Распечатать запись Распечатать запись

Когда происходит что-то странное с бесконечными суммами

Лучано Рила

Гвидо Гранди (1671--1742)

Когда мы имеем дело с бесконечностью, могут случаться странные вещи. Рассмотрим следующую сумму

S=1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots

Она называется рядом Гранди, в честь итальянского математика, философа и священника Гвидо Гранди (1671-1742).

Если сгруппировать слагаемые следующим образом

S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots,

то легко увидеть, что S должно быть равно нулю, поскольку каждая скобка равна нулю. Однако ничто не мешает нам сгруппировать слагаемые по-другому, например, так:

S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots

В этом случае должно S должно быть равно 1! Существует еще и третий способ оценки этой суммы. Скажем, мы перепишем ее в виде

S=0+1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots

Все, что мы сделали, — добавили нуль в начале, так что я надеюсь, все согласны, что сумма совсем не изменилась. Теперь запишем ее два раза

S=1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots

S=0+1-1+1-1+1-1+1-\ldots

и сложим оба ряда, получим

S+S=2S=(0+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots

Поэтому 2S должно быть равно 1, следовательно, S должно быть равно 1/2.

Бесконечные, но укрощенные

Как вы можете видеть, суммы, содержащие бесконечное число слагаемых, известные как бесконечные ряды, могут поставить под сомнение то, что мы понимаем основные математические операции, такие как сложение и вычитание. Наша следующая остановка в исследовании бесконечных рядов следующая сумма бесконечной геометрической прогрессии:

\displaystyle S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ldots

Приведенный ниже рисунок показывает хитрый способ вычислить данную сумму

Возьмем квадрат со стороной 1 и, разделив его пополам, получим два прямоугольника, площадь каждого из которых равна 1/2. Теперь разделим один из этих прямоугольников пополам, как изображено на рисунке, и получим два квадрата площадью 1/4 каждый. Разделим один из этих квадратов пополам, чтобы получить прямоугольники плоадью 1/8, и т.д., до бесконечности. Вся площадь (из квадратов и прямоугольников, оставшихся неразделенными) является такой же, как сумма всех членов геометрической прогрессии. Так как эта площадь равна площади большого квадрата, сумма всех членов данной геометрической прогрессии равна 1.

И в самом деле, математики согласны с этим утверждением. Они говорят, что данный ряд сходится к 1.Формально сходимость определяется рассмотрением последовательности частичных сумм:

\displaystyle S_1=\frac{1}{2},

\displaystyle S_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4},

\displaystyle S_3=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8},

\displaystyle S_4=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{15}{16},

и так далее. Частичные суммы дают последовательность чисел, приближающихся к 1. Действительно, они становятся сколь угодно близкими к 1 по мере прибавления все большего числа слагаемых. Вообще говоря, когда последовательность частичных сумм бесконечного ряда сходится к некоторому пределу a, то говорят, что бесконечный ряд сходится к a. Заметим, что в случае ряда Гранди, приведенного выше, такого предела нет. Частичные суммы этого ряда равны

S_1=1,

S_2=1-1=0,

S_3=1-1+1=1,

S_4=1-1+1-1=0

и так далее. Частичные суммы вечно скачут от 1 до 0 и обратно. Они не стремятся к определенному пределу, так что нет никакого очевидного способа придать значение сумме.

Бесконечные и расходящиеся

Кажется довольно ясным интуитивно, что приведенная выше сумма бесконечной геометрической прогрессии сходится к 1. Слагаемые \displaystyle \frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8} и т. д. становятся все меньше и меньше. Таким образом, хотя мы постоянно добавляем новые числа, чтобы сделать сумму все больше, добавляемые величины в конечном итоге становятся так малы, что неудивительно, что сумма никогда не превысит 1. Этот аргумент, однако, имеет недостатки. Давайте рассмотрим гармонический ряд:

\displaystyle H=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\ldots

Подобно сумме членов геометрической прогрессии, которую мы исследовали выше, слагаемые гармонического ряда становятся все меньше и меньше. Но удивительно то, что гармонический ряд расходится: члены последовательности частичных сумм получаются все больше и больше, в конце концов они превышают все границы. Мы говорим, что ряд стремится к бесконечности.

