Распечатать запись Распечатать запись

Математика и любовь: не так все печально! :-)

Недавно здесь говорилось о настоящей драме, которая известна математике.

Однако не все так плохо. Давайте же посмотрим :-)

Первая любовь

Первая история о касающихся кривых, которые встречаются один раз, а потом разделяются навсегда. Однако, как мы увидим дальше, встречи с первой любовью в дальнейшем вполне возможны.


Понятием, которое используется в этой истории, является касание. Интуитивно кажется, что две кривые касаются, если они имеют одну общую точку. Другими словами, с одной кривой на другую можно перейти только в одной точке, и этот переход мягкий и спокойный.

Поэтому рисунок выглядит именно так, однако здесь есть ошибка. Когда говорят о касании кривых, то имеют в виду одну конкретную точку. То, что происходит на удалении от этой точки, неважно. В математике говорят, что касание — это локальное свойство. Чтобы говорить о касании, нужно рассматривать только окрестность данной точки, тогда как в других точках кривые могут пересекаться.

“Математика позволяет тебе написать твою собственную историю любви.”

Так, две кривые могут касаться в некоторой точке, а потом пересекаться еще в какой-то точке:

А может получиться еще одна приятная встреча (еще одна точка касания):

Возможно даже, чтобы встречи стали периодическими:

С другой стороны, еще одна ошибка, которую делают, когда говорят о касающихся кривых, — считать, что кривые в точке касания не могут пересекаться (т.е. одна кривая лежит в одной из двух частей плоскости, на которые ее разделяет вторая кривая). Однако касающиеся кривые могут пересекаться:

Невозможная любовь

Вторая история связана с параллельными прямыми, которые никогда не могут встретиться:

Понятие, которое стоит за этой историей — параллельность. Оно используется для прямых, которые продолжаются бесконечно, не прерываясь. Такое понимание параллельности тесно связано с нашим видением мира, и с тем, как видели мир древние греки, в частности, Евклид.

Естественно, математики пошли гораздо дальше. Существует математический объект, который называется проективной плоскостью. На ней любое семейство параллельных прямых пересекается в бесконечно удаленной (несобственной) точке. Соответственно, к обычной плоскости добавляется бесконечно удаленная (несобственная) прямая.

Хотя это и кажется странным, с проективной плоскостью мы встречаемся каждый день. Обычная система представления перспективы (коническая проекция) включает в себя точки схода, и эти точки составляют известную линию горизонта. Это и есть в точности те бесконечно удаленные точки, в которых пересекаются параллельные прямые.

Поэтому, если переведем нашу историю любви в проективную или перспективную страну, параллельные прямые будут иметь возможность встретиться в точке схода (“У нас всегда будет Париж!”).

Платоническая любовь

Как во всех хороших историях, оставим лучшую часть на конец. Последняя история об асимптотах, которые могут сближаться, но никогда не будут вместе.

Заметим, что эта история основана на следующем понятии асимптоты: асимптотой называется прямая, такая что расстояние от нее до кривой становится сколь угодно малым с удалением от начала. Если использовать уже рассмотренное понятие касания, то можно сказать, что асимптота — это прямая, которая касается данной кривой в бесконечно удаленной точке.

И если использовать это определение, то исходная картинка неправильна. Во-первых, на ней нет прямой, хотя можно считать, что обе кривые имеют общую асимптоту — прямую. Но две кривые на рисунке не имеют общей асимптоты. Они, конечно, сближаются друг с другом, но не так, как хотелось бы. Чтобы понять это, сделаем следующее. Возьмем положительное число, такое малое, как нам хочется. И если у двух кривых есть общая асимптота, то должны существовать две точки (по одной на каждой кривой), расстояние между которыми меньше выбранного числа. И это должно выполняться для любого сколь угодно малого выбранного числа.

Однако поведение кривой относительно асимптоты может быть довольно сложным. Так, для многих будет удивительным то, что кривая может пересекать свою асимптоту:

и даже делать это бесконечное число раз:

На последней картинке видно, что наша история любви позволяет иметь много романтических встреч, так что платоническая любовь, недостижимая и идеальная, оказывается реальностью. Вдруг двое влюбленных устают, но с течение времени стремятся сблизиться, не встречаясь, однако.

Но как вам понравится следующая ситуация:

По нашему определению, синяя прямая является асимптотой красной кривой (хотя некоторые авторы в первой половине двадцатого века не рассматривали такие случаи). Таким образом, у нас есть история любви с бесконечным числом встреч на протяжении длительного времени. После каждой встречи происходит разлука, но непременно случается следующая встреча.

Если вы дочитали до этого места, примите поздравления! Как видите, математика позволяет писать не только грустные истории любви, но и запутанные истории, и истории со счастливым концом. Математика позволяет написать и свою собственную историю любви — в точности ту, что осталось прочитать: историю любви к математике.

Источник: http://principia.io/2014/12/25/matematicas-una-triste-historia-de-amor/

Один комментарий

  1. 1 Ирина:

    Шикарно!

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение