Определитель Смита
Генри Джон Стивен Смит (1826–1883) — английский математик, известный прежде всего своими работами по элементарным делителям, квадратичным формам и формулой Смита — Минковского — Зигеля для масс. В теории матриц используется нормальная форма Смита для матрицы.
Определитель Смита имеет вид
где 
обозначает наибольший общий делитель чисел 
и 
.
А равен этот определитель довольно красивой величине:
где 
— функция Эйлера натурального числа 
(т.е. количество чисел, не превосходящих и взаимно простых с ).
Докажем сначала, что любое натуральное число представимо в виде суммы значений функции Эйлера от его натуральных делителей:
(здесь 
обозначает, что 
— делитель ).
Пусть разложение числа на простые множители имеет вид
Тогда любой делитель числа может быть записан в виде
,
где 
.
В силу мультипликативности функции Эйлера имеем
.
Теперь рассмотрим выражение
После раскрытия скобок с учетом предыдущего замечания получаем, что это выражение равно 
.
Далее воспользуемся формулой для вычисления функции Эйлера степени простого числа
(см. здесь):
и после приведения подобных слагаемых в каждой большой скобке получим
.
Отсюда следует, что
.
Суммирование здесь производится по всем значениям , которые являются делителями , иначе говоря, по всем общим делителям чисел и . Поэтому можно представить в следующем виде:
,
условившись считать 
, когда делится на , и 
, когда не делится на (так что для всех значений 
). В самом деле, при этих условиях коэффициент 
при 
будет равен 
, когда и оба делятся на 
, и равен нулю, когда не является общим делителем чисел и , так что в правой части приведенной выше формулы будем иметь 
, взятую по всем общим делителям чисел и . Тогда
.
Источники: Чезаро Э. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых. Одесса, 1913.
И.М. Виноградов. Основы теории чисел. Лань, 2004.
http://en.wikipedia.org/wiki/Henry_John_Stephen_Smith
Оставьте свой отзыв