Распечатать запись Распечатать запись

Теорема Морли

Фрэнк Морли (1860–1937) — английский математик, известный своими работами по алгебре и геометрии. Морли любил придумывать задачи, и за более чем 50 лет своей работы со времени окончания Кембриджского университета он опубликовал более 60 задач в Educational Times. Большинство этих задач — геометрические. Морли очень хорошо играл в шахматы. Одни раз он даже выиграл у чемпиона мира по шахматам Эмануэля Ласкера (примеч. Интересно, что Ласкер тоже занимался математикой, и одна из теорем названа его именем — теорема Ласкера — Нётер). Морли  внес огромный вклад в развитие математики в США. В течение 30 лет он был редактором журнала American Journal of Mathematics, работал и в журнале Bulletin of the American Mathematical Society, в 1919–20 годах был президентом Американского математического общества.

Самым известным результатом Фрэнка Морли является теорема о трисектрисах треугольника, носящая его имя.

Сначала определим трисектрису, а затем докажем теорему.

Определение. Трисектрисой угла называется каждый из двух лучей, делящих этот угол на три равные части.

Теорема Морли. Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего (правильного) треугольника.

Доказательство. Нужно доказать, что треугольник XYZ равносторонний.

Используя обозначения, приведенные на рисунке, поскольку в треугольнике ABC сумма углов 3\alpha+3\beta+3\gamma=\pi, имеем

\alpha+\beta+\gamma+\pi/3.

Возьмем произвольный равносторонний треугольник XYZ. Пусть P,Q,R — точки на высотах треугольника ABC (или на продолжениях высот) такие, что

\displaystyle \angle XPY=\angle XPZ=\alpha+\frac{\pi}{6},

\displaystyle \angle YQZ=\angle YQX=\beta+\frac{\pi}{6},

\displaystyle \angle ZRX=\angle ZRY=\gamma+\frac{\pi}{6}.

Пусть A — точка пересечения QZ и RY, B — точка пересечения RX и PZ, и C — точка пересечения PY и QX. Тогда в четырехугольнике XRAQ

\displaystyle\angle AQX=2\beta+\frac{\pi}{3},

\displaystyle\angle ARX=2\gamma+\frac{\pi}{3},

\displaystyle\angle QXR=2\alpha+\beta+\gamma+\frac{\pi}{3}.

Следовательно, \angle ZAY=\alpha. Аналогично, \angle XBZ=\beta и \angle YCX=\gamma.

Проведем окружность с центром в точке X, касающуюся PB. Так как PX — биссектриса \angle BPC, то эта окружность также касается PC. Теперь проведем касательные к окружности BT и CU. Обозначим через V точку пересечения этих касательных. Тогда

\angle XBT=\angle XBZ=\beta и \angle XCU=\angle XCY=\gamma.

Тогда сумма углов P,B и C в четырехугольнике PBVC равна

\displaystyle 2\alpha+\frac{\pi}{3}+2\beta+2\gamma=\pi,

откуда \angle TVU=0. Другими словами, BTUVC — прямая, так что точки T,U и V совпадают. Следовательно, \angle XBC=\beta,\angle XCB=\gamma. Аналогично определяются углы треугольников YCA и ZAB, откуда получаем, что углы треугольника ABC равны 3\alpha,3\beta и 3\gamma. Если необходимо, этот треугольник можно заменить подобным ему, который будет совпадать с \triangle ABC.

Источники: http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/sb3.shtml

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Morley.html

Оставьте свой отзыв

Добавить изображение