Наглядное доказательство неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим
Хорошо известно, что среднее геометрическое двух неотрицательных чисел всегда не больше их среднего арифметического:
Алгебраическое доказательство этого факта и его обобщение на чисел приведены здесь.
Однако данное неравенство можно доказывать разными способами. Приведем здесь его геометрическое доказательство. В дальнейшем обозначает среднее арифметическое чисел
и
, а
— их среднее геометрическое.
Это очевидно, не так ли? Если нет, то давайте сделаем все аккуратно. Да, будем считать и
положительными.
Нарисуем полуокружность, диаметр которой есть сумма двух наших чисел . Отметим точку на окружности (на рисунке она красная), в которой перпендикуляр, построенный к диаметру окружности в точке, разделяющей диаметр на отрезки длиной
(черный) и
(синий). Построим треугольник с вершинами в этой точке и в концах диаметра окружности:
Поскольку треугольник вписан в окружность и одна его сторона — диаметр этой окружности, то этот треугольник прямоугольный (вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой). Нарисуем теперь радиус окружности, перпенидкулярный уже имеющемуся диаметру (на рисунке он зеленый), и отрезок, перпендикулярный диаметру, с концом в красной точке (красный):
Длина зеленого отрезка равна радиусу окружности, т.е. половине ее диаметра, следовательно, она равна . Таким образом, она совпадает с
.
Найдем длину красного отрезка. Обозначим эту длину через , а катеты прямоугольного треугольника через
и
. Рассмотрим еще два прямоугольных треугольника со сторонами
и
:
Для каждого из трех имеющихся треугольников запишем теорему Пифагора:
Подставляя выражения для и
из двух последних равенств в первое и раскрывая скобки, получаем:
Упрощая полученное равенство, получаем
или
Таким образом, мы видим, что длина красного отрезка есть среднее геометрическое чисел
и
.
И поскольку очевидно, что длина красного отрезка не больше длины зеленого отрезка, то имеем наше неравенство
Источник: http://gaussianos.com/demostracion-visual-de-la-relacion-entre-media-aritmetica-y-media-geometrica/
1 Евгений:
Добрый день.
Небольшая “очепятка”:
-среднее геометрическое двух неотрицательных чисел всегда не БОЛЬШЕ их среднего арифметического,..
п.с.
Равенство g = SR xy можно чуть быстрее вывести из подобия двух прямоугольных треугольников: x/g = g/y.
Евгений.
п.с.2
И только сейчас вспомнил, что написал, но так и не отправил вам письмо
с кр. решением про n-угольник….
надо поискать…
[Ответить]
Елизавета Александровна Калинина Reply:
Октябрь 14th, 2014 at 12:17
Спасибо, исправила!
Да, согласна, что из подобия быстрее. Но через теорему Пифагора подойдет и для тех, кто о подобии не знает, поэтому оставила так. как у автора текста.
[Ответить]
2 vasil stryzhak:
Приведенное здесь геометрическое доказательство неравенства между средним арифметическим
и средним геометрическим
не охватывает все классические средние, составленные из двух положительных чисел
и
, что делает рисунок ограниченным и неярким. В литературе по математике можно найти построения, включающие в себя кроме названных средних, дополнительно среднее гармоническое
и среднее квадратическое
. В этом случае естественно рисунок выглядит более полным и насыщенным. Но и здесь отсутствует тесная взаимосвязь средних величин.

. Из данной точки они выходят веером, достигая полуокружности. Геометрическое построение понятно из рисунка. Здесь наглядно видно, чем ближе точка
расположена к левому краю диаметра
, тем шире «веер» и больше разность между отрезками. Если общую точку сместить ближе к середине диаметра, «веер» сузится, разность длин отрезков сократится. При равенстве заданных отрезков
и
отрезки, отображающие средние величины, становятся равными и сливаются в один общий отрезок, изображенный пунктирной линией. Интересно заметить, что гармоническое среднее сыграло большую роль в теории музыки — гармонии, откуда и происходит его название. Данную величину ввел Пифагор, с помощью которой раскрыл тайну музыкального звукоряда. Не будь Пифагора, возможно Исаак Ньютон изобретатель телескопа рефлектора дал бы арифметическому среднему для обратных величин другое название – зеркальное среднее. Формула вогнутого сферического зеркала записывается так:
Предлагаю вариант, в котором все отрезки имеют одну общую объединяющую их точку
где
– расстояние от источника света до зеркала, а
месторасположение сфокусированного изображение источника. Тогда радиус кривизны зеркала
чем не зеркальное среднее. В дополнение подтверждения вышеизложенного предположения, следует обратить внимание на рисунок. На нем гармоническое среднее расположено зеркально арифметическому среднему.
[Ответить]
Дмитрий Reply:
Октябрь 31st, 2017 at 6:12
Ответьте пожалуйста.
Какое свойство использовано для получения ср. гармонического? Я видимо, капитально забыл геометрию- не могу понять – откуда такое следует. Как-то использованы оптические свойства , наверное, но понять- не могу. Если можно- подробнее.
[Ответить]