Распечатать запись Распечатать запись

Соотношение Бретшнайдера и теорема Стюарта

Соотношение Бретшнайдера — аналог теоремы косинусов для треугольника, интересное соотношение между элементами четырехугольника ABCD.

Введем обозначения, как показано на рисунке:

Теорема. Справедливо следующее равенство (соотношение Бретшнайдера):

(ef)^2=(ac)^2+(bd)^2-2abcd\cos(\angle A+\angle C).


Доказательство. Выполним построение, как это сделано на рисунке. Вне данного четырехугольника ABCD построим треугольники ABF и ADE, подобные треугольникам CAD и CAB соответственно. Из подобия имеем:

\displaystyle \frac{AF}{a}=\frac{c}{e},\frac{BF}{a}=\frac{d}{e},\frac{AE}{b}=\frac{d}{e},\frac{DE}{d}=\frac{a}{e},

откуда

\displaystyle AF=\frac{ac}{e},AE=\frac{bd}{e},BF=DE=\frac{ad}{e}.

Сумма углов при вершинах D и E в четырехугольнике BDEF равна сумме углов треугольника ABD, т.е. равна 180^{\circ}. Следовательно, прямые BF и DE параллелльны. Так как, кроме того, BF=DE, то четырехугольник BDEF — параллелограмм, и FE=BD=f. В треугльнике AEF угол EAF равен \angle A+\angle C по построению. По теореме косинусов для этого треугольника имеем:

\displaystyle f^2=\left(\frac{ac}{e}\right)^2+\left(\frac{bd}{e}\right)^2-\frac{2abcd}{e^2}\cos(\angle A+\angle C),

что и дает доказываемое соотношение.

Теорема Стюарта получается как следствие соотношения Бретшнайдера для случая, когда четырехугольник ABCD вырожденный — точка D лежит на стороне AC (e=c+d):

Теорема. Справедливо следующее равенство:

ef^2=ca^2+db^2-cde.

Доказательство. Так как

\displaystyle \cos(180^{\circ}-\angle B)=-\cos \angle B=-\frac{a^2+b^2-e^2}{2ab},

то

ef^2=ca^2+db^2+cd(a^2+b^2-e^2)=ca^2(c+d)+db^2(c+d)-cde^2=

=ca^2e+db^2e-cde^2,

т.е. ef^2=ca^2+db^2-cde.

Замечание. Возможно, теорему Стюарта удобнее использовать в виде

\displaystyle f^2=\frac{c}{e}a^2+\frac{b}{e}b^2-cd.

Следствие 1. Если BD — медиана треугольника ABC, то

\displaystyle \frac{c}{e}=\frac{d}{e}=\frac{1}{2}, cd=\frac{1}{4}e^2 и квадрат медианы треугольника равен

\displaystyle f^2=\frac{1}{4}(2a^2+2b^2-e^2).

Следствие 2. Если BD — биссектриса треугольника ABC, то \displaystyle \frac{d}{c}=\frac{a}{b}. Тогда

\displaystyle \frac{1}{e^2}(ca^2+db^2)=\frac{1}{e^2}((e-d)a^2+db^2)=a^2+\frac{d}{e}(b^2-a^2).

Поскольку

\displaystyle e=c+d=c+\frac{ac}{b}=\frac{(a+b)c}{b},

то

\displaystyle \frac{1}{e^2}(ca^2+db^2)=a^2+\frac{db}{c}(b-a)=a^2+a(b-a)=ab,

и квадрат длины биссектрисы треугольника равен

f^2=ab-cd.

Источник: Я.П. Понарин, “Элементарная геометрия”, Т.1, М.: Изд-во МЦНМО, 2004.

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение