Соотношение Бретшнайдера и теорема Стюарта

23 Январь 2015, 15:39

Соотношение Бретшнайдера — аналог теоремы косинусов для треугольника, интересное соотношение между элементами четырехугольника $ABCD$ .

Введем обозначения, как показано на рисунке:

Теорема. Справедливо следующее равенство (соотношение Бретшнайдера):

$(ef)^2=(ac)^2+(bd)^2-2abcd\cos(\angle A+\angle C).$

Доказательство. Выполним построение, как это сделано на рисунке. Вне данного четырехугольника $ABCD$ построим треугольники $ABF$ и $ADE$ , подобные треугольникам $CAD$ и $CAB$ соответственно. Из подобия имеем:

$\frac{AF}{a}=\frac{c}{e},\frac{BF}{a}=\frac{d}{e},\frac{AE}{b}=\frac{d}{e},\frac{DE}{d}=\frac{a}{e},$

откуда

$AF=\frac{ac}{e},AE=\frac{bd}{e},BF=DE=\frac{ad}{e}.$

Сумма углов при вершинах $D$ и $E$ в четырехугольнике $BDEF$ равна сумме углов треугольника $ABD$ , т.е. равна $180^{\circ}$ . Следовательно, прямые $BF$ и $DE$ параллельны. Так как, кроме того, $BF=DE$ , то четырехугольник $BDEF$ — параллелограмм, и $FE=BD=f$ . В треугольнике $AEF$ угол $EAF$ равен $\angle A+\angle C$ по построению. По теореме косинусов для этого треугольника имеем:

$f^2=\left(\frac{ac}{e}\right)^2+\left(\frac{bd}{e}\right)^2-\frac{2abcd}{e^2}\cos(\angle A+\angle C,)$

что и дает доказываемое соотношение.

Теорема Стюарта получается как следствие соотношения Бретшнайдера для случая, когда четырехугольник $ABCD$ вырожденный — точка $D$ лежит на стороне $AC$ $(e=c+d)$ :