Бао Тяу.

Стандартный скачок Виета

Стандартный скачок Виета предполагает доказательство от противного и состоит из следующих трех шагов:

1. Предполагается, что существуют числа, связанные данным соотношением, но не удовлетворяющие утверждению, которое нужно доказать.

2. Берется минимальное по отношению к некоторой функции a и b (обычно a+b) решение (a,b). Затем исходная связь преобразуется в квадратное уравнение с коэффициентами, зависящими от b, один из корней которого равен a. Используются формулы Виета для нахождения второго корня уравнения.

3. Показывается, что второй корень образует решение, которое подходит и доставляет меньшее значение нашей предварительно введенной функции. Таким образом, опровержение минимальности значения функции на данном решении противоречит существованию решения, для которого утверждение ложно.

Пример (ММО 1988, задача 6). Пусть a и b — натуральные числа такие, что a^2+b^2 делится на ab+1. Докажите, что \displaystyle \frac{a^2+b^2}{ab+1} является полным квадратом.

1. Пусть k=\displaystyle\frac{a^2+b^2}{ab+1}. Предположим, что существуют одно или несколько решений данного уравнения, для которых k не является полным квадратом.

2. Для данного значения k, пусть (A,B) — решение этого уравнения, которое минимизирует значение функции A+B и не умаляя общности A\ge B. Мы можем переписать уравнение и заменить A переменной x, что даст x^2-(kB)x+(B^2-k)=0. Один корень этого уравнения x_1=A. По формулам Виета, другой корень можно записать следующим образом: \displaystyle x_2=kB-A=\frac{1}{A}(B^2-k).

3. Первое уравнение показывает, что x_2 целое число, а второе — что оно отлично от нуля (если x_2=0, то k=B^2, но мы предположили, что это не полный квадрат). Кроме того, x_2 не может быть меньше нуля, потому что это означало бы, что k<0. Действительно, \displaystyle k=\frac{B^2+x_2^2}{Bx_2+1}, где B\ge1 (по условию B — натуральное число), следовательно, x_2 B+1\le0. Наконец, из A\ge B следует, что \displaystyle x_2=\frac{B^2-k}{A}<A, откуда A+B< x_2+B, что противоречит минимальности (A,B).

Постоянный убывающий скачок Виета

Метод постоянного убывающего скачка Виета используется, когда мы хотим доказать некоторое утверждение о константе k, имея некоторое соотношение между a и b. В отличие от стандартного скачка Виета, убывающий скачок не является доказательством от противного и состоит из следующих четырех этапов:

1.Случай равенства доказан, так что можно считать, что a>b.

2. b и k фиксированы, и выражение, связывающее a,b и k переписывается, чтобы получилось квадратное уравнение с коэффициентами, зависящими от b и k, один из корней которого равен a. Второй корень x_2 находится по формулам Виета.

3. Доказывается, что для всех определенных выше исходных (a,b) имеем 0<x_2<b<a, и число x_2 целое. Таким образом, мы можем заменить (a,b) на (b,x_2) и повторить этот процесс, пока не дойдем до случая равенства a и b. Утверждение доказано для равенства, а k в ходе этого процесса не изменялось. Этого достаточно, чтобы доказать утверждение для всех упорядоченных пар.

Пример. Пусть a и b — натуральные числа, такие, что a^2+b^2+1 делится на ab. Докажите, что 3ab=a^2+b^2+1.

1. Если a=b, 2a^2+1 должно делиться на a^2 и, таким образом, a=b=1 и 3\cdot1\cdot1=1+1+1.

2. Пусть a\ne b. Пусть a>b без ограничения общности. Пусть \displaystyle k=\frac{1}{ab}(a^2+b^2+1). Преобразовываем и заменяем a на x, получаем x^2-(kb)x+(b^2+1)=0. Один корень этого уравнения x_1=a, а второй по формулам Виета можно записать следующим образом: \displaystyle x_2=kb-a=\frac{b^2+1}{a}.

3. Первое уравнение показывает, что x_2 целое число, а второе — что оно положительно. Поскольку a>b, \displaystyle x_2=\frac{1}{a}(b^2+1)1.

4. Равенство мы имеем, когда b=1. Чтобы выполнялось данное условие, a^2+2 должно делиться на a, откуда a равно 1 или 2. Первый случай исключается, так как a\ne b. Во втором случае \displaystyle k=\frac{1}{ab}(a^2+b^2+1)=\frac{6}{2}=3. Так как k не изменилось на протяжении всего этого процесса, этого достаточно, чтобы показать, что оно всегда будет равно 3.

Геометрическая интерпретация

Геометрическая интерпретация скачка Виета может быть описана в терминах узлов решетки на гиперболе в первом квадранте. Этот же процесс поиска меньших корней используется вместо нахождения более низких узлов целочисленной решетки на гиперболе в первом квадранте. Процедура выглядит следующим образом:

1. Из данного условия получаем уравнение семейства гипербол, которое не изменяется при перемене местами x и y, так что гиперболы симметричны относительно прямой y=x.

2. Докажем требуемое для точек пересечений гипербол и прямой y=x.

3. Предположим, что (x,y) — некоторый узел решетки на какой-то гиперболе, причем x<y, не умаляя общности. Тогда по формулам Виета, найдется соответствующий узел решетки с той же координатой x на другой ветви гиперболы, а при отражении относительно прямой y=x получается новая точка на исходной ветви гиперболы.

4. Докажем, что этот процесс дает более низкие точки на одной и той же ветви и может быть повторен до тех пор, пока не будет выполнено некоторое условие (например, x=0). Затем подстановкой этого условия в уравнение гиперболы доказывается требуемое утверждение.

Пример. Этот метод может быть применен к задаче 6 ММО 1988: Пусть a и b — натуральные числа такие, что a^2+b^2 делится на ab+1. Докажите, что \displaystyle\frac{a^2+b^2}{ab+1} является полным квадратом.

1. Пусть \displaystyle\frac{a^2+b^2}{ab+1}=q, тогда мы имеем гиперболу a^2+b^2-qab-q=0. Назовем эту гиперболу H.

2. Если a=b, находим a=b=q=1.

3. Пусть точка (x,y) — узел решетки на ветви H, и предположим, что x<y, так что эта точка находится на верхней ветви. Применяя формулы Виета, получим, что точка (x,qx-y) является узлом решетки на нижней ветви. Затем, отображением получаем, что (qx-y,x) —  узел решетки на исходной ветви. У этой новой точки вторая координата меньше, и, таким образом, она находится ниже первоначальной точки. Так как эта точка находится на верхней ветви, она все еще выше прямой y=x.

4. Этот процесс может быть повторен. Из уравнения H следует, что не возможно путем выполнения данных операций попасть во второй квадрант. Таким образом, этот процесс должен заканчиваться тем, что x=0, и подстановкой находим, что q=y^2.

Источник: https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping

Комментариев: 11

  1. 1 Марина:

    Елизавета Александровна, спасибо!
    Очень хорошо, что этот интересный материал теперь доступен для интересующихся и на русском языке.

    Вот еще пример для самостоятельной практики применения этого метода:
    При некоторых натуральных a,b число n=(a^2+b^2)/(ab-1) – тоже натуральное. Найдите все возможные значения n.

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вам спасибо за наводку ;-) и отдельно за задачку на этот метод!

    [Ответить]

    Марина Reply:

    Все для пользы дела ;)

    В задачке потерялся минус – в знаменателе ab-1

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Спасибо, исправила.

    [Ответить]

    Ольга Reply:

    Никак не могу сообразить, почему в первой задаче из отрицательности x_2 следует неравенство -kBx_2>k…

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Если x_2<0, то kB<A. Умножаем неравенство на положительное число -x_2, получаем -kBx_2<-Ax_2. Учитывая, что x_1=A – тоже корень квадратного уравнения, как и x_2, имеем -Ax_2=-x_1x_2=k-B^2<k по второй формуле Виета.

    Ааа… Спасибо! Похоже, знак не в ту сторону :-) Исправила.

    [Ответить]

  2. 2 Ольга:

    Нет, так тоже не пойдет. А почему вдруг x_2^2-kBx_2+B^2-k<0? В первоначальном варианте это выражение было больше положительного числа, а значит заведомо больше 0…А здесь не могу усмотреть перехода :)

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Теперь проверяйте :-)

    [Ответить]

  3. 3 Ольга:

    Убедили! :) Теперь я поняла. Спасибо!

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:

    Вам спасибо, что “ляпы” заметили! :-)

    [Ответить]

  4. 4 Ольга:

    Этот “ляп” упорно приводится во многих источниках, в том числе и в Вики… А метод действительно интересный

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение