Распечатать запись Распечатать запись

О совершенных числах и величинах, обратным их делителям


Сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, равна 2. Например, для числа 28, имеем

\displaystyle \frac{1}{1} +\frac{1}{2} + \frac{1}{4} +\frac{1}{7} +\frac{1}{14} +\frac{1}{28}= 2.

Сейчас мы докажем это простое свойство. Но сначала вспомним определение.

Определение. Число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих собственных делителей (т.е. всех своих делителей за исключением самого себя).

Первое совершенное число — число 6, поскольку его делители 1,2,3 и 6, и

6 = 1 + 2 + 3.

Второе совершенное число упоминается ранее — это число 28. Делители 28 — это числа 1,2,4,7 и 14, и действительно

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Наиболее важным свойством этих чисел является то, что они тесно связаны с самыми большими известными нам простыми числами — числами Мерсенна, т.е. числами вида M_n=2^n-1. Хотя до сих пор неизвестно, бесконечно ли количество простых чисел, являющихся числами Мерсенна. Неизвестно также, существуют ли нечетные совершенные числа. Эти задачи остаются нерешенными, хотя совершенные числа известны и изучались еще в древней Греции.

Теперь мы знаем об этих числах все, что нам необходимо, и докажем требуемое свойство.

Пусть n — совершенное число, и пусть d_1=1,d_2,\ldots,d_{p-1},d_p=n — все его делители, расположенные в порядке возрастания (d_1< d_2< d_3 < \ldots < d_p). Поскольку n — совершенное число, то в наших обозначениях

n=d_1+d_2+\ldots+d_{p-1}.

Кроме того, очевидно, что Н.О.К. (d_1,d_2,\ldots,d_p)=n (здесь Н.О.К. — наименьшее общее кратное указанных в скобках чисел).

Теперь введем еще некоторые обозначения. Так как каждое число d_i (i=1,2,\ldots,p) — делитель n, то найдется такое число d_i^{\prime}, что d_id_i^{\prime}=n. Ясно, что d_i^{\prime} — также один из делителей n. Очевидно также, что все числа d_i^{\prime} (i=1,2,\ldots,p) — это все делители n.

Давайте посмотрим на примере, чтобы все стало совсем понятно. Поскольку d_1=1, то d_1^{\prime}=n=d_p.

Возьмем теперь второй делитель (по величине) — d_2. Ясно, что d_2^{\prime} — тоже делитель n, d_2^{\prime}\ne d_p, и он самый большой из оставшихся делителей. Тем самым d_2^{\prime}=d_{p-1}.

Рассмотрим следующий делитель d_3. Ясно, что d_3^{\prime} — тоже делитель n, d_3^{\prime}\ne d_p, d_3^{\prime}\ne d_{p-1} , и он самый большой из оставшихся делителей. Так что d_3^{\prime}=d_{p-2}.

Так же точно мы получаем, что d_i^{\prime}=d_{p-i+1}. Или, иными словами, это другой способ нумерации делителей n (на этот раз они пронумерованы в порядке убывания).

Ну, теперь осталось совсем немного:

\displaystyle \frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}+\ldots+\frac{1}{d_{p-1}}+\frac{1}{d_p}=\frac{d_1^{\prime}+d_2^{\prime}+\ldots+d_{p-1}^{\prime}+d_p^{\prime}}{n}=

\displaystyle =\frac{d_p+d_{p-1}+\ldots+d_2+d_1}{n}=\frac{n+(d_{p-1}+\ldots+d_1)}{n}=\frac{n+n}{n}=2

(предпоследнее равенство выполняется, так как n — совершенное число).

Таким образом, наше утверждение доказано.

Источник: http://eliatron.blogspot.ru/2014/12/sobre-numeros-perfectos-y-los-invesos.html

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение