«
»

Теорема Никомаха

30 Январь 2015, 5:55

Никомах — математик, философ, теоретик музыки, живший в первой половине второго века н.э. в Герасе (ныне Джераш на севере Иордании). О самом Никомахе сведений не имеется, однако до нас дошли его сочинения. При этом “Ввведение в арифметику” и “Руководство по гармонике” сохранились полностью.

Теорема (Никомах).

    \[1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=(1+2+3+\ldots+n)^2.\]

Следующий рисунок дает наглядное доказательство теоремы Никомаха:

Посчитаем общее количество маленьких квадратов. Начнем с левого верхнего угла и будем двигаться вправо вниз, каждый раз считая количество квадратов в зоне одного цвета:

    \[1\cdot1^2+2\cdot2^2+3\cdot3^2+4\cdot4^2+5\cdot5^2+6\cdot6^2=\]

    \[=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3.\]

С другой стороны, площадь большого квадрата, очевидно, равна

    \[(1+2+3+4+5+6)^2.\]

Таким образом,

    \[1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=(1+2+3+\ldots+n)^2.\]

Доказательство будет точно таким же, если заменить 6 на любое натуральное число n.

Замечание. Идею нахождения суммы кубов первых n натуральных чисел смотрите здесь.

Источник: http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=16327:el-teorema-de-nicomaco&catid=111:otros&directory=67

Теги: ,
Рубрика: Статьи по математике  |  Отзывы (RSS)  |  Трекбек

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение