Соотношение Бретшнайдера и теорема Стюарта
Соотношение Бретшнайдера — аналог теоремы косинусов для треугольника, интересное соотношение между элементами четырехугольника .
Введем обозначения, как показано на рисунке:
Теорема. Справедливо следующее равенство (соотношение Бретшнайдера):
Доказательство. Выполним построение, как это сделано на рисунке. Вне данного четырехугольника построим треугольники
и
, подобные треугольникам
и
соответственно. Из подобия имеем:
откуда
Сумма углов при вершинах и
в четырехугольнике
равна сумме углов треугольника
, т.е. равна
. Следовательно, прямые
и
параллельны. Так как, кроме того,
, то четырехугольник
— параллелограмм, и
. В треугольнике
угол
равен
по построению. По теореме косинусов для этого треугольника имеем:
что и дает доказываемое соотношение.
Теорема Стюарта получается как следствие соотношения Бретшнайдера для случая, когда четырехугольник вырожденный — точка
лежит на стороне
:
Теорема. Справедливо следующее равенство:
Доказательство. Так как
то
т.е. .
Замечание. Возможно, теорему Стюарта удобнее использовать в виде
Следствие 1. Если — медиана треугольника
, то
и квадрат медианы треугольника равен
Следствие 2. Если — биссектриса треугольника
, то
. Тогда
то
и квадрат длины биссектрисы треугольника равен
Источник: Я.П. Понарин, “Элементарная геометрия”, Т.1, М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
1 Феофан:
Простите, с каких пор сумма углов четырехугольника может быть равна π? Мы же на плоскости!
[Ответить]
6 Август 2020, 0:29