«
»

Чудесный треугольник Блеза Паскаля

5 Февраль 2015, 19:53

Все узнают о треугольнике Паскаля в юности. Но, видимо, узнают не все чудеса, которые содержит треугольник. В самом деле, мы до сих пор открываем новые вещи!

Строится треугольник довольно легко: по внешним краям нужно поставить единицы, а каждое число внутри равно сумме двух чисел, которые стоят над ним. Так, третье число в шестой строке равно 10, потому что это сумма чисел 4 и 6.

Внимание! На самом деле мы будем говорить, что 10 является вторым числом в пятой строке. По причинам, которые скоро станут ясны, мы начинаем нумеровать строки и столбцы треугольника с нуля. Например, второе число в четвертой строке равно 6.

Зная правило сложения, можно продолжать бесконечно: вы можете написать столько строк, сколько позволит ваше терпение.

Первые 10 строк треугольника Паскаля

Паскаль ввел свой треугольник в 1653 г. в Traité du triangle arithmétique как часть задачи исследования вероятностей и для вычислений. Задачи были примерно такие: “Если я хочу выбрать двух человек из четырех данных, сколько существует возможных пар?’’ или “Какова вероятность выпадения фулл-хауса (примеч. в покере три карты одного достоинства и две другого), когда раздается по пять карт из колоды, которая хорошо перемешана?’’ Паскаль и Ферма в основном обсуждали вероятность в письмах, которыми они обменивались в то время. Вы можете увидеть исходный треугольник Паскаля здесь.

Каким образом треугольник связан с вероятностью? Ну, если вы хотите выбрать k объектов из n данных, то количество возможных вариантов выбора равно k-му числу в n-й строке треугольника. Помните, что номера строк и чисел в строках треугольника начинаются с нуля! Используя это правило, мы видим, что существует ровно 6 способов выбрать двух человек из четырех данных. И так 84 — третье число в девятой строке треугольника, то существует 84 способа выбрать трех человек из девяти данных. Научившись вычислять это, вы сделаете маленький шаг к вычислению всевозможных вероятностей.

На первый взгляд, кажется довольно непонятным, почему треугольник дает правильный ответ на этот вопрос. Может также показаться странным, что мы должны всегда начинать с нуля, чтобы заставить его работать. Чтобы увидеть, что все это совершенно верно, мы сделаем два замечания.

Во-первых, если у вас есть группа объектов, каким количеством способов вы можете выбрать нуль объектов из них? Есть ровно один способ выбрать нуль объектов, а именно: просто заявив, что вы не берете ни одного из них. Кроме того, у вас есть только один способ выбрать все объекты. И это как раз соответствует единицам на двух концах каждой строки.

Блез Паскаль

Во-вторых, если мы хотим выбрать k предметов из данных n, мы замечаем, что есть два взаимоисключающих сценария: либо наш любимый предмет является одним из выбранных, либо это не так. Если мы выбираем его, то мы должны также выбрать k-1 предмет из оставшихся n-1 предметов, чтобы выбрать ровно k предметов. Если мы не выбираем данный предмет, то мы должны выбрать все k предметов из данных n-1 предмета, оставшихся после исключения нашего любимого предмета. Так как это взаимоисключающие возможности, чтобы получить общее количество вариантов выбора, мы должны сложить количества вариантов в каждом сценарии.

Короче говоря, чтобы получить число способов выбора k объектов из данных n, мы должны сложить количество способов выбрать k-1 объект из n-1, и число способов выбрать k объектов из n-1. Но это именно и есть правило сложения для треугольника Паскаля!

Мы уже знаем, что треугольник полностью определяется расположением единиц по его сторонам и правилом сложения. Так как эти свойства применимы также к ответу на вопрос о количестве вариантов выбора объектов, треугольник должен и здесь давать правильный ответ.

Возможность сделать такие расчеты неоценима во множестве случаев. Поэтому мало удивляет, что Паскаль не был первым. Данные числа были рассмотрены индийскими, китайскими и иранскими математиками в разное время, начиная с момента более чем тысячелетней давности. И, конечно, все узнают треугольник Яна Хуэя, 1303 г.:

Забавно, даже не будучи в состоянии различить числа, вы можете найти опечатку в этом треугольнике, которому больше 700 лет! Подсказка: правило сложения делает треугольник Паскаля симметричным относительно вертикальной прямой, проходящей через его вершину. Если вы посмотрите внимательно, в треугольнике Ян Хуэя эта симметрия в одном месте нарушается.

В треугольнике много чудесного. Где же чудеса? Некоторые из них легко заметить. Если вы сложите числа в n-й строке треугольника, вы всегда получите 2 в степени n (например, 1 + 3 + 3 + 1 = 2^8). Для нас это довольно скучно.

Несколько более интересным является тот факт, что если вы сложите числа, стоящие в треугольнике по диагоналям, получится последовательность чисел Фибоначчи. А последовательность чисел Фибоначчи сама содержит множество сюрпризов.

Недавно нечто удивительное и новое было обнаружено в треугольнике Паскаля. Как мы видели, если сложить числа, стоящие в строке треугольника, происходит что-то интересное. Этот факт о суммах так же стар, как и сам треугольник. Однако до 2012 г., до Харлана Бразерса, никто не пытался выяснить, что произойдет, если перемножить числа в каждой строке.

Давайте обозначим через P(n) произведение чисел в n-й строке треугольника. Так, P (3) = 1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 1 = 9, P (4)=96, и так далее. Числа, которые получаются, кажется, не имеют каких-либо явных чудесных свойств. У Бразерса возникла идея посмотреть, что произойдет, если вы разделить эти произведения, вычисленные для рядом стоящих строк. Точнее, для n=1,2,3,\ldots он нашел числа r (1), r(2), r(3),\ldots, получающиеся по следующей формуле:

    \[r(n)=\frac{P(n-1)\cdot P(n+1)}{P(n)\cdot P(n)}.\]

Т. е. для каждой строки он рассмотрел дробь, числитель которой равен произведению всех чисел в строке, стоящей под ней, и в строке, стоящей над ней, а знаменатель — произведению всех чисел в данной строке в квадрате.

И вот удивительная вещь: когда n становится все больше, это отношение становится все ближе к числу e! Помните, e — это десятичное число с бесконечным числом цифр, приближенно равное 2,71828. Оно появляется при капитализации процентов, модели роста численности населения и других ситуациях с экспоненциальным ростом. Удивительно, что это число может быть таким довольно простым способом найдено в треугольнике Паскаля. Так как вы знаете, что нужно искать e, несложно понять, что рассмотренное отношение действительно становится все ближе к e с ростом n. Как вы можете видеть здесь, для вычислений требуется всего лишь немного алгебры.

Вот такая симпатичная анимация Ричарда Грина наглядно показывает результат Харлана Бразерса:

Существует еще одно чудо в треугольнике, которое каждый должен знать. Давайте каждое число в треугольнике покрасим в один из двух цветов, в зависимости от того, является оно четным или нечетным. Например, мы могли бы покрасить четные числа белым, а нечетные — синим. Если мы сделаем это для первых 500 строк треугольника, получим вот такую закономерность:

Это известный фрактал, известный как треугольник Серпинского! Это приводит к разного рода вопросам. Число четное или нечетное, если оно при делении на 2 дает остаток 0 или 1 соответственно. Что происходит, когда разделим на 8? Остатки могут быть равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7. Что произойдет, если использовать восемь цветов и покрасить каждое число в соответствии с его остатком при делении на восемь? Для первых 500 строк треугольника получим прекрасную картину:

Существует забавное приложение, которое позволяет увидеть, что происходит, если менять число, на которое вы делите (также называемое модулем). Полезный совет: когда вы используете приложение, нажмите на маленький символ “плюс’’, чтобы использовать более детальную версию управления. В треугольнике Паскаля есть множество других удивительных вещей. Для начала, если вы заинтересовались этим, подойдет веб-сайт mathforum.org. Ну а более, скажем, эксцентричные, вещи, которые можно найти в треугольнике, имеются здесь.

