Соотношение Бретшнайдера и теорема Стюарта
Соотношение Бретшнайдера — аналог теоремы косинусов для треугольника, интересное соотношение между элементами четырехугольника 
.
Введем обозначения, как показано на рисунке:
Теорема. Справедливо следующее равенство (соотношение Бретшнайдера):
.
Доказательство. Выполним построение, как это сделано на рисунке. Вне данного четырехугольника построим треугольники 
и 
, подобные треугольникам 
и 
соответственно. Из подобия имеем:
,
откуда
.
Сумма углов при вершинах 
и 
в четырехугольнике 
равна сумме углов треугольника 
, т.е. равна 
. Следовательно, прямые 
и 
параллелльны. Так как, кроме того, 
, то четырехугольник — параллелограмм, и 
. В треугльнике 
угол 
равен 
по построению. По теореме косинусов для этого треугольника имеем:
,
что и дает доказываемое соотношение.
Теорема Стюарта получается как следствие соотношения Бретшнайдера для случая, когда четырехугольник вырожденный — точка лежит на стороне 
:
Теорема. Справедливо следующее равенство:
.
Доказательство. Так как
,
то
,
т.е. .
Замечание. Возможно, теорему Стюарта удобнее использовать в виде
.
Следствие 1. Если 
— медиана треугольника 
, то
и квадрат медианы треугольника равен
.
Следствие 2. Если — биссектриса треугольника , то 
. Тогда
.
Поскольку
,
то
,
и квадрат длины биссектрисы треугольника равен
.
Источник: Я.П. Понарин, “Элементарная геометрия”, Т.1, М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
Оставьте свой отзыв