Если в это сложно поверить, приведем доказательство от противного расхождения гармонического ряда. В доказательстве от противного мы начинаем, предполагая противоположное тому, что пытаемся доказать, верно и затем показываем, что это приводит к противоречию. Если мы пытаемся доказать, что утверждение A верно, то мы начнем, предполагая, наоборот, что A неверно. Если это предположение приводит к противоречию, то отсюда следует, что не A должно быть ложным, так что первоначальное утверждение A должно быть истинным. В нашем случае мы хотим показать, что гармонический ряд расходится, поэтому мы предполагаем, что гармонический ряд сходится к некоторому положительному значению. Мы знаем, что

\displaystyle \frac{1}{3}>\frac{1}{4},

\displaystyle \frac{1}{5}>\frac{1}{6},

\displaystyle \frac{1}{7}>\frac{1}{8}

и так далее. Так что, если мы заменим нечетные знаменатели дробей на последующие четные числа, получим следующее неравенство

\displaystyle H=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\ldots>  1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\ldots

Если мы теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями, получим

\displaystyle H=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\ldots>  1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots

Справа снова появляется гармонический ряд плюс дополнительное слагаемое 1/2. Это доказывает, что

\displaystyle H> H+\frac{1}{2}!

Так как это противоречит нашему предположению о том, что гармонический ряд сходится, мы можем заключить, что это предположение неверно: гармонический ряд не сходится. Поскольку частичные суммы становятся больше и больше меньшим и меньшим шагом (мы на каждом шаге добавляем слагаемое вида 1/n), единственной возможностью является то, что последовательность частичных сумм неограниченно растет (а не скачет подобно ряду Гранди). Это доказывает, что H расходится.

Бесконечные и странные

Все становится по-настоящему странным, когда мы рассматриваем знакопеременный гармонический ряд. Построенный из гармонического ряда, но имеющий отрицательные слагаемые, чередующиеся с положительными, этот ряд определяется следующим образом:

\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\ldots

Математик Бернхард Риман (1826-1866) доказал важный результат о перестановке слагаемых бесконечных рядов

Можно показать, что знакопеременный гармонический ряд сходится к \ln 2\approx 0.7. Вы можете проверить это с помощью калькулятора или, разложив \ln(x+1) в точке x=1 в ряд Тейлора.

Итак, давайте начнем с данного факта:

\displaystyle \ln 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\ldots

Теперь давайте умножим данное равенство на 2:

\displaystyle2 \ln 2=2-\frac{2}{2}+\frac{2}{3}-\frac{2}{4}+\frac{2}{5}-\frac{2}{6}+\frac{2}{7}-\frac{2}{8}+\ldots

Если мы теперь упростим дроби, сократив все дроби с четными знаменателями, и сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями, получим

\displaystyle 2\ln 2=(2-1)-\frac{1}{2}+\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{6}+\ldots\hfill(1)

Выполним действия в скобках:

\displaystyle 2\ln 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\ldots

В правой части мы получили знакопеременный гармонический ряд, так что мы, кажется, доказали, что

2\ln 2=\ln 2.

Но, подождите, что это? В наших вычислениях должна быть ошибка. В это трудно поверить, но на самом деле ошибок там нет. Парадокс объясняется тем, что когда мы переставляем слагаемые в знакопеременном гармоническом ряду, ряд сходится к другим значением. Правую часть равенства (1) можно записать в виде

\displaystyle 2\ln 2=(2-1)-\frac{1}{2}+\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{6}+\ldots =

=2\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\ldots\right).

Проблема возникает из-за того, что в то время как ряд

\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\ldots

сходится к \ln 2, ряд с переставленными слагаемыми

\displaystyle 1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\ldots

сходится к \displaystyle \ln 2+\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{2}\right),

несмотря на то, что оба ряда имеют одни и те же слагаемые!

Давайте посмотрим, сможем ли мы разобраться в этом. В классическом представлении знакопеременного гармонического ряда мы начинаем с 1 и вычитаем 1/2, прибавляем 1/3 и вычитаем 1/4, и так далее. Для каждого прибавленного члена вычитаем ровно один член. Во втором представлении знакопеременного гармонического ряда мы вычитаем два члена для каждого члена, который мы добавляем. Что, вы думаете, произойдет?

Рисунок ниже показывает, что происходит с частичными суммами, если мы добавляем один член в единицу времени. Приведены первые 25 частичных сумм. По горизонтальной оси — количество слагаемых, по вертикальной — их сумма. Зеленые точки — частичные суммы для классического представления знакопеременного гармонического ряда, фиолетовые точки — частичные суммы для перестроенного ряда. Рисунок показывает, что два ряда будут сходиться к разным значениям.

Получается, что, перестраивая знакопеременный гармонический ряд, мы можем сделать так, чтобы он сходился к любому значению, которое нам нравится. Попробуйте найти, к какому значению сходится ряд

\displaystyle 1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{6}+\ldots

Вы будете рады узнать, что для ряда только с положительными членами, изменение порядка слагаемых не влияет на сумму.

Источник:  http://plus.maths.org/content/when-things-get-weird-infinite-sums

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение