Определитель Смита
Генри Джон Стивен Смит (1826–1883) — английский математик, известный прежде всего своими работами по элементарным делителям, квадратичным формам и формулой Смита — Минковского — Зигеля для масс. В теории матриц используется нормальная форма Смита для матрицы.
Определитель Смита имеет вид
где обозначает наибольший общий делитель чисел
и
.
А равен этот определитель довольно красивой величине:
где — функция Эйлера натурального числа
(т.е. количество чисел, не превосходящих
и взаимно простых с
).
Докажем сначала, что любое натуральное число представимо в виде суммы значений функции Эйлера от его натуральных делителей:
(здесь обозначает, что
— делитель
).
Пусть разложение числа на простые множители имеет вид
Тогда любой делитель числа
может быть записан в виде
где .
В силу мультипликативности функции Эйлера имеем
Теперь рассмотрим выражение
После раскрытия скобок с учетом предыдущего замечания получаем, что это выражение равно .
Далее воспользуемся формулой для вычисления функции Эйлера степени простого числа
(см. здесь):
и после приведения подобных слагаемых в каждой большой скобке получим
Отсюда следует, что
Суммирование здесь производится по всем значениям , которые являются делителями
, иначе говоря, по всем общим делителям чисел
и
. Поэтому можно представить
в следующем виде:
условившись считать , когда
делится на
, и
, когда
не делится на
(так что для всех значений
). В самом деле, при этих условиях коэффициент
при
будет равен
, когда
и
оба делятся на
, и равен нулю, когда
не является общим делителем чисел
и
, так что в правой части приведенной выше формулы будем иметь
, взятую по всем общим делителям
чисел
и
. Тогда
Источники: Чезаро Э. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно малых. Одесса, 1913.
И.М. Виноградов. Основы теории чисел. Лань, 2004.
http://en.wikipedia.org/wiki/Henry_John_Stephen_Smith
Оставьте свой отзыв