Источник: http://www.3quarksdaily.com/3quarksdaily/2015/02/blaise-pascals-wondertorium.html

Теги: , ,
Рубрика: Статьи по математике  |  Отзывы (RSS)  |  Трекбек

Комментариев: 7

  1. 1 Murad:

    Грубые ошибки – абсурды, допущенные предками и нами

    Мои исследования раскрыли следующие грубые ошибки – абсурды, допущенные предками и нами:
    1. Считали, что человек – смертен, а оказывается, он вечен и идеален. Во Вселенной созданные тела, откуда вышли, туда никогда не возвращаются. Тогда нет смерти – все созданные тела во Вселенной живые. Все, до сих пор рожденные человеком восстанавливаются в вечном и идеальном виде, каждые 30-разрядными кодами – номерами находят свои идеальные пары, причем сумма кодов – номеров пар 30 девятки.
    2. Мы только поднимается на 4 ступени умственного развития, а их 7: Дальше не разделяемая величина 1бутто =1000 ст.-7 = 10 ст.-21 – начало, вес и объем живой клетки – живой души и дальше не расширяемая величина 1сапа =1000 ст.7 = 10 ст.21. Это размер каждой Солнечной системы и их будут 3 секстиллиона.
    3. Все созданные тела во Вселенной состоят одних и тех же клеток – кубов, веса и объема 1бутто = 10-21. Идеальная женщина 25-летная состоит из 360 секстиллионов клеток, а идеальный мужчина 25-летний 366 секстиллионов = 366х10ст.21 клеток, при этом каждая клетка есть сам человек. Это означает, что часть равна целому: Один «Я» за всех «366х10ст.21Я» и «366х10ст.21 Я» за одного «Я» – это для мужчин.
    4. Часть равна целому и нет никаких дробных чисел, а считали наоборот. Тогда нет иррациональных и трансцендентных чисел. Также нет логарифмы, тригонометрические функции, пределы, дифференциалы и интегралы, вариационные счисления, теории вероятности и статистики. Вселенная и знания конечны, а считали наоборот. Нет необходимости использования подкоренные выражения.
    5. Мы равенство Zn = Xn +Yn считали великой теоремой Ферма или Диофанта уравнение, а есть решение уравнения (Zn – Xn)Xn = (Zn – Yn)Yn. Тогда Zn = – (Xn +Yn) есть решение уравнения (Zn+Xn)Xn = (Zn + Yn)Yn. Перепутали решение с уравнением, а не знали само уравнение. Это абсурд, для математиков позор!
    Решения оптимизационных задач приводили к системам линейных, степенных и дифференциальных уравнений. Оказывается, что мы перепутали решение с системой уравнением, а не знали само уравнение: Zn = Xn +Yn есть решение уравнения (Zn- Xn)Xn = (Zn – Yn)Yn. Решение Zn = Xn +Yn есть +103n = +(500 x 103(n-1) + 500 x103(n-1)) и -103n = – (500 x 103(n-1) + 500 x103(n-1)). Каждые 103n =10n х 102n – есть основание куба и одновременно рубика порядка 10n.
    Мы равенство c2= a2+ b2: квадрат гипотенузы = сумме квадрата катетов, считали теоремой Пифагора, а оказывается, что оно есть решение уравнения (c2- a2) a2 = (c2- b2) b2 . Тогда c2= – (a2+ b2) есть решение уравнения (c2+ a2) a2 = (c2+ b2) b2. Это означает, что из 2-х равных прямоугольных треугольников, равными катетами можно образовать квадрат – основание куба. Из 12 равных прямоугольных треугольников, равными катетами можно образовать куб. В зависимости от длины катета можно образовать различные кубы и одновременно рубики.
    6. Мы не понимали смысла сложения и умножения 1(единиц). Если имеются 9 мужчин и 9 женщин, то 9 + 9 =18 человек. 10 мужчин и 9 женщин, то 10 + 9 =19 человек, 10 мужчин и 10 женщин, то 10 +10 =20 человек, 11 мужчин и 10 женщин, то 11 +10 =21 человек. Произведения 1(единиц):
    111111111 х 111111111= 12345678987654321; 1111111111 х 111111111= 123456789987654321. 0111111111 х 1111111110 = 0123456789876543210; 01111111111 х 1111111110 = 01234567899876543210. Эти операции над 1-разрядными отрицательными и положительными целыми числами.
    Если 2 куба поставим в концах отрезка длины 20 единиц. Придадим одному заряд минус, 2-ому плюс, то они одновременно встречаются в середине отрезка, каждый проходя 10 единиц пути, если в пути нет преград: 01234567899876543210. Затем им дадим одноименные заряды, то они займут начальные положения, при этом номера меняются: 98765432100123456789.
    Если 2 куба поставим в концах отрезка длины 200 единиц. Придадим одному заряд минус, 2-ому плюс, то они одновременно встречаются в середине отрезка, каждый проходя 100 единиц пути, если в пути нет преград: 00…9999…00. Затем им дадим одноименные заряды, то они займут начальные положения, при этом номера меняются: 99…0000…99.
    Если 2 куба поставим в концах отрезка длины 2000 единиц. Придадим одному заряд минус, 2-ому плюс, то они одновременно встречаются в середине отрезка, каждый проходя 1000 единиц пути, если в пути нет преград: 000…999999…000. Затем им дадим одноименные заряды, то они займут начальные положения, при этом номера меняются: 999…000000…999.
    Продолжая этот процесс, дойдем до 2секстиллиона единиц, то каждый куб, пройдя, 1секстиллинов пути встречаются в середине. Закон Ньютона о притяжении дополнить отталкиванием. Каждой 1 (единице) пути надо присвоить номер, и начинать с 21 нулей и закончить 21 девятки.
    Кода – номера, присваиваемые каждой паре – созданные тела во Вселенной, является произведением целых чисел, составленные из цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например, каждой человеческой паре присваивается 30 – разрядный код – номер, их сумма 30 девяток. Присвоение кода – номера каждого человека начинается с 30 нулей и заканчивается 30 девятки.
    Использования целые числа для нужды Человечества достаточны 3-й степени:
    -(0 + 1 + 2 + … + n) + (0 + 1 + 2 + … + n); -(02 + 12 + 22 + … + n2) + (02 + 12 + 22 + … + n2);
    -(03 + 13 + 23 + … + n3) + (03 + 13 + 23 + … + n3); -(04 + 14 + 24 + … + n4) + (04 + 14 + 24 + … + n4);
    7. Считали, что 1Кб = 1024б, а 1Kб =1000б, 1Kг =1000г, 1м =1000мм. У времени основание 60. 1час= 60мин., 1мин. = 60сек., 1сек = 60миллисек, 1миллисек =60микросек,1микросек =60наносек, 1наносек =60пикосек, 1пикосек =60фемтосек, 1фемтосек =60оттосек, 1оттоосек =60буттосек.
    8. В мире кубическая (основание квадратная) система координат, не прямоугольная (не декартовая). Это из того, что X = a, Y = a, X + Y =2a, XY= a x a – основание. X = a, Y = a, Z = a, X + Y+ Z =3a, XYZ= a x a x a.
    Прямоугольная (декартовая) система координат получается из свойства целых чисел: Сумма 2 чисел X и Y не меняется от сложения и вычитания числа b, а произведения меняются.
    X = a + b, Y = a – b, X + Y =2a, XY= (a + b) x (a – b) = a2- b2.
    X = a +√b, Y = a – √b, X + Y =2a, XY= (a + √b) x (a – √b) = a2- b.
    X = a + bi, Y = a – bi, X + Y =2a, XY= (a + bi) x (a – bi) = a2+ b2.
    X = a +√bi, Y = a – √bi, X + Y =2a, XY= (a + √bi) x (a – √bi) = a2 + b
    9. Модель Земли не глобус, а куб и одновременно рубик порядка 24 – поверхности большой квадрат, разделенный на 576 маленьких квадратов, одинакового размера. Длина стороны маленького квадрата 1000 км = 10 ст.6 м. Каждый кв. м. поверхности Земли должно покрыто парами, а мы живем абсурдами.
    10. Центр Земли (начало, пупок) и началом времени находится на севере Туркмении (г. Куня-Ургенч, святое место 360), а считали, что начало времени Гринвичем.
    11. В мире множество календарей, а должен быть универсальный календарь Сапарова М;
    12. Новый год встречать – восход Солнца и вечером новолуние.
    13. Носит часы, показывающие 24 часов. Сутки -24 часов начинается и заканчивается восходом Солнца;
    14. В мире множество алфавитов и языков, а должен быть единственный цифровой язык.
    15 В мире множество наук, а должна быть единственная наука – Арифграф.
    16. Человек рождается через 9 месяцев = ¾ года, а день рождения отмечаем через год. Возраст человека определить формулой: (4n)/3, где n – число, делящее на 3 – через 3 года прибавить 1лет = 9 месяцев.
    17.В Периодической системе химических элементов Д. И. Менделеева каждый химический элемент живой организм, все деньги – бумажные, металлические также живые организмы, то что едим, пьем, дышим и ходим по ними также являются живыми организмами. В этом убедимся, получив величину 1бутто=10ст.-21.
    Можете добавлять абсурды и как их исправлять, от этого выиграем, скоро станем вечными и идеальными.
    Только один выход – полный переход на 10-ю систему счисления. Если исправим все абсурды, то наши головы – компьютеры будут работать 1000 ст.1000 операции в секунду, и все наши проблемы решены.
    Обо всем в teoremaferma.far.ru, опубликовал в блогах и сообществах facebook.com и в группах yandex.ru.

    [Ответить]

    7 Февраль 2015, 19:10

  2. 2 Корнеев В.Ф.:

    А как вам нравится следующий критерий простоты числа:
    число тогда и только тогда простое, когда все числа треугольника Паскаля (единицы не в счёт) с номером строки этого числа делятся на это число.
    Так 9 не простое число, потому что 84 не делится на 9. А 7 – простое, потому что все числа 7-ой строки делятся на 7.

    [Ответить]

    Twilight_Sun Reply:
    Февраль 8th, 2015 at 0:48

    Как-то слишком уж очевидно доказывается : )

    [Ответить]

    Корнеев В.Ф. Reply:
    Февраль 8th, 2015 at 8:26

    Совершенно верно.

    [Ответить]

    7 Февраль 2015, 20:09

  3. 3 Murad:

    Каждое целое число куб, поэтому10ст.3n = 500 x 10 ст.3(n-1) + 500 x10ст.3(n-1), где 500 x 103(n-1)нечетных и столько же четных. Целые числа начинаются с 1, а их номера с 0.

    [Ответить]

    8 Февраль 2015, 0:11

  4. 4 Вадим:

    Мурад, очень интересные выводы и доводы , но не совсем понятно. Хотелось бы узнать подробнее

    [Ответить]

    31 Январь 2017, 8:36

  5. 5 Сергей:

    См. о треугольнике Паскаля самое впечатляющее и до 1981 года никому неведомое: Абачиев С. К., Стахов А. П. Треугольник Паскаля и спектр арифметик для цифровых информационных технологий.// Интернет-журнал №Науковедение”. – М.: ИГУПиТ, 2012, Вып 4.

    [Ответить]

    16 Июль 2020, 12:31

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение