Теорема Никомаха

30 Январь 2015, 5:55

Никомах — математик, философ, теоретик музыки, живший в первой половине второго века н.э. в Герасе (ныне Джераш на севере Иордании). О самом Никомахе сведений не имеется, однако до нас дошли его сочинения. При этом “Ввведение в арифметику” и “Руководство по гармонике” сохранились полностью.

Теорема (Никомах).

$1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=(1+2+3+\ldots+n)^2.$

Следующий рисунок дает наглядное доказательство теоремы Никомаха:

Посчитаем общее количество маленьких квадратов. Начнем с левого верхнего угла и будем двигаться вправо вниз, каждый раз считая количество квадратов в зоне одного цвета:

$1\cdot1^2+2\cdot2^2+3\cdot3^2+4\cdot4^2+5\cdot5^2+6\cdot6^2=$