Распечатать запись Распечатать запись

Когда интуиция подводит: неверные предположения в математике

Хорошо известно, что наша интуиция не является совершенной. Мы предсказуемо иррациональны в нашей повседневной жизни при выборе из огромного количества вариантов. Но как насчет чего-то немного более сложного? Бывают ли случаи, когда мы используем наш разум — нашу способность к экстраполяции и прогнозированию — и все равно терпим неудачу, потому что вещи просто оказываются слишком сложными. Такая ситуация, похоже, имеется в виду в следующем вопросе: “Каков пример математической гипотезы, опровергнутой только для “очень больших’’ чисел?

По сути, в данном вопросе имеются в виду случаи, когда математические гипотезы казались верными, но опровергались только с применением передовых вычислительных мощностей, далеко превосходящих возможности человека.

И таких примеров существует много. Одним из наиболее известных является гипотеза Пойа. Эта гипотеза утверждает, что для данного натурального числа N количество чисел, меньших N, раскладывающихся на четное число простых множителей, всегда меньше, чем количество чисел, имеющих нечетное число простых множителей. Это кажется верным. Но только до тех пор, пока вы не рассмотрите число 906150257. Наша интуиция нас подвела.

Еще один пример: гипотеза Эйлера. Швейцарский математик XVII века Леонард Эйлер утверждал, что не существует целочисленных решений уравнения, похожего на уравнение Ферма.

Уравнение Эйлера: x^4 + y^4 + z^4 = w^4.

В течение двухсот лет никто не мог доказать гипотезу Эйлера, но с другой стороны, никто не мог и опровергнуть ее, найдя контрпример. Первые вычисления вручную, а потом и расчеты на компьютере не привели к нахождению решения. Отсутствие контрпримера казалось веским доказательством справедливости гипотезы. И только в 1988 году Ноам Элкис из Гарвардского университета обнаружил следующее решение уравнения:

2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4.

Несмотря на всю кажущуюся очевидность, гипотеза Эйлера оказалась ложной. На самом деле Элкис доказал, что существует бесконечно много решений данного уравнения. Как замечает С.Сингх: “Мораль этой истории в том, что вы не можете использовать результаты проверки для первого миллиона чисел, чтобы доказать гипотезу абсолютно для всех чисел’’.

Приведенные примеры весьма показательны. Они дают понять, что большие числа все же не бесконечность, и частные примеры не являются доказательством. Наши человеческие мозги достаточно мощны, но мы должны все больше и больше работать вместе с машинами, чтобы определить границы нашей интуиции.

Источник: http://www.wired.com/2014/09/when-extrapolation-fails-us/

Комментариев: 3

  1. 1 test:

    Интуиция – это хорошо.
    Вот, например, такой вопрос
    Из скольких цифр состоит число 100! (сто факториал)?
    Из ста или больше, чем из 100?

    Ответ ниже (сосчитайте сами):
    100! = 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000

    [Ответить]

    disputant Reply:

    Ну, поскольку уже начиная с 33 мы получаем не менее полутора знаков, то 66*1.5 – уже 100. Плюс все остальные – так что явно больше 100.

    Чисто устная оценка.

    [Ответить]

  2. 2 test:

    Количество цифр можно получить отсюда:
    http://www.wolframalpha.com/input/?i=100!

    158 цифр.

    [Ответить]

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение