«
»

Наглядное доказательство неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

13 Октябрь 2014, 20:39

Хорошо известно, что среднее геометрическое двух неотрицательных чисел всегда не больше их среднего арифметического:

    \[\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}.\]

Алгебраическое доказательство этого факта и его обобщение на n чисел приведены здесь.

Однако данное неравенство можно доказывать разными способами. Приведем здесь его геометрическое доказательство. В дальнейшем m обозначает среднее арифметическое чисел x и y, а g — их среднее геометрическое.

Это очевидно, не так ли? Если нет, то давайте сделаем все аккуратно. Да, будем считать x и y положительными.

Нарисуем полуокружность, диаметр которой есть сумма двух наших чисел x+y. Отметим точку на окружности (на рисунке она красная), в которой перпендикуляр, построенный к диаметру окружности в точке, разделяющей диаметр на отрезки длиной x (черный) и y (синий). Построим треугольник с вершинами в этой точке и в концах диаметра окружности:

Поскольку треугольник вписан в окружность и одна его сторона — диаметр этой окружности, то этот треугольник прямоугольный (вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой). Нарисуем теперь радиус окружности, перпенидкулярный уже имеющемуся диаметру (на рисунке он зеленый), и отрезок, перпендикулярный диаметру, с концом в красной точке (красный):

Длина зеленого отрезка равна радиусу окружности, т.е. половине ее диаметра, следовательно, она равна \displaystyle \frac{x+y}{2}. Таким образом, она совпадает с m.

Найдем длину красного отрезка. Обозначим эту длину через g, а катеты прямоугольного треугольника через a и b. Рассмотрим еще два прямоугольных треугольника со сторонами a,g,x и b,g,y:

Для каждого из трех имеющихся треугольников запишем теорему Пифагора:

    \[a^2+b^2=(x+y)^2,\]

    \[x^2+g^2=a^2,\]

    \[y^2+g^2=b^2.\]

Подставляя выражения для a^2 и b^2 из двух последних равенств в первое и раскрывая скобки, получаем:

    \[x^2+g^2+y^2+g^2=x^2+y^2+2xy.\]

Упрощая полученное равенство, получаем

    \[2g^2=2xy,\]

или

    \[g=\sqrt{xy}.\]

Таким образом, мы видим, что длина красного отрезка g есть среднее геометрическое чисел x и y.

И поскольку очевидно, что длина красного отрезка не больше длины зеленого отрезка, то имеем наше неравенство

    \[\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}.\]

Источник: http://gaussianos.com/demostracion-visual-de-la-relacion-entre-media-aritmetica-y-media-geometrica/

Теги:
Рубрика: Статьи по математике  |  Отзывы (RSS)  |  Трекбек

Комментариев: 3

  1. 1 Евгений:

    Добрый день.
    Небольшая “очепятка”:
    -среднее геометрическое двух неотрицательных чисел всегда не БОЛЬШЕ их среднего арифметического,..
    п.с.
    Равенство g = SR xy можно чуть быстрее вывести из подобия двух прямоугольных треугольников: x/g = g/y.
    Евгений.
    п.с.2
    И только сейчас вспомнил, что написал, но так и не отправил вам письмо
    с кр. решением про n-угольник….
    надо поискать…

    [Ответить]

    Елизавета Александровна Калинина Reply:
    Октябрь 14th, 2014 at 12:17

    Спасибо, исправила!
    Да, согласна, что из подобия быстрее. Но через теорему Пифагора подойдет и для тех, кто о подобии не знает, поэтому оставила так. как у автора текста.

    [Ответить]

    14 Октябрь 2014, 11:54

  2. 2 vasil stryzhak:

    Приведенное здесь геометрическое доказательство неравенства между средним арифметическим

        \[m\]

    и средним геометрическим

        \[g\]

    не охватывает все классические средние, составленные из двух положительных чисел

        \[a\]

    и

        \[b\]

    , что делает рисунок ограниченным и неярким. В литературе по математике можно найти построения, включающие в себя кроме названных средних, дополнительно среднее гармоническое

        \[h\]

    и среднее квадратическое

        \[d\]

    . В этом случае естественно рисунок выглядит более полным и насыщенным. Но и здесь отсутствует тесная взаимосвязь средних величин.

    Предлагаю вариант, в котором все отрезки имеют одну общую объединяющую их точку

        \[C\]

    . Из данной точки они выходят веером, достигая полуокружности. Геометрическое построение понятно из рисунка. Здесь наглядно видно, чем ближе точка

        \[C\]

    расположена к левому краю диаметра

        \[AB\]

    , тем шире «веер» и больше разность между отрезками. Если общую точку сместить ближе к середине диаметра, «веер» сузится, разность длин отрезков сократится. При равенстве заданных отрезков

        \[a\]

    и

        \[b\]

    отрезки, отображающие средние величины, становятся равными и сливаются в один общий отрезок, изображенный пунктирной линией. Интересно заметить, что гармоническое среднее сыграло большую роль в теории музыки — гармонии, откуда и происходит его название. Данную величину ввел Пифагор, с помощью которой раскрыл тайну музыкального звукоряда. Не будь Пифагора, возможно Исаак Ньютон изобретатель телескопа рефлектора дал бы арифметическому среднему для обратных величин другое название – зеркальное среднее. Формула вогнутого сферического зеркала записывается так:

        \[\frac{1}{s}+\frac{1}{f }=\frac{2}{R}\]

    ,
    где

        \[s\]

    – расстояние от источника света до зеркала, а

        \[f\]

    месторасположение сфокусированного изображение источника. Тогда радиус кривизны зеркала

        \[R=\frac{2sf}{s+f}\]

    ,
    чем не зеркальное среднее. В дополнение подтверждения вышеизложенного предположения, следует обратить внимание на рисунок. На нем гармоническое среднее расположено зеркально арифметическому среднему.

    [Ответить]

    13 Февраль 2015, 20:42

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение